高中數(shù)學(xué)第一章基本初等函數(shù)II1.2任意角的三角函數(shù)1.2.3同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式課堂探究學(xué)案新人教B版必修

1、1.2.3 同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式課堂探究探究一 利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式求值在求值時(shí)，要注意恰當(dāng)選取開方后根號前面的正負(fù)號，一般有以下三種情況：(1)已知一個(gè)角的一個(gè)三角函數(shù)值及這個(gè)角的終邊所在象限，此類情況只有一組解；(2)已知一個(gè)角的一個(gè)三角函數(shù)值，但該角所在象限沒有給出，解題時(shí)首先要根據(jù)已知的三角函數(shù)值的符號確定這個(gè)角的終邊所在象限，然后求解，一般有兩組解；(3)已知一個(gè)角的某一個(gè)三角函數(shù)值是用字母給出的，此時(shí)既要對角的終邊所在的象限進(jìn)行分類討論，也要對表示其值的字母的正負(fù)進(jìn)行分類討論另外，還要注意其角的終邊有可能落在坐標(biāo)軸上【例1】 已知cos ，求sin ，tan 的值分析：先

2、利用平方關(guān)系求出sin 的值，再利用商關(guān)系求出tan 的值在求sin 的值時(shí)，先由余弦值為負(fù)確定角的終邊在第二或第三象限，然后分象限討論解：因?yàn)閏os 0，所以是第二或第三象限的角若是第二象限的角，則sin ，tan ；若是第三象限的角，則sin ，tan 易錯(cuò)警示 在應(yīng)用平方公式時(shí)要注意，一定要看角的終邊所在的象限是否給出如果沒有給出的話，要分情況討論開方結(jié)果的正負(fù)應(yīng)用正切公式時(shí)，要看tan 是否有意義，還要看角的范圍是否給出，否則求出的角可能是一個(gè)集合【例2】 已知sin m(|m|1)，求tan 的值解：當(dāng)m0時(shí)，tan 0；當(dāng)m1時(shí)，角的終邊落在y軸上，此時(shí)tan 不存在；當(dāng)為第一、四

3、象限的角時(shí)，cos ，tan ；當(dāng)為第二、三象限的角時(shí)，cos ，tan 【例3】 已知tan ，求下列各式的值(1)；(2)2sin2sin cos 5cos2；(3) 分析：由于已知條件為切，所求式為弦，故應(yīng)想辦法將切化弦，或?qū)⑾一?這是一種分析綜合的思想)；若切化弦，應(yīng)把條件tan 代入所求式，消去其中一種函數(shù)名，再進(jìn)一步求值；若弦化切，應(yīng)把所求式化成用tan 表示的式子，代入化簡即可解：(1)由tan 得cos 3sin ，代入所求式得(2)原式cos2將tan 代入得原式(3)原式方法總結(jié) 已知角的正切值，求由sin 和cos 構(gòu)成的代數(shù)式的值，構(gòu)成的代數(shù)式通常是分式或整式的齊次式

4、(每一項(xiàng)中的次數(shù)相同)(1)對分式齊次式，因?yàn)閏os 0，一般可在分子和分母中同時(shí)除以cosn，使所求代數(shù)式化成關(guān)于tan 的代數(shù)式，從而得解；(2)對整式(一般是指關(guān)于sin2，cos2)齊次式，把分母看為“1”，用sin2cos2替換“1”，從而把問題轉(zhuǎn)化成分式齊次式，在分子和分母中同時(shí)除以cos2，即可得關(guān)于tan 的代數(shù)式，從而得解探究二 利用同角三角函數(shù)關(guān)系式化簡1三角函數(shù)式的化簡就是代數(shù)式的恒等變形，使結(jié)果盡可能的簡單，也就是項(xiàng)數(shù)盡可能的少，次數(shù)盡可能的低，函數(shù)種類盡可能的少，式子中盡量不含根號，能求值的一定要求值2同角三角函數(shù)式化簡過程中常用的方法：(1)對于含有根號的，常把被開

5、方數(shù)(式)化成完全平方數(shù)(式)，然后去根號達(dá)到化簡的目的；(2)化切為弦，即把非正、余弦的函數(shù)都化為正、余弦函數(shù)，從而減少函數(shù)名稱，達(dá)到化簡的目的；(3)對于化簡含高次的三角函數(shù)式，往往借助于因式分解，或構(gòu)造sin2cos21，以降低函數(shù)次數(shù)，達(dá)到化簡的目的【例4】 化簡：(1) ；(2)sin2sin2sin2sin2cos2cos2解：(1) |sin 40cos 40|，因?yàn)閟in 40cos 40，所以|sin 40cos 40|cos 40sin 40(2)sin2sin2sin2sin2cos2cos2sin2(1sin2)sin2cos2cos2sin2cos2cos2cos2s

6、in2(sin2cos2)cos2sin2cos2sin21點(diǎn)評 (1)含根號的三角函數(shù)式的化簡，關(guān)鍵是將被開方式化為完全平方式，再根據(jù)符號去掉根號，從而達(dá)到化簡的目的(2)注意公式sin2cos21有“降冪”的作用探究三 利用同角三角函數(shù)關(guān)系式證明證明三角恒等式的原則是由繁到簡，常用的方法有：(1)從一邊開始，證明它等于另一邊；(2)證明左右兩邊都等于同一個(gè)式子；(3)變更論證采用左右相減，化除為乘等方法，轉(zhuǎn)化成與原結(jié)論等價(jià)的命題形式【例5】 求證： 證明：證法1：因?yàn)樽筮呌疫吽栽匠闪⒆C法2：由證法1知，左邊，右邊，所以左邊右邊，原式成立反思 證明三角恒等式時(shí)，可以從左邊推到右邊，也可以從右邊推到左邊，本著化繁為簡的原則，即從較復(fù)雜的一邊推向較簡單的一邊，還可以將左右兩邊同時(shí)推向一個(gè)中間結(jié)果有時(shí)還可以證明其等