高中數(shù)學(xué) 第二章 數(shù)列復(fù)習(xí)教案 新人教B版必修

1、第二章 數(shù)列整體設(shè)計教學(xué)分析本章知識網(wǎng)絡(luò)本章復(fù)習(xí)建議本章教材的呈現(xiàn)方式?jīng)Q定了本章的復(fù)習(xí)方法，一方面讓學(xué)生體會數(shù)列是一種特殊函數(shù)，加深對函數(shù)概念和性質(zhì)的理解，對數(shù)列的本質(zhì)有清晰的認(rèn)識和把握；另一方面，通過數(shù)列概念引入以及數(shù)列應(yīng)用的過程，體會數(shù)列問題的實際應(yīng)用數(shù)列可以看成是定義域為正整數(shù)集N*(或它的有限子集)的函數(shù)，當(dāng)自變量順次從小到大依次取值時對應(yīng)的一列函數(shù)值，而數(shù)列的通項公式則是相應(yīng)的函數(shù)解析式由于數(shù)列的項是函數(shù)值，序號是自變量，所以以序號為橫坐標(biāo)，相應(yīng)的項為縱坐標(biāo)畫出的圖象是一些孤立的點等差數(shù)列和等比數(shù)列是兩種最基本、最常見的數(shù)列，它們各有五個基本量：首項a1、公差d或公比q、項數(shù)n、通項

2、an、前n項和Sn；兩個基本公式通項公式和前n項和公式將這五個基本量連接起來，應(yīng)用函數(shù)與方程的思想方法，認(rèn)識這些基本量的相互聯(lián)系，由已知推求未知，構(gòu)成了數(shù)列理論的基本框架，成為貫穿始終的主線本章的重點是等差和等比數(shù)列的基本性質(zhì)及其應(yīng)用，難點是等差和等比數(shù)列的基本性質(zhì)的綜合應(yīng)用因此注意等差、等比數(shù)列與相應(yīng)函數(shù)的關(guān)系也就成了復(fù)習(xí)的重點數(shù)列在高考中占有重要的位置，也是高考命題的熱點之一由于數(shù)列內(nèi)容的豐富性、應(yīng)用的廣泛性和思想方法的多樣性，決定了數(shù)列在高考中地位的特殊性這就要求我們在數(shù)列復(fù)習(xí)中，要重視基礎(chǔ)知識和方法的學(xué)習(xí)，理解和掌握等差與等比數(shù)列的基本性質(zhì)，幫助學(xué)生自我架構(gòu)數(shù)列知識框架，提高綜合運用數(shù)

3、列知識和方法的能力數(shù)列的通項是數(shù)列最重要、最常見的表達(dá)形式，它是數(shù)列的核心，應(yīng)弄清通項公式的意義項數(shù)n的函數(shù)；理解通項公式的作用可以用通項公式求數(shù)列的任意一項的值，及對數(shù)列進(jìn)行一般性的研究數(shù)列的遞推式是數(shù)列的另一種表達(dá)形式，常見方法有錯位相減法、裂項相消法、分解轉(zhuǎn)化法、倒序相加法，若涉及正負(fù)相間的數(shù)列求和常需分類討論在處理這類問題的時候要注意項數(shù)數(shù)列一章是高中多個數(shù)學(xué)知識點的交匯，也是多個數(shù)學(xué)思想方法的聚會，因此本章教學(xué)要善于挖掘教材內(nèi)容的延伸和拓展本章小結(jié)中的題目，缺少代數(shù)、三角和幾何的綜合的基本練習(xí)題，在設(shè)計的例題中有所涉及但仍不夠，可再適當(dāng)增加些如三角形的三內(nèi)角成等差數(shù)列等問題的探究本章

4、復(fù)習(xí)將分為兩課時，第1課時重點是系統(tǒng)化本章知識結(jié)構(gòu)，優(yōu)化解題思路和解題方法，提升數(shù)學(xué)表達(dá)的能力；第2課時重點是靈活運用數(shù)列知識解決與數(shù)列有關(guān)的問題為更好地理解教學(xué)內(nèi)容，可借助信息技術(shù)復(fù)習(xí)本章內(nèi)容通過現(xiàn)代教育技術(shù)手段，給學(xué)生展示一個更加豐富多彩的“數(shù)列”內(nèi)容本章新課程標(biāo)準(zhǔn)要求是：1.數(shù)列的概念和簡單表示法通過日常生活中的實例，了解數(shù)列的概念和幾種簡單的表示方法(列表、圖象、通項公式)，了解數(shù)列是一種特殊函數(shù).2.等差數(shù)列、等比數(shù)列(1)通過實例，理解等差數(shù)列、等比數(shù)列的概念；(2)探索并掌握等差數(shù)列、等比數(shù)列的通項公式與前n項和的公式；(3)能在具體的問題情境中，發(fā)現(xiàn)數(shù)列的等差關(guān)系或等比關(guān)系，并

5、能用有關(guān)知識解決相應(yīng)的問題；(4)體會等差數(shù)列、等比數(shù)列與一次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)的關(guān)系三維目標(biāo) 1通過本章復(fù)習(xí)，使學(xué)生理清本章知識網(wǎng)絡(luò)，歸納整合知識系統(tǒng)，突出知識間內(nèi)在聯(lián)系，能用函數(shù)觀點進(jìn)一步認(rèn)識數(shù)列2提高學(xué)生綜合運用知識的能力，分析問題、解決問題的能力；培養(yǎng)學(xué)生自主復(fù)習(xí)及歸納的意識，激勵學(xué)生思維創(chuàng)新3認(rèn)識事物間的內(nèi)在聯(lián)系和相互轉(zhuǎn)化，培養(yǎng)探索、創(chuàng)新精神重點難點 教學(xué)重點：等差數(shù)列、等比數(shù)列的概念、通項、前n項和，及它們之間的內(nèi)在聯(lián)系；靈活應(yīng)用數(shù)列知識解決問題教學(xué)難點：用函數(shù)的觀點認(rèn)識數(shù)列并用數(shù)列知識靈活解決實際問題課時安排 2課時第1課時導(dǎo)入新課 思路1.讓學(xué)生閱讀課本的小結(jié)內(nèi)容根據(jù)教材內(nèi)容的呈現(xiàn)

6、方式回答有關(guān)問題，同時也給學(xué)生以數(shù)列整體知識結(jié)構(gòu)的記憶由此展開新課(幻燈片)思路2.本章是通過對一般數(shù)列的研究，轉(zhuǎn)入對兩類特殊數(shù)列等差數(shù)列、等比數(shù)列的研究，然后讓學(xué)生根據(jù)本章學(xué)習(xí)的進(jìn)程，回憶本章學(xué)習(xí)了哪些主要內(nèi)容？用到了哪些思想方法？本章知識流程圖留給學(xué)生自己操作相比之下，這種引入對學(xué)生的思維要求較高，難度大，但卻更能訓(xùn)練學(xué)生的創(chuàng)造性思維教師可結(jié)合學(xué)生的活動出示相關(guān)多媒體課件推進(jìn)新課 (1)怎樣理解函數(shù)與數(shù)列的關(guān)系？(2)回憶等差數(shù)列、等比數(shù)列的定義、通項公式、求和公式及性質(zhì)各是什么？(3)回憶“疊加法”“累乘法”“倒序相加法”“錯位相減法”的含義是什么？(4)對任意數(shù)列an，若前n項和為Sn

7、，則an與Sn具有怎樣的關(guān)系？怎樣理解這個關(guān)系式？它有哪些應(yīng)用？活動：教師引導(dǎo)學(xué)生充分探究，自行總結(jié)，不要將歸納總結(jié)變成課堂上的獨角戲，輔助課件可制成如下表格形式：數(shù)列等差數(shù)列等比數(shù)列定義通項公式遞推公式性質(zhì)前n項和公式點撥學(xué)生注意，重新復(fù)習(xí)數(shù)列全章更應(yīng)從函數(shù)角度來認(rèn)識數(shù)列，這是學(xué)好數(shù)列、居高臨下地把握數(shù)列的錦囊妙計深刻認(rèn)識數(shù)列中數(shù)的有序性是數(shù)列定義的靈魂數(shù)列可以看成是定義域為正整數(shù)集N*(或它的有限子集)的函數(shù)，當(dāng)自變量順次從小到大依次取值時，對應(yīng)的一列函數(shù)值而數(shù)列的通項公式則是相應(yīng)的函數(shù)解析式反映到圖象上，由于數(shù)列的項是函數(shù)值，序號是自變量，所以以序號為橫坐標(biāo)，相應(yīng)的項為縱坐標(biāo)畫出的圖象是

8、一些孤立的點，所以說數(shù)列是一類特殊的函數(shù)，復(fù)習(xí)本章應(yīng)突出數(shù)列的這一函數(shù)背景對兩類特殊數(shù)列等差數(shù)列與等比數(shù)列的函數(shù)理解則是：等差數(shù)列是一次型函數(shù)，是最簡單的遞推數(shù)列；等比數(shù)列是指數(shù)型函數(shù)它們具有函數(shù)的一般性質(zhì)，都借助了數(shù)形結(jié)合的思想研究問題關(guān)于等差數(shù)列、等比數(shù)列的通項公式與前n項和公式的推導(dǎo)方法以及“疊加法”“累乘法”等，可由學(xué)生回憶并進(jìn)一步理解，這里不再一一列出教師應(yīng)特別引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注an與Sn的關(guān)系對于任何數(shù)列an，若前n項和為Sn，則an常因忽略對n1的討論或忽略n2這一條件而出錯這個關(guān)系式要深刻理解并靈活運用用此關(guān)系式求an時，若S1滿足SnSn1的形式，則用統(tǒng)一的形式表示通項公式an.若

9、S1不滿足SnSn1的形式，則分段表示通項公式an.因此這個關(guān)系式的應(yīng)用有兩個方面：既可用此式求通項公式an，又可將an轉(zhuǎn)化為SnSn1的形式解決問題應(yīng)讓學(xué)生明確用本章知識主要解決的問題是：對數(shù)列概念(包括通項、遞推等)理解的題目；等差數(shù)列和等比數(shù)列中五個基本量a1，an，d(q)，n，Sn知三求二的方程問題；數(shù)列知識在生產(chǎn)實際和社會生活中的應(yīng)用問題討論結(jié)果：(1)(4)略例1設(shè)an是公比為q的等比數(shù)列，Sn是它的前n項和，若Sn是等差數(shù)列，求q的值活動：這是一道關(guān)于等差數(shù)列與等比數(shù)列的基本概念和基本性質(zhì)的題，起點比較低，入手的路子寬讓學(xué)生獨立思考，列式、求解，組織學(xué)生交流不同的解題思路，概括

10、出典型的解題方法解法一：利用定義，Sn是等差數(shù)列，anSnSn1S2S1a2.a1qn1a1q.a10，qn21.q1.解法二：利用性質(zhì)，Sn是等差數(shù)列，anSnSn1Sn1Sn2an1，a1qn1a1qn2.a10，q0，q1.解法三：利用性質(zhì)，2S2S1S3，2(a1a2)a1a1a2a3，即a2a3.q1.點評：還可以用求和公式、反證法等 變式訓(xùn)練設(shè)等比數(shù)列an的前n項和為Sn，若S10S512，則 S15S5等于()A34 B23 C12 D13答案：A解析：方法一：設(shè)等比數(shù)列的公比為q，則S10S5S5q5，S15S5S5q5S5q10，由S10S512，得1q5，q5，S15S51

11、q5q10.方法二：S10S512，S10S5.(S10S5)2(S15S10)S5，(S5)2(S15S5)S5.例2設(shè)數(shù)列an的前n項和為Snn22n4(nN*)(1)寫出這個數(shù)列的前三項；(2)證明數(shù)列除去首項后所成的數(shù)列a2，a3，an，是等差數(shù)列活動：學(xué)生很容易解決第(1)題，第(2)題是要證明一個數(shù)列是等差數(shù)列，這里的關(guān)鍵是要注意條件中的“除去首項后”(1)解：a1S17，a2S2S12222475，a3S3S232234(75)7，即a17，a25，a37.(2)證明：an當(dāng)n1時，anSnSn1n22n4(n1)22(n1)42n1.an1an2(定值)，即數(shù)列an除去首項后所

12、成的數(shù)列是等差數(shù)列點評：注意書寫步驟的規(guī)范，理解第(2)題中n1時的討論，準(zhǔn)確表達(dá)推理過程，理解重要關(guān)系式an的應(yīng)用例3設(shè)等差數(shù)列an的前n項和為Sn，已知a312，S120，S130，(1)求公差d的取值范圍；(2)指出S1，S2，S12中哪一個值最大，并說明理由活動：這是一道經(jīng)典考題，很有訓(xùn)練價值教師引導(dǎo)學(xué)生觀察題目條件及結(jié)論，尋找解題的切入點，鼓勵學(xué)生多角度思考對于第(1)個問題，目標(biāo)是關(guān)于d的范圍的問題，故應(yīng)當(dāng)考慮到合理地選用等差數(shù)列的前n項和的哪一個公式其次，條件a312可以得出a1與d的關(guān)系，列式中可以用來代換掉另一個量，起到減少未知量的作用在教師的引導(dǎo)下，列出式子，將問題化歸為一

13、個關(guān)于d的不等式對第(2)個問題的思考，可以有較多的角度，讓學(xué)生合作探究，充分挖掘題目中的條件，尋找更好的思路積極活動，在交流中受到啟發(fā)，得到自己的成功的解法教師收集、整理出學(xué)生的不同思路，公布優(yōu)秀的思考方法和解題過程解：(1)依題意有S1212a11211d0，S1313a11312d0，即2a111d0，a16d0.由a312，得a1122d，將式分別代入式，得247d0且3d0，d3為所求(2)方法一：由(1)知d0，a1a2a3a12a13，因此，若在1n12中存在自然數(shù)n，使得an0，an10，則Sn就是S1，S2，S12中的最大值由于S1212a11211d6(2a111d)6(a

14、6a7)0，S1313a11312d13(a16d)13a70，a60，a70.故在S1，S2，S12中，S6最大方法二：Snna1n(n1)dn(122d)(n2n)d(n)2.d0，(n)2最小時，Sn最大而當(dāng)d3時，有66.5，且nN，當(dāng)n6時，(n)2最小，即S6最大方法三：由d0，可知a1a2a3a12a13，因此，若在1n12中存在自然數(shù)n，使得an0，an10，則Sn就是S1，S2，S12中的最大值由S120，S130，有12a11211d0a15d0；13a11312d0a16d0.a60，a70.故在S1，S2，S12中，S6最大方法四：同方法二得Sn(n)2.d0，故Sn的

15、圖象是開口向下的一條拋物線上的一些點，注意到S00，且S120，S130，知該拋物線與橫軸的一個交點是原點，一個在區(qū)間(12,13)內(nèi)，于是拋物線的頂點在(6,6.5)內(nèi)，而nN，知n6時，有S6是S1，S2，S12中的最大值點評：解完本例后，教師引導(dǎo)學(xué)生反思解法，充分發(fā)揮本例的訓(xùn)練功能第(1)問通過建立不等式組求解屬基本要求，難度不大第(2)問難度較高，為求Sn中的最大值方法一是知道Sk為最大值的充要條件是ak0且ak10；方法二是可視Sn為n的二次函數(shù)，借助配方法求解它訓(xùn)練了等價轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想、邏輯思維能力和計算能力，較好地體現(xiàn)了高考試題注重能力考查的特點；而方法三則是通過等差數(shù)列的性質(zhì)，

16、探尋數(shù)列的分布規(guī)律，找出“分水嶺”，從而得解例4已知數(shù)列an為，若bn，求bn的前n項和Sn.活動：教師點撥學(xué)生解決問題的關(guān)鍵是找出數(shù)列的通項，根據(jù)數(shù)列的通項特點尋找解決問題的方法顯然an，bn2()由此問題得以解決解：由題意，知an，bn2()Sn2(1)2(1).點評：本例鞏固了數(shù)列的求和知識方法，通過探究，明確解決問題的關(guān)鍵是先從分析通項公式入手，找出規(guī)律，再用裂項法求解 變式訓(xùn)練等差數(shù)列an的各項均為正數(shù)，a13，前n項和為Sn，bn為等比數(shù)列，b11，且b2S264，b3S3960.(1)求an與bn；(2)求的值解：(1)設(shè)an的公差為d，bn的公比為q，則d0.依題意，得解得或(

17、舍去)故an32(n1)2n1，bn8n1.(2)Sn35(2n1)n(n2)，所以(1)(1) .設(shè)an是公比大于1的等比數(shù)列，Sn為數(shù)列an的前n項和，已知S37，且a13,3a2，a34構(gòu)成等差數(shù)列(1)求數(shù)列an的通項；(2)令bnlna3n1，n1,2，求數(shù)列bn的前n項和Tn.解：(1)由已知得解得a22.設(shè)數(shù)列an的公比為q，由a22，可得a1，a32q.又S37，可知22q7，即2q25q20.解得q12，q2.由題意得q1，q2.a11.故數(shù)列an的通項為an2n1.(2)由于bnlna3n1，n1,2，由(1)得a3n123n，bnln23n3nln2.bn是等差數(shù)列Tnb

18、1b2bnln2.1由學(xué)生自己總結(jié)本節(jié)復(fù)習(xí)的內(nèi)容與方法，回顧通過本節(jié)復(fù)習(xí)，對數(shù)列的認(rèn)識提升了哪些？都有哪些收獲？2等差數(shù)列與等比數(shù)列涉及的知識面很寬，與其他內(nèi)容的交匯較多，但不管怎樣變化，只要抓住基本量，充分運用方程、函數(shù)、化歸等數(shù)學(xué)思想方法，合理選用相關(guān)知識，任何問題都能迎刃而解課本本章小結(jié)鞏固與提高3、4、5.設(shè)計感想1本教案設(shè)計加強了學(xué)生學(xué)習(xí)的聯(lián)系數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)絕不是孤立的學(xué)習(xí)，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的聯(lián)系性表現(xiàn)為兩個方面，一方面是數(shù)學(xué)與現(xiàn)實生活的聯(lián)系，另一方面是數(shù)學(xué)內(nèi)部之間的聯(lián)系，表現(xiàn)為數(shù)學(xué)知識內(nèi)容之間的相互聯(lián)系本教案設(shè)計充分體現(xiàn)了這一數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)特征2本教案設(shè)計加強了學(xué)生的數(shù)學(xué)探索活動數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)不是簡單的鏡面

19、式反映，而是經(jīng)過觀察、實驗、猜測、歸納、類比、抽象、概括等過程，經(jīng)過交流、反思、調(diào)整等完成的本章內(nèi)容的復(fù)習(xí)設(shè)計，充分體現(xiàn)了學(xué)生是學(xué)習(xí)的主體這一特點，給學(xué)生留有了充分發(fā)揮和自主學(xué)習(xí)的空間3本教案設(shè)計突出了數(shù)學(xué)思想方法的訓(xùn)練，尤其突出了一般到特殊、特殊到一般的思想方法，函數(shù)思想、類比思想貫穿整章內(nèi)容另外還有數(shù)形結(jié)合思想、方程思想等第2課時導(dǎo)入新課思路1.(直接導(dǎo)入)上一節(jié)課我們總結(jié)了數(shù)列的有關(guān)概念、方法、公式等本節(jié)繼續(xù)通過例題探究、變式訓(xùn)練等活動，進(jìn)一步加深和提高解決問題的靈活性要求通過本節(jié)復(fù)習(xí)，對等差、等比數(shù)列有更深刻的理解，逐漸形成靈活熟練的解題技能思路2.(練習(xí)導(dǎo)入)通過以下練習(xí)、講評作為新

20、課的切入點某養(yǎng)豬場養(yǎng)的豬，第一年豬的重量增長率是200%，以后每年的重量增長率都是前一年增長率的.(1)當(dāng)飼養(yǎng)4年后，所養(yǎng)的豬的重量是原來的多少倍？(2)如果由于各種原因，豬的重量每年損失預(yù)計重量的10%，那么經(jīng)過多少年后，豬的重量開始減少？解：(1)依題意，豬的重量增長率成等比數(shù)列，設(shè)原來豬重為a，則四年后為a(1200%)(12)(12)(12)a.答：4年后豬的重量是原來的倍(2)由anan1知anan(1)(1)，得2n19，n5.故5年后豬的重量會減少推進(jìn)新課(1)等差數(shù)列、等比數(shù)列有哪些重要性質(zhì)？怎樣運用這些性質(zhì)快速解題？(2)怎樣建立數(shù)列模型解決實際問題？(3)在具體的問題情境中

21、，怎樣識別數(shù)列的等差關(guān)系或等比關(guān)系，并用有關(guān)知識解決相應(yīng)的問題？活動：教師引導(dǎo)學(xué)生對所學(xué)等差、等比數(shù)列的性質(zhì)進(jìn)行回憶，特別提示學(xué)生在使用等差數(shù)列與等比數(shù)列的性質(zhì)解決問題時，一定要注意下標(biāo)的起始以及下標(biāo)間的關(guān)系，防止誤用性質(zhì)或求錯結(jié)果等差、等比數(shù)列的性質(zhì)是兩種數(shù)列基本規(guī)律的深刻體現(xiàn)，巧用性質(zhì)、減少運算量在等差、等比數(shù)列的計算中非常重要應(yīng)用等差、等比數(shù)列的性質(zhì)解題，往往可以回避求其首項和公差或公比，使問題得到整體解決能夠在運算時達(dá)到運算靈活、方便、快捷的目的，因而一直受到重視，高考中也一直作為重點來考查數(shù)列應(yīng)用題大致可分為三類：一類是有關(guān)等差數(shù)列的應(yīng)用題，這類問題在內(nèi)容上比較簡單，建立等差數(shù)列模型

22、后，問題常常轉(zhuǎn)化成整式或整式不等式處理，計算較容易；二類是有關(guān)等比數(shù)列的應(yīng)用題，這類問題建立模型后，弄清項數(shù)是關(guān)鍵，運算中往往要運用指數(shù)或?qū)?shù)不等式，常需要查表或依據(jù)題設(shè)中所給參考數(shù)據(jù)進(jìn)行近似計算，對其結(jié)果要按要求保留一定的精確度，注意答案要符合題設(shè)中實際問題的意義；三類是有關(guān)遞推數(shù)列中可化成等差、等比數(shù)列的問題，這類問題要掌握將遞推數(shù)列化成等差、等比數(shù)列求解的方法解決數(shù)列應(yīng)用題的一般方法步驟與解其他應(yīng)用題相似(1)審題，明確問題屬于哪類應(yīng)用題，弄清題目中的已知量，明確所求的結(jié)論是什么(2)將實際問題抽象為數(shù)學(xué)問題，將已知與所求聯(lián)系起來(3)明確是等差數(shù)列模型還是等比數(shù)列模型，還是遞推數(shù)列模型

23、，是求an，還是求Sn，n是多少國民經(jīng)濟(jì)發(fā)展中的大量問題：如人口增長，產(chǎn)量增加，土地減少，成本降低，存款利息，購物(如車子、房子)中的定期付款，經(jīng)濟(jì)效益等應(yīng)用問題，都是數(shù)列所要解決的問題因此，數(shù)列的有關(guān)知識，在應(yīng)用上有著廣泛的前景和用武之地討論結(jié)果：(1)(3)略(2)建立數(shù)列模型的關(guān)鍵是分析題中已知量與未知數(shù)據(jù)之間的關(guān)系例1已知公差不為零的等差數(shù)列an和等比數(shù)列bn中，a1b11，a2b2，a8b3.試問：是否存在常數(shù)a、b，使得對于一切自然數(shù)n，都有anlogabnb成立？若存在，求出a、b的值；若不存在，請說明理由活動：教師引導(dǎo)學(xué)生觀察本題的條件，與學(xué)生一起探究由于本題涉及到兩個數(shù)列an

24、和bn之間的關(guān)系，而已知中的三個等式架起了兩個數(shù)列間的橋梁，要想研究an、bn的性質(zhì)，應(yīng)該先抓住數(shù)列中的什么量呢？由于an是等差數(shù)列，bn是等比數(shù)列，所以應(yīng)該先抓住基本量a1、d和q.由已知a1b11，a2b2，a8b3，可以列出方程組解出d和q，則an、bn就確定了進(jìn)一步探究：如果an和bn確定了，那么anlogabnb就可以轉(zhuǎn)化成含有a、b、n的方程，如何判斷a、b是否存在呢？如果通過含有n、a、b的方程解出a和b，那么就可以說明a、b存在；如果解不出a和b，那么解不出的原因也就是a和b不存在的理由解：設(shè)等差數(shù)列an的公差為d(d0)，等比數(shù)列bn的公比為q，則解得d5，q6.所以an5n

25、4，而bn6n1.若存在常數(shù)a、b，使得對一切自然數(shù)n，都有anlogabnb成立，即5n4loga6n1b，即5n4(n1)loga6b，即(loga65)n(bloga64)0對任意nN*都成立，只需成立解得a6，b1.所以存在常數(shù)a、b，使得對于一切自然數(shù)n，都有anlogabnb成立點評：本題的關(guān)鍵是抓住基本量：首項a1和公差d、公比q，因為這樣就可以求出an和bn的表達(dá)式an和bn確定，其他的問題就可以迎刃而解可見，抓住基本量是解決等差數(shù)列和等比數(shù)列綜合問題的關(guān)鍵 變式訓(xùn)練已知數(shù)列an滿足：a11，an1(1)求a2，a3；(2)當(dāng)n2時，求a2n2與a2n的關(guān)系式，并求數(shù)列an中偶

26、數(shù)項的通項公式解：(1)a2，a3.(2)a2n21a2n22(2n2)，即a2n1a2n22(2n2)a2n11a2n1(2n1)，即a2na2n2(2n2)(2n1)，a2na2n21.a2n2(a2n22)a2n()n2(nN*)例2設(shè)an是正數(shù)組成的數(shù)列，其前n項和為Sn，并且對于所有的自然數(shù)n，an與1的等差中項等于Sn與1的等比中項，求數(shù)列an的通項公式活動：教師引導(dǎo)學(xué)生將文字語言轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語言，即，然后通過an與Sn的關(guān)系求通項解：方法一：依題意，有Sn，an1Sn1Sn(an11)2(an1)2(an11)2(an1)20，即(an1an)(an1an2)0.an0，an1an

27、2.又a11，an是首項為1，公差為2的等差數(shù)列an2n1.方法二：，S1a11.當(dāng)n2時，2an1，即2SnSn11，即(1)2()20，(1)(1)0.又an0，S11，10.1.n.從而an212n1.點評：利用數(shù)列通項an與前n項和Sn的關(guān)系：an與題設(shè)條件建立遞推關(guān)系是本題求解的關(guān)鍵例3已知數(shù)列an滿足3Sn(n2)an(nN*)，其中Sn為前n項的積，a12.(1)證明數(shù)列an的通項公式為ann(n1)(2)求數(shù)列的前n項和Tn.(3)是否存在無限集合M，使得當(dāng)nM時，總有|Tn1|成立？若存在，請找出一個這樣的集合；若不存在，請說明理由活動：教師引導(dǎo)學(xué)生分析題目中的已知條件：an

28、與Sn的關(guān)系，結(jié)合題目中的結(jié)論，顯然需利用anSnSn1(n2)消去Sn，由此打開解題的通道可讓學(xué)生自己探究操作，教師適時地給予點撥解：(1)證明：由3Sn(n2)an，得3Sn1(n1)an1(n2)兩式相減，得3an(n2)an (n1)an1，即(n1)an(n1)an1，(n2)(n3)，a12.疊乘，得ann(n1)(nN*)(2)，Tn11.(3)令|Tn1|1|，得n110，n9.故滿足條件的M存在，Mn|n9，nN*例4已知數(shù)列an是公差不為零的等差數(shù)列，數(shù)列akn是公比為q的等比數(shù)列，且k11，k25，k317，求k1k2k3kn的值活動：教師引導(dǎo)學(xué)生觀察本題條件，共同探究本

29、題可把k1k2kn看成是數(shù)列kn的求和問題，這樣我們著重考查kn的通項公式，這是解決數(shù)列問題的一般方法，稱為“通項分析法”從尋找新舊數(shù)列的關(guān)系著手，即可找到解決問題的切入點，使問題迎刃而解解：設(shè)數(shù)列an的公差為d，d0，則a5a14d，a17a116d.因為a1，a5，a17成等比數(shù)列，則(a14d)2a1(a116d)，即2d2a1d.又d0，則a12d.所以ana1(n1)d2d(n1)d(n1)d.因為數(shù)列akn的公比為q，則q3，所以aknak13n1a13n12d3n1.又akn(kn1)d，則2d3n1(kn1)d.由d0，知kn23n11(nN*)因此，k1k2k3kn23012

30、311232123n112(3031323n1)n2n3nn1.點評：此題的已知條件中，抽象符號比較多，但是，只要仔細(xì)審題，弄清楚符號的含意，看透題目的本質(zhì)，抓住基本量，不管多復(fù)雜的問題，都是能夠解決的 變式訓(xùn)練設(shè)數(shù)列an滿足a13a232a33n1an，nN*.(1)求數(shù)列an的通項；(2)設(shè)bn，求數(shù)列bn的前n項和Sn.解：(1)a13a232a33n1an，當(dāng)n2時，a13a232a33n2an1，得3n1an，an.在中，令n1，得a1，an.(2)bn，bnn3n.Sn3232333n3n.3Sn32233334n3n1.，得2Snn3n1(332333n)n3n1，Sn.例5已知

31、數(shù)列bn是等差數(shù)列，b11，b1b2b10145.(1)求數(shù)列bn的通項bn；(2)設(shè)數(shù)列an的通項anloga(1)(其中a0且a1)，記Sn是數(shù)列an的前n項和，試比較Sn與的大小，并證明你的結(jié)論活動：這是一道1998年的全國高考題，至今解來仍很新穎難度屬中高檔，教師與學(xué)生共同探究首先，數(shù)列bn的通項容易求得，但是它是攀上這個題目頂端的第一個臺階，必須走好這一步解：(1)設(shè)數(shù)列bn的公差是d，由題意得b11，10b110(101)d145，解得b11，d3.bn3n2.(2)由bn3n2，知Snloga(11)loga(1)loga(1)loga(11)(1)(1)，loga，因此要比較S

32、n與的大小，可先比較(11)(1)(1)與的大小取n1，有(11)，取n2，有(11)(1)，由此推測(11)(1)(1).(*)若(*)式成立，則由對數(shù)函數(shù)性質(zhì)可斷定：當(dāng)a1時，Sn，當(dāng)0a1時，Sn.對于(*)式的證明，提供以下兩種證明方法供參考下面對(*)式加以證明：證法一：記An(11)(1)(1)(1)，Dn，再設(shè)Bn，Cn，當(dāng)kN*時，恒成立，于是AnBnCn.AAnBnCn3n1D.AnDn，即(11)(1)(1)成立由此證得：當(dāng)a1時，Sn.當(dāng)0a1時，Sn.證法二：，因此只需證1對任意自然數(shù)k成立，即證，也即(3k1)3(3k1)(3k2)2，即9k5.該式恒成立，故1.取k

33、1,2,3，n并相乘即得AnDn.點評：(*)式的證明還有一些其他的證明思路，比如說，數(shù)學(xué)歸納法、反證法等有待于今后的學(xué)習(xí)中學(xué)會了這些方法后再應(yīng)用例6假設(shè)某市2004年新建住房400萬平方米，其中有250萬平方米是中低價房，預(yù)計在今后的若干年內(nèi)，該市每年新建住房面積平均比上一年增長8%.另外，每年新建住房中，中低價房的面積均比上一年增加50萬平方米，那么到哪一年底，(1)該市歷年所建中低價房的累計面積(以2004年為累計的第一年)將首次不少于4 750萬平方米？(2)當(dāng)年建造的中低價房的面積占該年建造住房面積的比例首次大于85%?活動：教師引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)真審題，確定數(shù)列模型，深刻挖掘題目中的數(shù)量關(guān)

34、系，這是解決本題的錦囊妙計由題意知，第(1)題屬等差數(shù)列模型，需求和第(2)題屬等比數(shù)列模型解：(1)設(shè)中低價房面積構(gòu)成數(shù)列an，由題意可知，an是等差數(shù)列，其中a1250，d50，則Sn250n5025n2225n.令25n2225n4 750，即n29n1900，而n是正整數(shù)n10.到2013年底，該市歷年所建中低價房的累計面積將首次不少于4 750萬平方米(2)設(shè)新建住房面積構(gòu)成數(shù)列bn，由題意可知，bn是等比數(shù)列，其中b1400，q1.08，則bn400(1.08)n1.由題意可知an0.85bn，有250(n1)50400(1.08)n10.85，由計算器解得滿足上述不等式的最小正整

35、數(shù)n6.到2009年底，當(dāng)年建造的中低價房的面積占該年建造住房面積的比例首次大于85%.點評：本題主要考查等差、等比數(shù)列的求和，不等式基礎(chǔ)知識，考查綜合運用數(shù)學(xué)知識解決實際問題的能力 變式訓(xùn)練某地區(qū)發(fā)生流行性病毒感染，居住在該地區(qū)的居民必須服用一種藥物預(yù)防規(guī)定每人每天早晚8時各服一片，現(xiàn)知道藥片含藥量為220毫克，若人的腎臟每12小時從體內(nèi)濾出這種藥的20%，在體內(nèi)的殘留量超過386毫克，就會產(chǎn)生副作用(1)某人上午8時第1次服藥，問到第二天上午8時服完藥時，這種藥在他體內(nèi)還殘留多少？(2)長期服用此藥，這種藥會不會產(chǎn)生副作用？解：(1)依題意建立數(shù)列模型，設(shè)此人第n次服藥后，藥在體內(nèi)的殘留量

36、為an毫克，則a1220，a2220a1(160%)2201.4，a3220a2(160%)343.2. 從而某人第二天上午8時服完藥時，這種藥在他體內(nèi)還殘留343.2毫克(2)由an2200.4an1，得an0.4(an1)(n2)，an是以a1為首項，以0.4為公比的等比數(shù)列an(a1)0.4n10.an386.故不會產(chǎn)生副作用1求數(shù)列8,88,888， 的前n項和2某工廠三年的生產(chǎn)計劃規(guī)定：從第二年起，每一年比上一年增長的產(chǎn)值相同，三年的總產(chǎn)值為300萬元，如果第一年、第二年、第三年分別比原計劃產(chǎn)值多10萬元、10萬元、11萬元，那么每一年比上一年的產(chǎn)值增長的百分率相同，求原計劃中每一年

37、的產(chǎn)值答案：1解：an(10n1)，Sn(1011)(1021)(10n1)(10110210n)n(10n1109n)2解：設(shè)原計劃三年的產(chǎn)值分別為xd，x，xd，則實際三年產(chǎn)值分別為xd10，x10，xd11.解得x100，d10，xd90，xd110.答：原計劃三年的產(chǎn)值分別為90萬元、100萬元、110萬元1由學(xué)生合作歸納本節(jié)所復(fù)習(xí)的內(nèi)容與方法，站在全章的高度對數(shù)列的知識方法進(jìn)行高度歸納與整合，并理出自己獨到的見解及適合自己特點的解題風(fēng)格2讓學(xué)生通過能力性的小結(jié)，盡快地把課堂探究的知識轉(zhuǎn)化為素質(zhì)能力并體會“問題是數(shù)學(xué)的心臟，探究是學(xué)習(xí)的中心”的含義逐漸提高自己的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，努力把自己鍛煉

38、成一流人才，為人類、為社會作出更多的服務(wù)課本本章小結(jié)鞏固與提高9、10、12.自測與評估設(shè)計感想1本教案設(shè)計注重了學(xué)生的操作體驗因為學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)不能單純依賴模仿和記憶，提倡動手實踐、自主探索、合作交流，這是重要的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的方式，要讓學(xué)生親身經(jīng)歷將實際問題抽象成數(shù)學(xué)模型并進(jìn)行解釋與應(yīng)用的過程2本教案設(shè)計加強了直觀性教學(xué)數(shù)列是高中數(shù)學(xué)里比較特別的一個部分，之所以特別，就在于抽象的成分比較多有的學(xué)生之所以覺得數(shù)列難，主要是數(shù)列里頻繁出現(xiàn)的n造成的，使得一些抽象思維能力較弱的學(xué)生產(chǎn)生了困難3本教案設(shè)計注重了習(xí)題的訓(xùn)練因為知識的鞏固，技能的熟練，能力的提高都需要通過適當(dāng)而有效的練習(xí)才能實現(xiàn)，練習(xí)質(zhì)量直

39、接影響到課堂教學(xué)的效率練習(xí)題要精選，題量要適度，并注意題目的典型性和層次性備課資料一、備用習(xí)題1若數(shù)列an滿足an11，且a12，則a2 006等于()A1 B C. D.2一種計算機裝置，有一數(shù)據(jù)入口A和一個運算出口B，執(zhí)行某種運算程序：(1)當(dāng)從A口輸入自然數(shù)1時，從B口得到實數(shù)，記為f(1)；(2)當(dāng)從A口輸入自然數(shù)n(n2)時，在B口得到的結(jié)果f(n)是前一結(jié)果f(n1)的倍，當(dāng)從A口輸入3時，從B口得到_；要想從B口得到，則應(yīng)從A口輸入自然數(shù)_3一次人才招聘會上，有A、B兩家公司分別開出了它們的工資標(biāo)準(zhǔn)：A公司允諾第一個月工資為1 500元，以后每年月工資比上一年月工資增加230元；

40、B公司允諾第一年月工資為2 000元，以后每年月工資在上一年的月工資基礎(chǔ)上遞增5%，設(shè)某人年初被A、B兩家公司同時錄取試問：(1)若該人分別在A公司或B公司連續(xù)工作n年，則他在第n年的月工資收入分別是多少？(2)該人打算連續(xù)在一家公司工作10年，僅從工資收入總量較多作為應(yīng)聘的標(biāo)準(zhǔn)(不記其他因素)，該人應(yīng)該選擇哪家公司，為什么？(3)在A公司工作比在B公司工作的月工資收入最多可以多多少元？(精確到1元)并說明理由4已知公差不為零的等差數(shù)列an中，前三項的和為12，且a2，a4，a8成等比數(shù)列(1)求數(shù)列an的通項公式；(2)設(shè)an的前n項和為Sn，Tn，是否存在自然數(shù)m，使Tn恒成立？若存在，求

41、出m的最小值；若不存在，請說明理由5設(shè)an是等差數(shù)列，bn是各項都為正數(shù)的等比數(shù)列，且a1b11，a3b521，a5b313.(1)求anbn的通項公式；(2)求數(shù)列的前n項和Sn.6近年來，太陽能技術(shù)運用的步伐日益加快，2002年全球太陽能電池的年生產(chǎn)量達(dá)到670兆瓦，年生產(chǎn)的增長率為34%.以后四年中，年生產(chǎn)量的增長率逐年遞增2%(如2003年的年生產(chǎn)量的增長率為36%)(1)求2006年全球太陽能電池的年生產(chǎn)量(結(jié)果精確到0.1兆瓦)(2)目前太陽能電池產(chǎn)業(yè)存在的主要問題是市場安裝量遠(yuǎn)小于生產(chǎn)量，2006年的實際安裝量為1 420兆瓦，假設(shè)以后若干年內(nèi)太陽能電池的年生產(chǎn)量的增長率保持在4

42、2%，到2010年，要使年安裝量基本持平(即年安裝量不少于年生產(chǎn)量的95%)，這四年中太陽能電池的年安裝量的平均增長率至少應(yīng)達(dá)到多少？(結(jié)果精確到0.1%)7數(shù)列an的前n項和為Sn，a11，an12Sn(nN*)(1)求數(shù)列an的通項an；(2)求數(shù)列nan的前n項和Tn.8設(shè)數(shù)列an的前n項和為Sn.已知a1a，an1Sn3n，nN*.(1)設(shè)bnSn3n，求數(shù)列bn的通項公式；(2)若an1an，nN*，求a的取值范圍答案：1答案：D解析：an2111，an41，an4an1，則數(shù)列an的周期為3，于是a2 006a211.2答案：24解析：f(n)f(n1)，f(n)f(1).f(3)

43、.由f(n)，得n24.3解：(1)在A公司連續(xù)工作n年，則第n年的月工資為an1 500230(n1)230n1 270(元)；在B公司連續(xù)工作n年，則第n年的月工資為bn2 000(1)n12 0001.05n1(元)(2)在A公司連續(xù)工作10年，則其工資總收入為S1012(1 5001 5009230)10304 200(元)在B公司連續(xù)工作10年，則其工資總收入為S10301 869(元)S10S10，故僅從工資收入總量來看，該人應(yīng)該選擇A公司(3)anbn230n1 2702 0001.05n1，記為f(n)要使得f(n)最大，需滿足f(n)f(n1)且f(n)f(n1)，于是f(n

44、)f(n1)01.05n22.3；f(n1)f(n)01.05n12.3.解得1log1.052.3n2log1.052.3.經(jīng)計算得lg2.30.361 7，lg1.050.021 2(注：上海市高考允許使用計算器)從而得18.07n19.07，n19.f(n)maxf(19)230191 2702 0001.0518827(元)答：(略)4解：(1)設(shè)公差為d，由已知可得即d0，a1d2.an2n.(2)Sna1a2an242nn(n1)，.Tn111.要使Tn恒成立，只需1，m8.因此存在m，使Tn恒成立，m的最小值是8.5解：(1)設(shè)an的公差為d，bn的公比為q，則依題意有q0，且解得d2，q2.所以an1(n1)d2n1，bnqn12n1.(2)，Sn1，2Sn23.，得Sn2222(1)226.6解：(1)由已知得2003,2004,2005,2006年太陽能電池的年生產(chǎn)量的增長率依次為36%，38%，40%，42%，則2006年全球太陽能電池的年生產(chǎn)量為6701.361.381.401.422 499.8(兆瓦)(2)設(shè)太陽能電池的年安裝量的平均增長率為x，則95%，解得x0.615.因此，這四年中太陽能電池的年安裝量的平均增長率至少應(yīng)達(dá)到61.5%.7解：(1)an12Sn，Sn1Sn2Sn.3