2018年高考數(shù)學二輪復習第三篇方法應用篇專題3.5數(shù)形結合法講

1、方法五 數(shù)形結合法數(shù)形結合的思想在每年的高考中都有所體現(xiàn)，它常用來研究方程根的情況，討論函數(shù)的值域（最值）及求變量的取值范圍等對這類內(nèi)容的選擇題、填空題，數(shù)形結合特別有效從近幾年的高考題來看，數(shù)形結合的重點是研究“以形助數(shù)”預測2017年高考中，仍然會沿用以往的命題思路，借助各種函數(shù)的圖象和方程的曲線為載體，考查數(shù)形結合的思想方法，在考題形式上，不但有小題，還會有解答題，在考查的數(shù)量上，會有多個小題考查數(shù)形結合的思想方法復習中應提高用數(shù)形結合思想解題的意識，畫圖不能太草，要善于用特殊數(shù)或特殊點來精確確定圖形間的位置關系【數(shù)形結合思想概述】1數(shù)形結合的數(shù)學思想：包含“以形助數(shù)”和“以數(shù)輔形”兩個

2、方面，其應用大致可以分為兩種情形：一是借助形的生動性和直觀性來闡明數(shù)之間的聯(lián)系，即以形作為手段，數(shù)作為目的，比如應用函數(shù)的圖象來直觀地說明函數(shù)的性質(zhì)；二是借助于數(shù)的精確性和規(guī)范嚴密性來闡明形的某些屬性，即以數(shù)作為手段，形作為目的，如應用曲線的方程來精確地闡明曲線的幾何性質(zhì)2運用數(shù)形結合思想分析解決問題時，要遵循三個原則：（1）等價性原則在數(shù)形結合時，代數(shù)性質(zhì)和幾何性質(zhì)的轉換必須是等價的，否則解題將會出現(xiàn)漏洞有時，由于圖形的局限性，不能完整的表現(xiàn)數(shù)的一般性，這時圖形的性質(zhì)只能是一種直觀而淺顯的說明，要注意其帶來的負面效應（2）雙方性原則既要進行幾何直觀分析，又要進行相應的代數(shù)抽象探求，僅對代數(shù)問

3、題進行幾何分析容易出錯（3）簡單性原則不要為了“數(shù)形結合”而數(shù)形結合具體運用時，一要考慮是否可行和是否有利；二要選擇好突破口，恰當設參、用參、建立關系、做好轉化；三要挖掘隱含條件，準確界定參變量的取值范圍，特別是運用函數(shù)圖象時應設法選擇動直線與定二次曲線3數(shù)形結合思想在高考試題中主要有以下六個常考點（1）集合的運算及Venn圖；（2）函數(shù)及其圖象；（3）數(shù)列通項及求和公式的函數(shù)特征及函數(shù)圖象；（4）方程（多指二元方程）及方程的曲線；（5）對于研究距離、角或面積的問題，可直接從幾何圖形入手進行求解即可；（6）對于研究函數(shù)、方程或不等式（最值）的問題，可通過函數(shù)的圖象求解（函數(shù)的零點、頂點是關鍵點

4、），做好知識的遷移與綜合運用4數(shù)形結合思想是解答高考數(shù)學試題的一種常用方法與技巧，特別是在解選擇題、填空題時發(fā)揮著奇特功效，這就要求我們在平時學習中加強這方面的訓練，以提高解題能力和速度具體操作時，應注意以下幾點：（1）準確畫出函數(shù)圖象，注意函數(shù)的定義域；（2）用圖象法討論方程（特別是含參數(shù)的方程）的解的個數(shù)是一種行之有效的方法，值得注意的是首先要把方程兩邊的代數(shù)式看作是兩個函數(shù)的表達式（有時可能先作適當調(diào)整，以便于作圖），然后作出兩個函數(shù)的圖象，由圖求解；（3）在解答題中數(shù)形結合思想是探究解題的思路時使用的，不可使用形的直觀代替相關的計算和推理論證【數(shù)形結合思想解決的問題類型】一、構建函數(shù)模

5、型并結合其圖象求參數(shù)的取值范圍；例1.【2017江蘇，14】設是定義在且周期為1的函數(shù)，在區(qū)間上, 其中集合，則方程的解的個數(shù)是 .【答案】8因此 不可能與每個周期內(nèi) 對應的部分相等，只需考慮與每個周期 的部分的交點，例2【2016年高考北京理數(shù)】設函數(shù).若，則的最大值為_；若無最大值，則實數(shù)的取值范圍是_.【答案】，.【解析】如圖作出函數(shù)與直線的圖象，它們的交點是，由，知是函數(shù)的極大值點，當時，因此的最大值是；由圖象知當時，有最大值是；只有當時，由，因此無最大值，所求的范圍是，故填：，二、構建函數(shù)模型并結合其圖象研究方程根的范圍；例3.對于實數(shù)a和b，定義運算“*”：a*b設f(x)(2x1

6、)*(x1)，且關于x的方程f(x)m(mR)恰有三個互不相等的實數(shù)根x1，x2，x3，則x1x2x3的取值范圍是_【答案】【解析】由定義可知，f(x)作出函數(shù)f(x)的圖象，如圖所示由圖可知，當0m時，f(x)m(mR)恰有三個互不相等的實數(shù)根x1，x2，x3.不妨設x1x20，且x2x321，x2x3.令解得x或x(舍去)x10，x1x2x30.，答案三、構建函數(shù)模型并結合其圖象研究量與量之間的大小關系；例4.函數(shù)的圖象如圖所示，則下列結論成立的是（ ）（A）， （B），（C）， （D）， 【答案】C四、構建函數(shù)模型并結合其幾何意義研究函數(shù)的最值問題和證明不等式；例5【2018屆湖北省荊州

7、中學、宜昌一中等“荊、荊、襄、宜四地七?？荚嚶?lián)盟”高三2月聯(lián)考】滿足，則的最小值為_【答案】【解析】作出可行域： 的表示可行域上的點到原點的距離的平方，其最小值顯然是原點到直線AC距離的平方： 故答案為： 例6.【2018屆山東省威海市高三上期末】在平面直角坐標系中，點在圓上，若，則點的橫坐標的取值范圍是_.【答案】【解析】設，則 因為，所以 ，又即在圓，又在直線的上方，設直線與圓交點為，圓與正半軸交于，則在弧上，由，得，又，即點的橫坐標的取值范圍是，故答案為.五、構建立體幾何模型研究代數(shù)問題；例7.如圖，四邊形ABCD和ADPQ均為正方形，它們所在的平面互相垂直，動點M在線段PQ上，E、F分

8、別為AB、BC的中點。設異面直線EM與AF所成的角為，則的最大值為 .【答案】【解析】建立坐標系如圖所示.設，則.設，則，由于異面直線所成角的范圍為，所以.，令，則，當時取等號.所以，當時，取得最大值. 例8.【2016高考上海文科】如圖，已知點O(0,0),A(1.0),B(0,1),P是曲線上一個動點，則的取值范圍是 .【答案】【解析】由題意，設, ，則，又, 所以.六、構建解析幾何中的斜率、截距、距離等模型研究最值問題；例9.【2018屆云南省昆明市第一中學高三第六次月考】已知函數(shù)，若兩個正數(shù)，滿足，則的取值范圍是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】由可得，即對恒成立，所以在

9、實數(shù)上單調(diào)遞增.因為，由 可得，由題意可得，畫出、的可行域，則可看作區(qū)域內(nèi)點與定點的斜率.直線與橫軸交于點，與縱軸交于點，又因為，所以，故選C例10.等腰直角內(nèi)接于拋物線，為拋物線的頂點，的面積是16，拋物線的焦點為，若是拋物線上的動點，則的最大值為（ ）A B C D【答案】C七、構建方程模型，求根的個數(shù)；例11.已知函數(shù)的周期為4，且當時， 其中若方程恰有3個實數(shù)解，則的取值范圍為A. B. C. D. 【答案】A【解析】當，將函數(shù)化為方程，其曲線為半個橢圓（）時或半個圓，其圖象如圖所示，同時在坐標系中作出當時的圖象，再根據(jù)周期性作出函數(shù)其他部分的圖象，由圖易知直線與第二個橢圓無交點，與第

10、一個折線有兩個交點，將代入 得，由及解得，而時，所以所求范圍是，故選A.八、研究圖形的形狀、位置關系、性質(zhì)等例12.【2018屆江西省南昌市高三第一次模擬】函數(shù)的圖象大致為( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】由函數(shù)的解析式可得：，則函數(shù)的圖像關于坐標原點對稱，據(jù)此可排除B選項，考查函數(shù)，則，當時，單調(diào)遞增，則，據(jù)此有：，據(jù)此可排除C選項；當時，則，據(jù)此可排除D選項；本題選擇A選項.點睛：函數(shù)圖象的識辨可從以下方面入手：(1)從函數(shù)的定義域，判斷圖象的左右位置；從函數(shù)的值域，判斷圖象的上下位置(2)從函數(shù)的單調(diào)性，判斷圖象的變化趨勢(3)從函數(shù)的奇偶性，判斷圖象的對稱性(4)從函數(shù)的

11、特征點，排除不合要求的圖象利用上述方法排除、篩選選項例13.如圖，長方形的邊，是的中點，點沿著邊，與運動，記將動到、兩點距離之和表示為的函數(shù)，則的圖像大致為（ ） DPCB OAx【答案】B【解析】由已知得，當點在邊上運動時，即時，；當點在邊上運動時，即時，當時，；當點在邊上運動時，即時，從點的運動過程可以看出，軌跡關于直線對稱，且，且軌跡非線型，故選B【反思提升】總的來說“數(shù)形結合”思想是解決許多數(shù)學問題的重要思想方法，它可以將抽象數(shù)學問題具體化、準確化、形象化用好數(shù)形結合可以使我們更深入準確的理解數(shù)學問題1在數(shù)學中函數(shù)的圖象、方程的曲線、不等式所表示的平面區(qū)域、向量的幾何意義、復數(shù)的幾何意義等都實現(xiàn)以形助數(shù)的途徑，當試題中涉及這些問題的數(shù)量關系時，我們可以通過圖形分析這些數(shù)量關系，達到解題的目的2有些圖形問題，單純從圖形上無法看出問題的結論，這就要對圖形進行數(shù)量上的分析，通過數(shù)的幫助達到解題的目的3利用數(shù)形結合解