數(shù)學(xué)系常微分方程期末試卷B及答案

1、 數(shù)計(jì)學(xué)院 系 級 班 姓名 _ 學(xué)號 _ 任課教師 審題人 密封線試卷（B） 試卷份數(shù) 考試 本科 考試科目 常 微 分 方 程 題 號一二三四五六七總 分分 數(shù)閱卷人試卷說明：1、該門考試課程的考試方式：閉卷； 2、考試所用時(shí)間：120分鐘。 3、使用班級 數(shù)計(jì)學(xué)院 數(shù)11級一、填空題（每小題3分，本題共15分） 1方程的常數(shù)解是 。 2方程的基本解組是 。 3方程滿足解的存在唯一性定理?xiàng)l件的區(qū)域是 。 4線性齊次微分方程組的解組為基本解組的 條件是它們的朗斯基行列式。 5方程的任一非零解 與軸相交。二、單項(xiàng)選擇題（每小題3分，本題共15分）6方程過點(diǎn)(0, 0)有（ ）(A) 無數(shù)個(gè)解(

2、B) 只有一個(gè)解 (C) 只有兩個(gè)解(D) 只有三個(gè)解 7. 方程（ ）奇解（A）有一個(gè) （B）有兩個(gè) （C）無 （D）有無數(shù)個(gè) 8有界是方程初值解唯一的（ ）條件（A）必要 （B）必要非充分 （C）充分 （D）充分必要 第 1 頁（共 5頁）密封線 年 月 日 9、 微分方程的通解 （ ） A、 B、 C、 D、10階線性非齊次微分方程的所有解（ ） （A）構(gòu)成一個(gè)線性空間 （B）構(gòu)成一個(gè)維線性空間 （C）構(gòu)成一個(gè)維線性空間 （D）不能構(gòu)成一個(gè)線性空間三、簡答題（每小題6分，本題共30分）11. 解方程12. 解方程第2頁（共 5 頁）密封線 年 月 日13. 解方程 14. 解方程15試討

3、論方程組的奇點(diǎn)類型，其中a,b,c為常數(shù)，且ac0。第 3 頁（共 5 頁） 年 月 日密封線四、計(jì)算題（每小題10分，本題共20分）16求方程的通解17解方程組：第4頁（共 5 頁）密封線 年 月 日五、綜合能力與創(chuàng)新能力測試題（每小題10分，本題共20分）18設(shè)和是二階線性齊次微分方程的兩個(gè)線性無關(guān)解，求證：它們不能有共同的零點(diǎn)19已知微分方程 有積分因子,試求所有可能的函數(shù). 12-13-2學(xué)期期末考試常微分方程B參考答案及評分標(biāo)準(zhǔn)（數(shù)計(jì)學(xué)院 ） 制卷 審核 一、填空題（每小題3分，本題共15分） 1 23平面4充分必要 5不能二、單項(xiàng)選擇題（每小題3分，本題共15分）6A 7C 8C

4、9D 10D三、簡答題（每小題6分，本題共30分）11解 分離變量得 （3分）等式兩端積分得通積分 （6分）12解 令，則，代入原方程，得 ， （2分） 當(dāng)時(shí)，分離變量，再積分，得 （4分） （5分）即通積分為： （6分）13解 方程兩端同乘以，得 （2分） 令 ，則，代入上式，得 （3分）通解為 原方程通解為 （6分）14解： 因?yàn)椋栽匠淌侨⒎址匠?（2分） 取，原方程的通積分為 （4分） 即 （6分）15解： 因?yàn)榉匠探M是二階線性駐定方程組，且滿足條件 ，故奇點(diǎn)為原點(diǎn)（0，0） 2分又由det(A-E)=得 4分所以，方程組的奇點(diǎn)（0，0）可分為以下類型：a，c為實(shí)數(shù) 6分四、計(jì)算

5、題（每小題10分，本題共20分）16解：對應(yīng)齊次方程的特征方程為 （1分）特征根為： 特征根為， （2分）齊次方程的通解為 （4分） 因?yàn)槭翘卣鞲Ｋ?，設(shè)非齊次方程的特解為 （6分）代入原方程，比較系數(shù)確定出，原方程的通解為 （10分）17解： 其系數(shù)矩陣為： ， （2分）特征多項(xiàng)式為：，其特征根為：， （4分） 當(dāng)時(shí)，由方程組，可解得特征向量為： （6分） 由 ， （8分）可知方程組的基本解組為： . （10分）五、綜合能力與創(chuàng)新能力測試題（每小題10分，本題共20分）18證明 由于和是兩個(gè)線性無關(guān)解，則它們的朗斯基行列式 （*） （5分） 假如它們有共同零點(diǎn)，那么存在一個(gè)點(diǎn)，使得 = 于是 這與（*）式矛盾 （10）19