大一上學期微積分復習資料

1、.1011 學年第一學期“微積分”期末復習指導第一章函數(shù)一本章重點復合函數(shù)及分解，初等函數(shù)的概念。二復習要求1、 能熟練地求函數(shù)定義域；會求函數(shù)的值域。2、理解函數(shù)的簡單性質，知道它們的幾何特點。3、 牢記常函數(shù)、冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)、 反三角函數(shù)等六類基本初等函數(shù)的表達式，知道它們的定義域、值域、性質及圖形特點。其中 .對于對數(shù)函數(shù)yln x 不僅要熟記它的運算性質，還能熟練應用它與指數(shù)函數(shù)yex互為反函數(shù)的關系， 能熟練將冪指函數(shù)作如下代數(shù)運算：u vev ln u . 對于常用的四個反三角函數(shù)，不僅要熟習它們的定義域、 值域及簡單性質， 還要熟記它們在特殊點的函數(shù)值 .4

2、、 掌握復合函數(shù)，初等函數(shù)的概念，能熟練地分解復合函數(shù)為簡單函數(shù)的組合。5、 知道分段函數(shù)，隱函數(shù)的概念。. 三例題選解例 1. 試分析下列函數(shù)為哪幾個簡單函數(shù)（基本初等函或基本初等函數(shù)的線性函數(shù)）復合而成的？ .yesin 2 x .yarctan(12 )x1分析：分解一個復合函數(shù)的復合過程應由外層向里層進行，每一步的中間變量都必須是基本初等函數(shù)或其線性函數(shù)（即簡單函數(shù)） 。解： .ye u, uv 2 , vsinx . y arctan u , u1, v x 21.v例 2. y arc cot x 的定義域、值域各是什么？ arccot1 ？答：yarccot x是 ycot x

3、,x(0,)的反函數(shù)，根據(jù)反函數(shù)的定義域是原來函數(shù)的值域，反函數(shù)的值域是原來函數(shù)的定義域 ， 可 知yarc cot x的 定 義 域 是d f(,) ，值域為 z f(0,) .arc cot14四練習題及參考答案1. f ( x) arctan x則 f( x)定義域為，值域為f(1) =； f (0).2. f ( x ) arcsin x則 f(x)定義域為，值域為f(1) =； f (3 ).23.分解下列函數(shù)為簡單函數(shù)的復合： .ye 3x .yln( x31)答案：1.（ - + ） ,(,) , 0224.2.1,1 ,2223.3. .ye u ,u3 x .yln u ,u

4、 x 31.自我復習：習題一.（ a ）55、；習題一 .（ b ） .11.第二章極限與連續(xù)一本章重點極限的計算； 函數(shù)的連續(xù)及間斷的判定； 初等函數(shù)的連續(xù)性。二復習要求1了解變量極限的概念，掌握函數(shù)f(x)在 x0 點有極限的充要條件是：函數(shù)在x0 點的左右極限都存在且相等。2.理解無窮小量與無窮大量的概念和關系，掌握無窮小量的運算性質， 特別是無窮小量乘以有界變量仍為無窮小。例如：lim10 ,limsinx0x sin0xxxx3.會比較無窮小的階。在求無窮小之比的極限時，利用等價無窮小代換可使運算簡化， 常用的等價無窮小代換有：當 ( x ) 0 時 ,有：sin( x ) ( x

5、) ； tan( x ) ( x )e ( x )1 ( x ) ;ln(1( x) ( x ) ;( x )n 1( x )1n1 cos ( x ) 2 ( x) . . 2（參見教材p79）4.掌握兩個重要極限:.( ).lim sin x1x 0x1 ) x1( ).lim(1e lim(1 x ) xxxx 0記住它們的形式、 特點、自變量的變化趨勢及擴展形式 (變形式 ).并能熟練應用其求極限， 特別是應用重要極限 ( ) 的如下擴展形式求1型未定式極限：k) xe k1lim(1lim(1kx ) xxxx0k) xe k1lim(1lim(1kx ) xxxx05.掌握函數(shù)連續(xù)

6、的概念，知道結論：初等函數(shù)在其定義區(qū)間內都是連續(xù)的，分段函數(shù)在定義區(qū)間內的不連續(xù)點只可能是分段點。函數(shù)f(x) 在分段點 x0處連續(xù)的充要條是：函數(shù)在x0點極限存在且等于f ( x0) ，即：lim f ( x )f ( x0 )xx0當分段函數(shù)在分段點x0 的左右兩邊表達式不相同時，函數(shù)f(x)在分段點x0 處連續(xù)的充要條件則是：lim f ( x)lim f ( x ) f ( x0 ).x x0x x06. 掌握函數(shù)間斷點及類型的判定。函數(shù)的不連續(xù)點稱為間斷點，函數(shù)f ( x) 在x0 點間斷，必至少有下列三種情況之一發(fā)生：、 f ( x ) 在 x0 點無定義；、 limf ( x )

7、 不存在；x x0、存在 limf ( x) ，但 lim f ( x )f ( x0 ) .x x0xx0若 x 0為 f ( x ) 的 間 斷 點 ， 當 lim f ( x) 及xx0lim f ( x) 都存在時， 稱 x0為 f ( x ) 的第一類間斷x x0.點，特別 limf ( x) limf ( x) 時（即 lim f ( x )x x0x x0x x0存在時），稱 x 0 為 f ( x ) 的可去間斷點；lim f (x)lim f ( x) 時稱 x0 為 f ( x ) 的跳x x0x x0躍間斷點。不是第一類間斷點的都稱為第二類間斷點。7.了解連續(xù)函數(shù)的運算性

8、質及閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質 ,特別要知道閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)必有最大值與最小值。8.能夠熟練地利用極限的四則運算性質；無窮小量、無窮大量的關系與性質；等價無窮小代換；教材 p69 公式（ 2.6）；兩個重要極限；初等函數(shù)的連續(xù)性及洛必達法則 (第四章 )求函數(shù)的極限。三 .例題選解例 1.單項選擇題下列極限中正確的是（）a. lim sin xsin 11b.limx1xxx1xc. lim sin x21d.lim tan x1x 0xx 0x 當 x0 時，1 2x21 是 sin 2x 的（）a. 低階無窮??；b.高階無窮小；c.同階無窮小，但不是等價無窮?。籨. 等價無窮??；.lim f

9、 ( x)limtan x1 lim f ( x)xx 0x 0x 0即 d 也不對，剩下的 b 就是正確答案。 由于12x21代換2x2x2lim21sin 2 xlimx2lim2x 0x 0x 0 x 應選擇 d.例 3.求極限： limln(1x2 )x 01cos x lim( x2) xx x 5解 : 此極限為 0 型0當 x0 時，有l(wèi)n(1x 2 ) (x 2 ) ,1cosx x22ln(1x 2 )x 22 lim1cos xlimx 2x0x 02 此極限為 1型，可用重要極限。lim( x2) x lim (135) xxx5xx分析與解：a 與記 f (x)則 f

10、(x)c 顯然都不對，對于d,tan x，xtan xx0xtan xx0xx53lim (13x)3x5xx53 )x53lim (1x3x 5x x 5e3. ( lim3x lim3x3)xx5xx5 lim f ( x)lim tan x1x 0x 0x例 2判斷函數(shù) yx 292的間斷點，并xx 6.判斷其類型。x29( x（解：由于y3)x +3)2x 6( x3)( x2)x x3,x2是函數(shù) y 無定義的點，因而是函數(shù) y的間斷點。 lim( x3)( x3)limx365x 3 ( x3)( x 2)x 3 x2x3 為函數(shù)y 的可去間斷點； lim( x3)( x3)lim

11、x3x2 ( x3)( x2)x2 x2x2 為函數(shù)y 的第二類（無窮型）間斷。例 3函數(shù)1cos xf ( x )2x0x 2kx0在點 x0 處連續(xù)，求常數(shù)k .分析與解：由于分段函數(shù)f ( x ) 在分段點 x0的左右兩邊表達式相同，因此f ( x ) 在 x0 連續(xù)的充要條件是lim f ( x )f (0)k .x01cos x 代換x 2 limf ( x )lim2lim8x 2x 0x 0x 0 x 21 . k1 .88四 .練習題及參考答案1.填空 .當 x0 時， (ex1)sin 2 x 與( 1 x1)ln(1 2x ) 相比，是_ 無窮??；. . lim( 2 x1

12、 )x_ ；x2 x3cos(3x )1tan x . lim3_.1)ln(1 5x 2 )x 0 (e2 x2.單項選擇題設 y( x3)( x2) ，下面說法正確的是x 25 x6_；a.點 x3, x2 都是可去間斷點；b.點 x2 是跳躍間斷點，點x3 是無窮間斷點；c.點 x2 是可去間斷點，點x3 是無窮間斷點；d.點 x2 是可去間斷點，點x3是跳躍間斷點；下面正確的是_.a. lim tan x1 ；b.limx sin 10 ；x 0xx 0xc.limtan x不存在； d.limtan x1 .x0xx 0x答案 :1. .同階而不等價的； . e 2； .3.202.

13、 .c; .b .自我復習 .習題二 (a)11. (4). 24. , (4), .27. . (4).28. , .30. . 37 , .習題二 (b).14.第三章導數(shù)與微分一 .本章重點 .導數(shù)的概念，導數(shù)及微分的計算.二 .復習要求1.掌握函數(shù)x 在 x0 處可導的定義， 并能熟練應用導數(shù)的定義式求分段函數(shù)在分段點的導數(shù)。導數(shù)是一個逐點概念，x 在 x 0 處的導數(shù)的定.義式常用的有如下三種形式：f ( x 0 )limf ( x0x ) f ( x 0 )xx 0limf ( x 0h )f ( x 0 )hh0limf ( x )f ( x 0 )xx 0.xx02.知道導數(shù)的

14、幾何意義，會求x 在 x0 處的切線方程。3.熟記基本求導公式及求導的運算法則，熟練掌握下列求導方法 ,并能熟練應用它們求函數(shù)的導數(shù)：運用基本求導公式及求導的四則運算法則求導；復合函數(shù)求導法； 隱函數(shù)求導法； 取對數(shù)求導法。4.理解高階導數(shù)的概念，能熟練求函數(shù)的二階導數(shù)。5.理解微分的概念，能應用微分基本公式及運算法則求函數(shù)的微分。6.掌握函數(shù)可微,可導及連續(xù)的關系。三 .例題選解例 1.求下列函數(shù)的導數(shù)： yf (1 x2 ) ，求 y , y . y = x 3x, 求 y .設 y = etan x ，求 dy . yln(1x 3 ) ,求 y解：、本題為抽象函數(shù)求導， 由復合函數(shù)求導

15、法，得：y f (1 x 2 )(1 x 2 ) f (1 x2 ) 2 x2 xf (1 x2 ) .y2 f(1 x 2 )2 xf (1 x 2 ) 2 x2 f (1 x 2 ) 4x 2 f (1 x 2 ). 本題為冪指函數(shù)求導，必須用取對數(shù)求導法。原方程兩邊取對數(shù)：ln y3 x ln x上式兩邊對x 求導，視y 為中間變量 :y =3ln x3 x1y2 3 xxy311yln xx2x 3 x31ln x1x23 x1(lnx1)23 x2注：本題除此方法外，也可以：ye3 x ln xye 3 x ln x (13 ln x3x 1)2 3xx yetan x(tanx)e

16、tan xsec2x . dyetan xsec2xdx .3 x2yx 31y6x(1 x 3 ) 3 x 2 3 x 23 x(2 x 3 )(1x 3 )2(1x 3 )2例 2.設x在 x1處可導 ,且(1)2 .(43x )求 limx1x1分析 : 將x在 x1處的導數(shù)的定義式理解為結構式 :(1) = lim(1w)(1)ww 0其中 w為xx1 或x 的函數(shù) . 且當x 0.時 , x 0即可 .解 :(43 x )limx1x 1lim( x1)(3)3( x1)x 13 f(1)6例 3求曲線x 3y33axya3 在點0,a處的切線方程。解：顯然，點0,a 在曲線上，現(xiàn)求

17、切線的斜率，即y (0, a)曲線方程兩邊對x 求導：3 x23 y2y3ay3axy02ayx y (0, a) 1切線方程為：yax即yxae x21例 4、設 f ( x)xx00x0試討論f ( x ) 在 x0 處的連續(xù)性及可導性。分析與解：由已知，f (0)0 ；（ 1）討論f ( x) 在 x0 處的連續(xù)性。limf ( x )limex 210xx0xx2代換limf (0).0x0x f ( x) 在 x 0處連續(xù)。.（ 2）討論f ( x ) 在 x0 處的可導性。分 段 函 數(shù) 在 分 段 點 的 導 數(shù) 必 須 用 定 義 求 ：（x）f (0)ff () limx0x

18、0e x 21limx0x 0x0lime x21 代換x21x 2limx 2x 0x 0即存在f ()1.四 .練習題及參考答案1.單項選擇題ln(1x 2 )x 2x0.設f ( x )1x0下面說法正確的是（） .a. f ( x) 在 x 0 不連續(xù)；b. . f ( x) 在 x0連續(xù)，但不可導；c.f ( x) 在 x0可導，且f (0)1 ；d. f ( x) 在 x 0 可導，且 f (0) 0 .2.填空題f ( x ) 在 xx0處可導，且f ( x0 )1 , 則（f ( x 0 h )f ( x 0h )1） limh_h03.求函數(shù)的導數(shù)或微分：1 yx x,求 y

19、 yf ln(1x )( x1),求 y , y ylnx 21 ，求 dy .4.設 y3xcos( xy ) 確定 y 是 x 的函數(shù)，求.dydx.，并求出函數(shù)在點(0,1) 的切線方程。注意 : 洛必達法則只能直接用于求“0 ”型或0“”型未定式的極限，對于其他類型的未定式5、證明：（1）若 f ( x) 是偶函數(shù)且可導， 那么 f (x)是奇函數(shù)， （ 2）若f (x) 是奇函數(shù)且可導，那么f ( x) 是偶函數(shù)，答案： 1.d.2.23. . y12ln x )x x(1(2). y1fln(1x ) ；x1y1fln(1x )( x1)21fln(1x )( x1)2 . dyx

20、dx .2x14.dy1 y sin( xy )；dx3 y2x sin( xy )切線方程： 3 yx3 .自我復習 :習題三 (a) 13 ； 21, ，； 24. ，；25； 26. , ; 27. ； 29. ，；47. ， 54.習題三 (b)1 ； 3； 11.第四章中值定理與導數(shù)的應用一 .本章重點求未定式極限的洛必達法則；應用導數(shù)判定函數(shù)的單調性，求函數(shù)的極值和最值；應用導數(shù)確定曲線的凹向與拐點；對經濟問題作邊際分析；二 .復習要求1 知道羅爾定理、 拉格朗日中值定理的條件和結論,會求定理中的，掌握拉格朗日定理推論的意義。2.熟練掌握用洛必達法則求未定式極限的方法。極限，必須將

21、其轉化為“0 ”型或“”型未定0式才能使用法則。洛必達法則可以連續(xù)使用, 當再次使用法則時 , 一定要檢驗法則的條件是否成立 , 當條件不滿足時必須停止使用 , 改用其他求極限的方法計算 .在求未定式極限時，將洛必達法則和等價無窮小代換等其它方法結合使用，可使運算更簡便。3. 掌握用一階導數(shù)判定函數(shù)單調性的方法 , 并能利用函數(shù)的單調性證明不等式。4. 掌握函數(shù)極值的概念及求函數(shù)極值方法.5. 掌握最值的概念及其與極值的關系, 能熟練求閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的最大、 最小值； 會求經濟應用問題的最值 . 如求最大總收入 , 最大總利潤等 .6. 掌握函數(shù)的凹向 , 拐點的概念及求曲線凹向 , 拐點的

22、方法 .三 .例題選解例 1. 求下列極限(1).exsin x2x1limx ln(1x )x0(2).limx 2sinxx0(3).lim11xln(1x )x0解：(1)limexsin x2x1( 0 )x0x ln(1x )0代換exsin x22 x1 limx0x洛x( 0) lim ecos x2x02 x0.洛exsin x lim(不是未定式 )x 02= 1 .2(2) 原式為冪指型不定式（ 00 型），利用代數(shù)變換： u ve v lnu，得：limx 2sinxlime2si n x ln xx 0x0li m 2si n xln xe x0其中l(wèi)im2sin x

23、ln x(0)x 0lim 2 xln x（代換）x0lim 2ln x（）x01x2洛xlimx01x2lim(2x )0.原式 e01x0(3) lim11(型)xln(1x )x0= limln(1x )x(通分化為0 型 )x0x ln(1x)0= limln(1x )x（代換）x0xx11lim 1x（洛必達）x02x limx1x ).x0 2 x(12.x例 2.求函數(shù) y1x 2 的單調區(qū)間和極值， 凹凸區(qū)間和拐點。解：函數(shù) yx的定義域為(,)1x 2(1x22 xx12)x2 ，y(1x2)2(1x2)( 2x )(1x222(1x22x(12)x )y(1x2 )42x(

24、 x 23)。(1x 2 )3令 y(1x )(1x )0，得駐點 x1 ，(1x 2 ) 2x 1；無不可導點。兩駐點分定義域為三個子區(qū)間，列表討論如下：x(, 1)1 (1,1)1(1, )y00y極小z極大令 y2x( x3)( x3)0(1x 2 )3得 x0,x3 ，無 y不存在的點。曲線的凹向及拐點列表討論如下：x (, 3)3( 3,0)0(0,3)3( 3,)y-0+0-0+yi拐點u拐點i拐點u由上面的討論看出：函數(shù) yx2 的單減區(qū)間為(,1)(1,) ；1x單增區(qū)間為 1,1 。極小值是 y(1)1，2.極大值是 y(1)1。2曲線 yx的凸區(qū)間是 (,3)(0, 3)x

25、21凹區(qū)間是 (3,0)( 3,) 。曲線 yx的拐點有三個：(3,3x2) ，14(0,0) ， (3,3) 。4例 3.證明不等式(1 x )ln(1x )1 x2x( x0)2分析與證： 證明不等式的方法很多，利用函數(shù)的單調性或最值證明不等式是常用的方法之一。 這里用單調性來證明。即令f ( x )(1x )ln(1x )1x 2x2則問題轉化為證f ( x ) 0f (0)( x 0)即證在 x0 時， f( x ) 單減。 f ( x )ln(11xx1x )x1ln(1x )xf ( x )11x01xx1 x 0時， f( x ) 單減，有f ( x)f(0)0 f ( x) 也

26、單減，有 f ( x )f (0)0 ， 證畢。例 4.證明：對任意 x 1，有arctanx 21arcsin12x分析：本題為恒等式的證明。我們設.f ( x )arctanx21arcsin 1x由拉格朗日定理的推論，若能證明f ( x)0 則f ( x )c ，再確定c 即可。2證：當 x1 時，1( 1 )f ( x)(x21)x1(x 21) 21)21 (x12 x1x 21 x 21 2 x 211x21x110xx21x x 21 f ( x ) c f (1)arctan 0arcsin12 c，證畢！2例 5 求出函數(shù) y x55x 45 x 31 在區(qū)間 2,1 上的最大、最小值。解：顯然函數(shù)yx5 5x 4 5 x 3 1 在閉區(qū)間 2,1 上連續(xù)，因而必存在最大、最小值。y5x 420 x 315 x