2014考研數(shù)學(xué)一真題及答案

1、2014考研數(shù)學(xué)一真題及答案一、選擇題 18小題每小題4分，共32分下列曲線有漸近線的是（A） （B）（C） （D）【分析】只需要判斷哪個(gè)曲線有斜漸近線就可以【詳解】對(duì)于，可知且，所以有斜漸近線應(yīng)該選（C）2設(shè)函數(shù)具有二階導(dǎo)數(shù)，則在上（ ）（A）當(dāng)時(shí)， （B）當(dāng)時(shí)，（C）當(dāng)時(shí)， （D）當(dāng)時(shí)，【分析】此題考查的曲線的凹凸性的定義及判斷方法【詳解1】如果對(duì)曲線在區(qū)間上凹凸的定義比較熟悉的話，可以直接做出判斷如果對(duì)區(qū)間上任意兩點(diǎn)及常數(shù)，恒有，則曲線是凸的顯然此題中，則，而，故當(dāng)時(shí)，曲線是凸的，即，也就是，應(yīng)該選（C）【詳解2】如果對(duì)曲線在區(qū)間上凹凸的定義不熟悉的話，可令，則，且，故當(dāng)時(shí)，曲線是凸的，

2、從而，即，也就是，應(yīng)該選（C）3設(shè)是連續(xù)函數(shù)，則（）（）(）（）【分析】此題考查二重積分交換次序的問(wèn)題，關(guān)鍵在于畫出積分區(qū)域的草圖【詳解】積分區(qū)域如圖所示如果換成直角坐標(biāo)則應(yīng)該是，（A），（B）兩個(gè)選擇項(xiàng)都不正確；如果換成極坐標(biāo)則為應(yīng)該選（D）若函數(shù)，則（）（）（）（）【詳解】注意，所以所以就相當(dāng)于求函數(shù)的極小值點(diǎn)，顯然可知當(dāng)時(shí)取得最小值，所以應(yīng)該選（A）5行列式等于（A） （B）（C） （D）【詳解】應(yīng)該選（B）6設(shè) 是三維向量，則對(duì)任意的常數(shù)，向量，線性無(wú)關(guān)是向量線性無(wú)關(guān)的（A）必要而非充分條件 （B）充分而非必要條件（C）充分必要條件 （D） 非充分非必要條件【詳解】若向量線性無(wú)關(guān)，則（

3、，），對(duì)任意的常數(shù)，矩陣的秩都等于2，所以向量，一定線性無(wú)關(guān)而當(dāng)時(shí)，對(duì)任意的常數(shù)，向量，線性無(wú)關(guān)，但線性相關(guān)；故選擇（A）7設(shè)事件A，B想到獨(dú)立，則（ ）（A）0.1 （B）0.2 （C）0.3 （D）0.4【詳解】所以，故選擇（B）8設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量相互獨(dú)立，且方差均存在，的概率密度分別為，隨機(jī)變量的概率密度為，隨機(jī)變量，則（A） （B）（C） （D）【詳解】，故應(yīng)該選擇（D）二、填空題（本題共6小題，每小題4分，滿分24分. 把答案填在題中橫線上）9曲面在點(diǎn)處的切平面方程為 【詳解】曲面在點(diǎn)處的法向量為，所以切平面方程為，即10設(shè)為周期為4的可導(dǎo)奇函數(shù)，且，則 【詳解】當(dāng)時(shí)，由可知，即；為

4、周期為4奇函數(shù)，故11微分方程滿足的解為 【詳解】方程的標(biāo)準(zhǔn)形式為，這是一個(gè)齊次型方程，設(shè)，得到通解為，將初始條件代入可得特解為12設(shè)是柱面和平面的交線，從軸正方向往負(fù)方向看是逆時(shí)針?lè)较?，則曲線積分 【詳解】由斯托克斯公式可知其中取上側(cè)，13設(shè)二次型的負(fù)慣性指數(shù)是1，則的取值范圍是 【詳解】由配方法可知由于負(fù)慣性指數(shù)為1，故必須要求，所以的取值范圍是14設(shè)總體X的概率密度為，其中是未知參數(shù)，是來(lái)自總體的簡(jiǎn)單樣本，若是的無(wú)偏估計(jì)，則常數(shù)= 【詳解】，所以，由于是的無(wú)偏估計(jì)，故，三、解答題15（本題滿分10分）求極限【分析】先用等價(jià)無(wú)窮小代換簡(jiǎn)化分母，然后利用洛必達(dá)法則求未定型極限【詳解】16（本

5、題滿分10分）設(shè)函數(shù)由方程確定，求的極值【詳解】解：在方程兩邊同時(shí)對(duì)求導(dǎo)一次，得到，（）即令及，得到函數(shù)唯一駐點(diǎn)在（）式兩邊同時(shí)對(duì)求導(dǎo)一次，得到（把代入，得到，所以函數(shù)在處取得極小值17（本題滿分10分）設(shè)函數(shù)具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，滿足若，求的表達(dá)式【詳解】設(shè)，則，;；由條件，可知這是一個(gè)二階常用系數(shù)線性非齊次方程對(duì)應(yīng)齊次方程的通解為：其中為任意常數(shù)對(duì)應(yīng)非齊次方程特解可求得為故非齊次方程通解為將初始條件代入，可得所以的表達(dá)式為18（本題滿分10分）設(shè)曲面的上側(cè)，計(jì)算曲面積分：【詳解】設(shè)取下側(cè)，記由所圍立體為，則高斯公式可得在取下側(cè)上，所以=19（本題滿分10分）設(shè)數(shù)列滿足，且級(jí)數(shù)收斂（1） 證明；

6、（2） 證明級(jí)數(shù)收斂【詳解】（1）證明：由，及可得，所以，由于級(jí)數(shù)收斂，所以級(jí)數(shù)也收斂，由收斂的必要條件可得（2）證明：由于，所以由于級(jí)數(shù)收斂，由正項(xiàng)級(jí)數(shù)的比較審斂法可知級(jí)數(shù)收斂20（本題滿分11分）設(shè)，E為三階單位矩陣（1） 求方程組的一個(gè)基礎(chǔ)解系；（2） 求滿足的所有矩陣【詳解】（1）對(duì)系數(shù)矩陣A進(jìn)行初等行變換如下：，得到方程組同解方程組得到的一個(gè)基礎(chǔ)解系（2）顯然B矩陣是一個(gè)矩陣，設(shè)對(duì)矩陣進(jìn)行進(jìn)行初等行變換如下：由方程組可得矩陣B對(duì)應(yīng)的三列分別為，即滿足的所有矩陣為其中為任意常數(shù)21（本題滿分11分）證明階矩陣與相似【詳解】證明：設(shè) ，分別求兩個(gè)矩陣的特征值和特征向量如下：，所以A的個(gè)特

7、征值為；而且A是實(shí)對(duì)稱矩陣，所以一定可以對(duì)角化且；所以B的個(gè)特征值也為；對(duì)于重特征值，由于矩陣的秩顯然為1，所以矩陣B對(duì)應(yīng)重特征值的特征向量應(yīng)該有個(gè)線性無(wú)關(guān)，進(jìn)一步矩陣B存在個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量，即矩陣B一定可以對(duì)角化，且從而可知階矩陣與相似22（本題滿分11分）設(shè)隨機(jī)變量X的分布為，在給定的條件下，隨機(jī)變量服從均勻分布（1） 求的分布函數(shù)；（2） 求期望【詳解】（1）分布函數(shù)當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，所以分布函數(shù)為（2）概率密度函數(shù)為，23（本題滿分11分）設(shè)總體X的分布函數(shù)為，其中為未知的大于零的參數(shù)，是來(lái)自總體的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，（1）求；（2）求的極大似然估計(jì)量（）是否存在常數(shù)，使得對(duì)任意的，都有【詳解】（）先求出總體