根軌跡法習題和答案

1、.第四章根軌跡法習題及答案4-1系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為k *g(s) h (s)(s1)(s2)(s4)試證明 s11j3 在根軌跡上，并求出相應的根軌跡增益k * 和開環(huán)增益 k 。解若點 s1 在根軌跡上，則點s1 應滿足相角條件g (s)h ( s)(2k1)，如圖所示。對于 s1j3 ，由相角條件g(s1 )h (s1)0(1j31)( 1j 32)(1j34)0362滿足相角條件，因此s1j3 在根軌跡上。1將 s1 代入幅值條件：g(s )h （ s）k*1111 j 3 11 j 3 2 1 j 3 4解出 ： k *12， kk *3824-2已知單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)如下，

2、試求參數(shù)b 從零變化到無窮大時的根軌跡方程，并寫出b2 時系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)。（1） g (s)20（2） g (s)10(s 2b)4)(sb)s(s 2)(s b)(s解(1) g (s)b(s4)b(s 4)s24s 20(s 2 j 4)(s 2j4).g (s)20(s)s26s281 g (s)(2)g (s)b(s22s20)b(s 1j19 )(s 1j 19)s(s22s10)=s(s1j3)(s 1j3)(s)g (s)10(s4)1 g(s)s34s214s404-3已知單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)g (s)2s，試繪制參數(shù)b 從零變(s 4)(sb)化到無窮大時的根軌跡，

3、并寫出s=-2 這一點對應的閉環(huán)傳遞函數(shù)。解b(s4)g (s)6)s(s根軌跡如圖。s2 時 b4 ，(s)2s2ss210s16(s 2)(s8)4-4已知單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)，試概略繪出系統(tǒng)根軌跡。 g(s)k(2)k (s1)1)(0.5s1)g (s)1)s(0.2ss(2sk*(s5)(4)k * (s1)(s 2)(3) g(s)2)(s 3)g (s)s(ss(s 1)解 g (s)k10ks(s 5)(s 2)s(0.2s 1)(0.5s 1)三個開環(huán)極點： p10 , p22 , p35 實軸上的根軌跡：, 5,2,0.a 漸近線：a 分離點：025733(2k1),

4、331110d d 5 d 2解之得： d10.88 ， d 23.7863 (舍去 )。 與虛軸的交點：特征方程為d (s) s37s210s 10 k 0red( j)7 210k0令)3100im d( j10解得k7與虛軸的交點（0，10 j ）。根軌跡如圖所示。k (s1) k (s1)g(s)1)1s( 2s2s(s)2根軌跡繪制如下： 實軸上的根軌跡： 分離點：, 1 ,0.5,0111dd0.5d1解之得： d0.293,d1.707 。根軌跡如圖所示。根軌跡繪制如下： 實軸上的根軌跡：5, 3 ,2,0.0 23 ( 5)a0 漸近線：2( 2k1)a22 分離點：1111d

5、d 2d 3d 5用試探法可得 d0.886。根軌跡如圖所示。(4) 根軌跡繪制如下： 實軸上的根軌跡：0, 1,-1,-2分離點： 1111dd 1d 1d 2求解得： d10.37， d 21.37根軌跡如圖所示。4-5已知單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為kg(s)s(0.02s1)(0.01s1)要求： (1) 繪制系統(tǒng)的根軌跡；(2) 確定系統(tǒng)臨界穩(wěn)定時開環(huán)增益k 的值；(3) 確定系統(tǒng)臨界阻尼比時開環(huán)增益k 的值。解(1) g (s)k5000k1)(0.01s1)s(s 50)(s 100)s( 0.02s實軸上的根軌跡： 0, -50,-100,-分離點： 1110dd 50 d10

6、0求解得 d121.13， d 278.87 漸近線：a50， a60 o，180 o.根軌跡如圖所示。(2) 系統(tǒng)臨界穩(wěn)定時 k * 750000， k 150(3) 系統(tǒng)臨界阻尼比時 k*48112 .5， k 9.624-6已知系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為g(s) h(s)2k*，要求繪制根軌跡并確8ss(s20)定系統(tǒng)階躍響應無超調(diào)時開環(huán)增益k 的取值范圍。解g(s)h(s)k8s 20)s(s2 實軸上的根軌跡：,0 漸近線：aa0 (4 j2)( 4 j2)833(2k1),33分離點：1110dd4j 2d4j2解之得： d2,d3.33。與虛軸交點： d (s)s38s220sk把 s

7、 j代入上方程，整理，令其實、虛部分別為零得：re(d ( j)k 8 2im( d ( j)20300解得：025k0k160起始角：由相角條件p 263， p 363。.根軌跡如圖所示。所有根為負實根時階躍響應無超調(diào)，此時14.8 k*16， 所以 0.74 k 0.84-7 單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為g(s)k (2s1)，(s 1) 2 (4 s 1)7試繪制系統(tǒng)根軌跡，并確定使系統(tǒng)穩(wěn)定的k 值范圍。解 ：根軌跡繪制如下： 實軸上的根軌跡：0.5，7 / 4 漸近線：aa117 / 4( 0.5)128(2k1)22 與虛軸交點：閉環(huán)特征方程為d(s)4 s31 s2( 2k10 )

8、sk10777把 s j代入上方程，re(d( j)k11 20令7im( d( j)(2k10)4307702解得：，9k1k7根軌跡如圖所示。由圖可知使系統(tǒng)穩(wěn)定的k 值范圍為 1 k 9 7 。4-8 已知控制系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)如下，試繪制系統(tǒng)根軌跡（要求求出起始角）。k（s）2g(s)h (s)4s9) 2(s2.解 根軌跡繪制如下： 實軸上的根軌跡：, 2 漸近線：2j 52j 5(2)2a33(2k1),a33221 分離點：d2j 5d2d 2 j 5解之得： d3.29d0.71 (舍去 )與虛軸交點：閉環(huán)特征方程為d (s)(s24s 9)2k（s）02把 sj代入上方程，re

9、(d ( j)4342812k0令3im( d ( j) (72k)80解得：21k96起始角：90（2 p1290 ） （2k1）解出p145 ,p2135根軌跡如圖所示。4-9已知系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)如下，試分別繪制以a 和 t 為變化參數(shù)的根軌跡。(1)g (s)1/ 4(s a)0 ； (2)g (s)2.6s2 (s， a， t 01)s(0.1s 1)(ts 1)解 (1)g (s)a / 4s(s0.5) 2 實軸上的根軌跡：(，0). 漸近線：a1/ 3， a60o ，180o 分離點： d1/ 6根軌跡如圖所示。(2)ts 2(s10)g (s)10s26s2 實軸上的根軌跡：(

10、，0) 起始角終止角：2(180otg 1 1) tg 1 1(p 90o ) 180o55解得起始角p78.7 o2 z 0 o(tg 1 1tg 1 1 )180o55解得終止角z90 o根軌跡如圖所示。4-10 已知系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)如下，試概略繪出相應的根軌跡，并求出所有根為負實根時開環(huán)增益k 的取值范圍及系統(tǒng)穩(wěn)定時k 的值。g(s)h (s)k (s1)(s1) 2 (s18)解實軸上的根軌跡：18， 1分離點： d14.22 ， d 26.28漸近線： a7.5，a90 o. 與虛軸交點： s1,21.86 j ， k *37.7根軌跡如圖所示。d1 處 k *116.6 ， d

11、2處 k *117.6 ， k k*/ 18結(jié)論：6.48 k 6.53時所有根為負實根，k2.095時系統(tǒng)穩(wěn)定。4-11 已知系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如圖所示，試繪制時間常數(shù)t 變化時系統(tǒng)的根軌跡，并分析參數(shù) t 的變化對系統(tǒng)動態(tài)性能的影響。解： g(s)100s220sts3作等效開環(huán)傳遞函數(shù)*1 t (s220s 100)g(s)s3根軌跡繪制如下：（注意： k *1/ t ) 實軸上的根軌跡：(, 10,10,0 分離點：32解得 d30 。dd10根據(jù)幅值條件，對應的t0.015。 虛軸交點：閉環(huán)特征方程為d ( s )ts 3s 220 s1000把 sj代入上方程，整理，令實虛部分別為零得：r

12、e(d ( j)10020im( d ( j)20t 3010解得：t0.2 起始角：60p1.參數(shù) t 從零到無窮大變化時的根軌跡如圖所示。(請注意根軌跡的方向！)從根軌跡圖可以看出，當0t0.015 時，系統(tǒng)階躍響應為單調(diào)收斂過程；0.015 t 0.2 時，階躍響應為振蕩收斂過程； t 0.2 時，有兩支根軌跡在 s 右半平面，此時系統(tǒng)不穩(wěn)定。若取另外一種等效開環(huán)傳遞函數(shù)則解題步驟如下：g (s)ts 3s220s100三條根軌跡中兩條起于-10，一條起于，均終止于原點 實軸上的根軌跡：( , 10 ,10,0 分離點：3230 。dd解得 d10其余步驟與上基本相同，根軌跡相同，只是-

13、10 處為兩個開環(huán)極點，原點處為3 個開環(huán)零點，根軌跡方向與圖中一樣。4-12控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)如圖所示，試概略繪制其根軌跡( k *0 )。解此系統(tǒng)為正反饋系統(tǒng)，應繪零度根軌跡。 實軸上的根軌跡：, 2 , 1, 分離點：312d 1d解得d0.5 起始角：根據(jù)相角條件，mnij 2ki 1j 1.得p160 ， p260 ， p3 180 。根軌跡如圖所示。4-13設(shè)單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為g(s)k (1s) ，試繪制其根軌跡， 并求出s(s2)使系統(tǒng)產(chǎn)生重實根和純虛根的k值。解 由開環(huán)傳遞函數(shù)的表達式知需繪制0 根軌跡。 實軸上的根軌跡：2,0 ,1,) ；111 分離點：d2d1d解得： d10.732, d 22.732將 sd10.732 ,s