分數(shù)的意義和性質能力培訓

1、分數(shù)的意義和性質能力培訓培訓教師：劉新民一、能力指導例1：有同樣大小的紅、黑、白三種顏色的珠子共89個，按1個紅珠、3個白珠、2個黑珠的順序排列。三種顏色的珠子各占總數(shù)的幾分之幾？6個1組6個1組分析與解答：要求出三種顏色的珠子各占總數(shù)的幾分之幾，應先求出每種顏色的珠子各有多少個。三種顏色的珠子是按1個紅珠、3個白珠、2個黑珠的順序排列，周期為1+3+2=6（個），那么89個珠子共有896=14（組）5（個），如下圖：黑白白白紅黑黑白白白紅89=614+5從上圖中可看出89個珠子中共有14個周期，還剩5個，而每個周期中有1個紅珠、3個白珠、2個黑珠，那么14個周期中紅珠有114=14（個），白

2、珠有314=42（個），黑珠有214=28（個），剩下的5個珠子中有1個紅珠，3個白珠和1個黑珠，所以這89個珠子中共有紅珠14+1=15（個），白珠42+3=45（個），黑珠28+1=29（個），所以紅珠占總數(shù)的1589=，白珠占總數(shù)的4589=，黑珠占總數(shù)的2989=。例2：四名射擊運動員在訓練場進行射擊訓練。他們每人都打了6發(fā)子彈，且都打中了一次十環(huán)，三次九環(huán)，兩次八環(huán)?，F(xiàn)在知道他們剩下的子彈總數(shù)等于他們出來時兩人所帶的子彈數(shù)。他們出發(fā)時，一共帶了多少發(fā)子彈？分析與解答：由他們剩下的子彈總數(shù)等于他們出來時兩人所帶的子彈數(shù)可知他們用的子彈數(shù)也等于他們出來時兩人所帶的子彈數(shù)，他們用了64=2

3、4（發(fā)）子彈，那么他們出來時每人帶了242=12（發(fā)）子彈，所以他們出發(fā)時一共帶了124=48（發(fā)）子彈。例3：一個分數(shù)的分子與分母的和是42，如果分子加上8，這個分數(shù)就等于1.這個分數(shù)原來是多少？分析與解答：如果分子加上8，這時分子、分母的和是42+8=50，這時這個分數(shù)就等于1，說明此時分子與分母相等，即分子、分母各502=25，那么原來的分子是25-8=17，所以這個分數(shù)原來是。例4：從2，3，5，7，11這五個數(shù)中，任取兩個不同的數(shù)分別作為一個分數(shù)的分子與分母，這樣的分數(shù)有多少個？分析與解答：根據(jù)組合的有關知識可知，從五個數(shù)中任取兩個數(shù)共有1+2+3+4=10（種）不同的取法，也就是說

4、分子、分母不交換位置可以組成10個不同的分數(shù)，再把分子、分母交換位置有可以組成10個不同的分數(shù)，所以一共可以組成102=20（個）這樣的分數(shù)。例5：一個分數(shù)，分母比分子大15，它的分數(shù)值等于，這個分數(shù)是多少？分析與解答：由題意可知，原來的分數(shù)的分子與分母的差是15，而分數(shù)值的分子與分母的差是8-3=5，根據(jù)分數(shù)的基本性質，把的分子與分母同時擴大155=3倍，即=就是要求的這個分數(shù)。例6：一個分數(shù)，它的分子和分母同時除以一個相同的數(shù)的，原分子與分母的和是80，求這個分數(shù)。分析與解答：原來分數(shù)的分子和分母同時除以一個相同的數(shù)的，則原來分數(shù)與的大小是相等的，因為原分數(shù)的分子與分母的和是80，分子、分

5、母同時除以一個相同的數(shù)后的分子與分母的和是9+7=16，分子與分母的和從80變成16，縮小了8016=5倍，那么將的分子與分母同時擴大5倍就是原來的數(shù)，即=。例7：求9021和9991的最大公因數(shù)。分析與解答：這兩個數(shù)比較大，它們的公因數(shù)很難找，可以用輾轉相除法來求，先用較大數(shù)除以較小數(shù)，即99919021=1970，再用上次的除數(shù)除以所得余數(shù)，即9021970=9291，還是用上次的除數(shù)除以所得余數(shù)，即970291=397，還用上次除數(shù)除以余數(shù)，即29197=3，直到整除為止，那么最后一個除數(shù)97就是9021和9991的最大公因數(shù)。例8：張老師給全班同學帶來一些糖果。如果把110塊糖果平均分

6、給同學們，則多5塊；如果把210塊糖平均分給同學們。則正好分完；如果把240塊糖果平均分給同學們，則還少5塊。張老師的班級最多有多少名同學？分析與解答：把110塊糖果平均分給同學們，則多5塊，如果從中取出5塊，即110-5=105（塊）則正好分完，同理把240塊糖果平均分給同學們，則還少5塊，如果再加5塊，即240+5=245（塊）則正好分完，把210塊糖平均分給同學們，也正好分完，說明這個班的人數(shù)是105，245和210的公因數(shù)，最多有多少名同學，就是求這三個數(shù)的最大公因數(shù)，即105，245和210的最大公因數(shù)是35，故張老師的班級最多有35名同學。例9：將一塊長是120m、寬80m的長方形

7、土地劃分成面積相等的小正方形。小正方形的面積最大是多少？分析與解答：要使小正方形的面積最大，那么它的邊長要最大，由題意可知小正方形的邊長是120和80的公因數(shù)，最大的邊長是這兩個數(shù)的最大公因數(shù)，即最大邊長是40m，所以小正方形面積最大是4040=1600（m）。例10：分數(shù)的分子、分母同時加上一個數(shù)，約分后得，同時加上的這個數(shù)是多少？分析與解答：一個分數(shù)的分子和分母同時加或減一個數(shù)，分子和分母的差不變。由于分數(shù)的分子、分母的差是13-5=8，分子和分母的差是2-1=1，分子、分母的差從8變成1，說明原分數(shù)的分子和分母同時縮小了81=8倍，那么分子和分母同時擴大8倍就是原來的分數(shù)，即原來分數(shù)為=

8、，那么同時加上的這個數(shù)是8-5=3。例11：一個分數(shù)的分母減去3得，將它的分母加上1，則得，求原分數(shù)是多少？分析與解答：由題意可知，新分數(shù)的分子未變，那么可以把和根據(jù)分數(shù)的基本性質把它們化成分子相同的兩個分數(shù)，即=；=，其中和，和，和均不符合題意，所以把這兩個分數(shù)分別化成和，所以原分數(shù)的分母為12+3=15，16-1=15，則原分數(shù)為。例12：是最簡真分數(shù)，可以取的整數(shù)有多少個？分析與解答：要使是最簡真分數(shù)，不能是24的因數(shù)，且24，即19，不能是2、3、4、6、8、12的倍數(shù)，則不能為1，3，4，5，7，9，10，11，13，15、16、17那么可以取0，2，6，8，12，14，18共7個。

9、例13：兩個數(shù)的最大公因數(shù)是15，最小公倍數(shù)是90，求這兩個數(shù)分別是多少？b1a115ba分析與解答：假設這兩個數(shù)分別為a和b，再根據(jù)兩個數(shù)的最大公因數(shù)是15用短除法分解這兩個數(shù)，商為a1、b1最后根據(jù)兩個數(shù)的最小公倍數(shù)是90分別求出這兩個數(shù)，具體過程如下：根據(jù)最小公倍數(shù)的求法，15a1b1=90，則a1b1=6=16=23。當a1、b1分別為1和6時，a=151=15，b=156=90當a1、b1分別為2和3時，a=152=30，b=153=45綜合上述，這兩個數(shù)分別是15和90或者30和45。例14：兩個數(shù)的最大公因數(shù)是60，最小公倍數(shù)是720，其中一個數(shù)是180，另一個數(shù)是多少？分析與解

10、答：因為兩個數(shù)的最大公因數(shù)和最小公倍數(shù)的乘積等于這兩個數(shù)的乘積，又因為最大公因數(shù)和最小公倍數(shù)的積是60720=43200，其中一個數(shù)是180，所以另一個因數(shù)為43200180=240。例15：一盒圍棋子，4顆，4顆地數(shù)多3顆，6顆，6顆地數(shù)多5顆，15顆，15顆地數(shù)多14顆，這盒圍棋的數(shù)量在150至200之間，問這盒圍棋子共有多少顆？分析與解答：由已知條件可知，這盒圍棋子只要多加1顆，正好是4，6，15的公倍數(shù)是60，這盒圍棋的數(shù)量在150至200之間，則603=180（顆），從總數(shù)中減去加的1顆，所以這盒圍棋子共有180-1=179（顆）。例16：加工某種機器零件要經過三道工序。第一道工序每

11、人每小時可完成6個零件，第二道工序每人每小時可加工5個零件，第三道工序每人每小時可加工15個零件。要使加工生產均衡，三道工序至少各分配幾人？分析與解答：要使加工生產均衡，三道工序加工的零件總數(shù)是相等的。根據(jù)題意可知，三道工序加工的零件總數(shù)應是6，5，15的的公倍數(shù)，要求三道工序至少各分配幾人，應先求出6，5，15的最小公倍數(shù)，即30。所以第一道工序至少要分配306=5（人），第二道工序至少要分配306=5（人），第三道工序至少要分配3015=2（人）。例17：一次會餐共用了75個碗，每人一個飯碗，兩人一個菜碗，三人一個湯碗，四人一碗水果，參加會餐的有多少人？分析與解答：根據(jù)題意，參加這次會餐的

12、人數(shù)是1，2，3，4的最小公倍數(shù)，即12人，這12人要121+122+123+124=25（個）碗，因為75個碗里面共有7525=3（個）25（個）碗，所以參加會餐的有123=36（人）例18：、兩個自然數(shù)同時滿足以下兩個條件：（1） （2）+=22求、的值。分析與解答：根據(jù)分數(shù)的基本性質，分子、分母同時擴大3倍，即=；=，因為，則可以是和，滿足+=22的只有，所以=3，=19。例19：把0.和0.2化成分數(shù)。分析與解答：（1）0.是純循環(huán)小數(shù)，可以移動循環(huán)節(jié)把它轉化成分數(shù)。0.= 0. 0.100=53. -得：0.100-0.= 53. -0.990.=53 則0.=（2）0.2是混循環(huán)小

13、數(shù)，同樣可以移動循環(huán)節(jié)的方法把它轉化成分數(shù)。0.210=2. 0.21000=231. -得：0.21000-0.210=231.- 2.9900.2=229 則0.2=總結：1. 純循環(huán)小數(shù)化成分數(shù)：分子是又一個循環(huán)節(jié)的數(shù)字組成；分母的各位數(shù)字都是9,9的個數(shù)與循環(huán)節(jié)的位數(shù)相同。用字母表示為0.=。2. 混循環(huán)小數(shù)化成分數(shù)：分子是小數(shù)點后面第一個數(shù)字到第一個循環(huán)節(jié)的末位數(shù)字所組成的數(shù)減去不循環(huán)數(shù)字所組成的數(shù)所得的差；分母的前幾位數(shù)字是9，末幾位數(shù)字是0,9的個數(shù)同循環(huán)節(jié)的位數(shù)相同，0的個數(shù)同不循環(huán)部分的位數(shù)相同。用字母表示為0.a=。例20：一個分數(shù)的分子縮小到原來的后，化成小數(shù)是0.04.

14、原分數(shù)的分母擴大到原來的幾倍后能化成小數(shù)0.02？分析與解答：分子縮小到原來的后，化成小數(shù)是0.04，即那么原來分數(shù)為=，因為0.02=，所以原分數(shù)的分母擴大到原來的10025=4倍后能化成小數(shù)0.02。二、能力訓練。1. 為慶祝中國共產黨成立90周年，張老師帶領手工小組的同學把40張彩紙平均分成了8份。折花朵用去了4份，做彩帶用去的彩紙是折花朵份數(shù)的一半，余下的做小旗。做彩帶、做小旗各用去彩紙的幾分之幾？2. 在一條長100米的甬路兩側，從頭到尾每隔2米栽一棵樹，按2棵楊樹、1棵柳樹的規(guī)律栽。楊樹、柳樹各占植樹總數(shù)的幾分之幾？3. 一個分數(shù)，分子和分母的和是28，如果分子減去2，這個分數(shù)就等

15、于1，原分數(shù)是多少？4. 一個假分數(shù)的分子是47，把它化成帶分數(shù)后，分子、分母和整數(shù)部分是3個連續(xù)的自然數(shù)。這個假分數(shù)是多少？化成的帶分數(shù)是多少？5. 一個分數(shù)的分數(shù)值是，如果分子加3，這個分數(shù)就等于自然數(shù)1，求這個分數(shù)。6. 求8251和6105的最大公因數(shù)。7. 把38個蘋果和31個梨分給若干個小朋友，使每個小朋友分得的蘋果的個數(shù)相同。結果蘋果多2個，梨多3個，分到蘋果和梨的小朋友最多是幾個？每人分得幾個蘋果和幾個梨？8. 有三根木料，長度分別是120、180和300.現(xiàn)在要把它們截成相等的小段，且每根都不能有剩余，每根小棒最長是多少厘米？一共可以截成多少段？9. 的分子和分母同時減去一個數(shù)，新的分數(shù)約分后是，減去的這個數(shù)是多少？10.一個分數(shù)，分子加分母等于168；分子、分母都減去6，分數(shù)變成，原分數(shù)是多少？11. 兩個數(shù)的最大公因數(shù)是9，最小公倍數(shù)是90，求這兩個數(shù)分別是多少？12. 有一車飲料，3箱3箱地數(shù)剩1箱；5箱5箱地數(shù)剩1箱；7箱7箱地數(shù)剩1箱。這車飲料至少有多少箱？13. 學校在甬路的一旁栽了一行小樹，從第一棵到最后一棵的距離是80m，原來每隔2m栽一棵，現(xiàn)在小樹長大了，改為每