求極限的13種方法

1、最新資料推薦求極限的 13種方法（簡敘）龘龖龍極限概念與求極限的運算貫穿了高等數(shù)學(xué)課程的始終，極限思想亦是高等數(shù)學(xué)的核心與基礎(chǔ)， 因此，全面掌握求極限的方法與技巧是高等數(shù)學(xué)的基本要求。本篇較為全面地介紹了求數(shù)列極限與函數(shù)極限的各種方法，供同學(xué)參考。一、利用恒等變形求極限利用恒等變形求極限是最基礎(chǔ)的一種方法，但恒等變形靈活多變，令人難以琢磨。常用的的恒等變形有：分式的分解、分子或分母有理化、三角函數(shù)的恒等變形、某些求和公式與求積公式的利用等。例 1、求極限 lim (1a)(1 a2 ).(1a2 n)，其中 a1n分析由于積的極限等于極限的積這一法則只對有限個因子成立，因此，應(yīng)先對其進行恒等變

2、形。解因為 (1)(1a2 ).(1a2n )a=1(1a)(1a)(1a2 ).(1a 2n)1a=1(1a 2 )(1 a2 ).(1 a 2n)1a=1(1a 2n 1)1a當(dāng)n時，2n 1,而a1，故a 2n 10, 從而 lim(1a)(1 a 2).(1 a2n) =1n1a二、利用變量代換求極限利用變量代換求極限的主要目的是化簡原表達式，從而減少運算量，提高運算效率。常用的變量代換有倒代換、整體代換、三角代換等。1最新資料推薦例 2、求極限 limm x1 ，其中 m,n 為正整數(shù)。x 1nx1分析這是含根式的（ 0 ）型未定式，應(yīng)先將其利用變量代換進行化0簡，再進一步計算極限。

3、1解 令 tx mn ,則當(dāng) x1時， t1原式 = limtn1(t1)(tn 1tn 2.1)tn 1tn 2.1nmlimm 1m 2m 1m 2t 1t1t 1(t1)(tt.1)tt.1m三、利用對數(shù)轉(zhuǎn)換求極限利用對數(shù)轉(zhuǎn)換求極限主要是通過公式uveln u v , 進行恒等變形，特別的情形，在（ 1）型未定式時可直接運用 uve( u 1) v例 3、求極限 lim (cosx)csc2 xxo1sin 2 x12xlim2sin 2 x解原式 = lime(cos x 1) cscex 0e 2x o四、利用夾逼準(zhǔn)則求極限利用夾逼準(zhǔn)則求極限主要應(yīng)用于表達式易于放縮的情形。例 4、求

4、極限 limn!nnn分析 當(dāng)我們無法或不易把無窮多個因子的積變?yōu)橛邢迺r，可考慮使用夾逼準(zhǔn)則。解 因為 on! 12n 1 n1 ，nnnnn nnn!且不等式兩端當(dāng)趨于無窮時都以0 為極限，所以 lim=0nnn五、利用單調(diào)有界準(zhǔn)則求極限利用單調(diào)有界準(zhǔn)則求極限主要應(yīng)用于給定 初始項與 遞推公式2最新資料推薦xn 1f (xn ) 的數(shù)列極限。在確定 limxn 存在的前提下，可由方程 a=f(a)n解出 a，則 lim xn =a 。n1a) ，（）求極限 lim xn 。例 5、設(shè) a 0, x1 0, xn 1(3xn34xnn=1,2, ,n分析 由于題中并未給出表達式，也無法求出，故

5、考慮利用單調(diào)有界準(zhǔn)則。解 由a0, x0, x1 (3xna)易知 xn0。1n 143xn根據(jù)算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)的關(guān)系，有x1 ( xxxa ) 4x x xa4an 14nnnxn3n n n xn3所以，數(shù)列 xn 有下界 4a ，即對一切 n1,有 xn4 a又xn 11(3a1a1xn44 )(3)xn4a所以 xn 1xn , 即數(shù)列單調(diào)減少。由單調(diào)有界準(zhǔn)則知數(shù)列xn 有極限?，F(xiàn)設(shè) limxn =a, 則由極限的保號性知 a4 a0.nxn 11(3xna)1a)對式子4xn3兩邊同時取極限得a(3 a34a解得a=4a 即 limxn =4a （已舍去負根）,n六、利用等價無

6、窮小求極限利用等價無窮小求極限是求極限極為重要的一種方法，也是最為簡便、快捷的方法。 學(xué)習(xí)時不僅要熟記常用的等價無窮小，還應(yīng)學(xué)會靈活應(yīng)用。同時應(yīng)注意：只有在無窮小作為因式時，才能用其等價無窮小替換。3最新資料推薦例 6、求極限 limsin sin( x 1)ln xx 1分析此題中 sin(x-1),sinsin(x-1),lnx 均為無窮小，而均作為因式，故可以利用等價無窮小快速求出極限。解當(dāng) x 1時，x 10, 則 sin sin( x1) sin( x 1) x 1, ln x ln( 1 x 1) x 1故原式 = lim x11x 1 x1七、利用導(dǎo)數(shù)定義求極限利用導(dǎo)數(shù)定義求極限

7、適用于lim0f ( x0 a)f ( x0b) 型極限，并且需要( a b)ab滿足 f (x0 ) 存在。例 7、求 lim sin( a1)sin an n ，其中0 a 1。n分析初步可判斷此題為（ 1）型未定式，先通過公式 uveln u v , 進行恒等變形，再進一步利用導(dǎo)數(shù)定義求得極限。1 )sin( a 1 )s i na(lim n lnn 解 l i mn n = ensin an s i nasin( a1 )ln sin( a1)ln s i na而 lim n lnnlimnnsin an1n1ln sin aln sin( a)由導(dǎo)數(shù)的定義知， limn表示函數(shù) l

8、nsinx 在 x=a 處的導(dǎo)n1nsin(a1)數(shù)。即 lim nlnsin an ln sin x x acot a 。n八、利用洛必達法則求極限4最新資料推薦0利用洛必達法則求極限適用于,0型未定式，其它類型未定式也0可通過恒等變形轉(zhuǎn)化為0 , ,0型。洛必達法則使用十分方便，但使0用時注意檢查是否符合洛必達法則的使用條件。例 8、求極限 lim cos x 2cos3xx 0x解原式 = limsin x 3sin 3xcosx9 cos3x42xlim2x 0x 0注：連續(xù)兩次使用洛必達法則九、利用微分中值定理求極限利用微分中值定理求極限的重點是學(xué)會靈活應(yīng)用拉格朗日中值定理，即 f

9、(a)f (b) ( ), 其中 （ , )。afa bb例 9、求極限 lim exesin xx0 xsin x分析若對函數(shù) f ( x） ex ，在區(qū)間 sin x, x 上使用拉格朗日中值定理則： exesin xe , 其中（ sinx, x)xsin x解由分析可知 exesin xe ,其中（ sinx, x)xsin x又x0時，有 s i nx0,si xnx, 故0所以 lim exesin x= lim e1x 0xsin xx0十、利用泰勒公式（麥克勞林公式展開式）求極限利用泰勒公式（麥克勞林公式展開式） 求極限是求極限的又一極為重要的方法。與其它方法相比，泰勒公式略顯

10、繁瑣，但實用性非常強。例 10、求極限 lim arctan xarcsin xx 0tan xsin x分析若使用洛必達法則， 計算起來會相當(dāng)麻煩； 同時分子并非兩因5最新資料推薦式之積，等價無窮小也不適用，此時可以考慮用泰勒公式。解當(dāng) x0時，由于 arctan xxx3o( x3 ), a r c s xi n xx3o( x3 )36tan xsin xtan x(1cos x) 1x3x32x3 xo( x3 ) xo(x 3 )1 x3o( x3 )故 原式 = lim31 x36lim21x0x 01 x322十一、利用定積分的定義求極限由定積分的定義知， 如果 f(x) 在 a

11、， b 上可積，那么，我們可以對a，b用特殊的分割方法（如n 等分），并在每一個子區(qū)間特殊地取點（如取每個子區(qū)間的左端點或右端點），所得積分和的極限仍是f(x) 在a， b 上的定積分。所以，如果遇到某些求和式極限的問題，能夠?qū)⑵浔硎緸槟硞€可積函數(shù)的積分和，就能用定積分來求極限。 這里關(guān)鍵在于根據(jù)所給和式確定被積函數(shù)和積分區(qū)間。例 11、求極限 lim1(sinsin2sin (n 1)nnnnn解 從和式 1(sinnsin2sin (n1) 看，若選被積函數(shù)為 sin x ,nnn則因分點 1 與 n1當(dāng) n時分別趨于 0與1，故積分區(qū)間為0，1.nn1 ,從而有 ：將 0，1等分，則有

12、xi原式 = lim 1 (sinsinnsin(n 1) =sinxdx1 cos x o2211nnnnn0十二、利用級數(shù)收斂的必要條件求極限級數(shù)具有以下性質(zhì)：若級數(shù)u n 收斂，則 lim un0 。所以對于某些極限lim f (n), 可以將函nnn 1數(shù) f(n) 作為級數(shù)f(n) 的一般項，只需證明級數(shù)f(n) 收斂，便有n 1n 16最新資料推薦limf (n), =0.n例 12、求極限 limn n( n! )2n解令 unnn,對于正項級數(shù)un ,有(n!) 2n 1limu n 1lim(n1) n 1(n! ) 2lim( n1)nlim (11n1lime2nn)0nu nn(n1)! )nn(n1)nnnn 1nn1limun101,由比值審斂法知，級數(shù)u n收斂。u nnn 1故limnn=0( n! )2n十三、利用冪級數(shù)的和函數(shù)求極限當(dāng)數(shù)列本身就是某個級數(shù)的部分和數(shù)列時，求該數(shù)列的極限就成了求相應(yīng)級數(shù)的和。此時常?？梢暂o助性地構(gòu)造一個函數(shù)在某點的值。例 13、