2018年高考數(shù)學(xué) 常見(jiàn)題型解法歸納反饋訓(xùn)練 第36講 數(shù)列通項(xiàng)的求法一（歸納法、定義法、公式法、累加法、累乘法）

1、第36講 數(shù)列通項(xiàng)的求法一（歸納法、定義法、公式法、累加法、累乘法）【知識(shí)要點(diǎn)】一、數(shù)列的通項(xiàng)公式如果數(shù)列的第項(xiàng)和項(xiàng)數(shù)之間的關(guān)系可以用一個(gè)公式來(lái)表示，那么這個(gè)公式就叫做這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式.即.不是每一個(gè)數(shù)列都有通項(xiàng)公式.不是每一個(gè)數(shù)列只有一個(gè)通項(xiàng)公式.二、數(shù)列的通項(xiàng)的常見(jiàn)求法：通項(xiàng)五法 1、歸納法：先通過(guò)計(jì)算數(shù)列的前幾項(xiàng)，再觀察數(shù)列中的項(xiàng)與系數(shù)，根據(jù)與項(xiàng)數(shù)的關(guān)系，猜想數(shù)列的通項(xiàng)公式，最后再證明.2、公式法：若在已知數(shù)列中存在：的關(guān)系，可采用求等差數(shù)列、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法，確定數(shù)列的通項(xiàng)；若在已知數(shù)列中存在：的關(guān)系，可以利用項(xiàng)和公式，求數(shù)列的通項(xiàng).3、累加法：若在已知數(shù)列中相鄰兩項(xiàng)存在：的

2、關(guān)系，可用“累加法”求通項(xiàng). 4、累乘法：若在已知數(shù)列中相鄰兩項(xiàng)存在：的關(guān)系，可用“累乘法”求通項(xiàng). 5、構(gòu)造法：(見(jiàn)下一講)【方法講評(píng)】方法一歸納法使用情景已知數(shù)列的首項(xiàng)和遞推公式解題步驟觀察、歸納、猜想、證明.【例1】在數(shù)列中，且，（1）求的值；（2）猜測(cè)數(shù)列的通項(xiàng)公式，并用數(shù)學(xué)歸納法證明. 【點(diǎn)評(píng)】（1）本題解題的關(guān)鍵是通過(guò)首項(xiàng)和遞推關(guān)系式先求出數(shù)列的前n項(xiàng)，進(jìn)而猜出數(shù)列的通項(xiàng)公式，最后再用數(shù)學(xué)歸納法加以證明.（2）歸納法在主觀題中一般用的比較少，一是因?yàn)樗o予嚴(yán)格的證明，二是有時(shí)數(shù)列的通項(xiàng)并不好猜想.如果其它方法實(shí)在不行，再考慮利用歸納法.【反饋檢測(cè)1】在單調(diào)遞增數(shù)列中，且成等差數(shù)列

3、，成等比數(shù)列，（1）分別計(jì)算，和，的值；（2）求數(shù)列的通項(xiàng)公式（將用表示）；（3）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，證明：，方法二公式法使用情景已知數(shù)列是等差數(shù)列或等比數(shù)列或已知.解題步驟已知數(shù)列是等差數(shù)列或等比數(shù)列，先求出等差（比）數(shù)列的基本量，再代入等差（比）數(shù)列的通項(xiàng)公式；已知的關(guān)系，可以利用項(xiàng)和公式，求數(shù)列的通項(xiàng). 【例2】已知數(shù)列，是其前項(xiàng)的和，且滿足，對(duì)一切都有成立，設(shè)（1）求；（2）求證：數(shù)列 是等比數(shù)列；（3）求使成立的最小正整數(shù)的值【點(diǎn)評(píng)】利用定義法求數(shù)列通項(xiàng)時(shí)要注意不用錯(cuò)定義，設(shè)法求出首項(xiàng)與公差（公比）后再寫出通項(xiàng).【反饋檢測(cè)2】已知等比數(shù)列中，,公比,又分別是某等差數(shù)列的第項(xiàng)，第項(xiàng)，第項(xiàng)

4、.(1)求；(2)設(shè),求數(shù)列的前項(xiàng)和.【例3】數(shù)列的前n項(xiàng)和為，=1， ( n),求的通項(xiàng)公式.【點(diǎn)評(píng)】（1）已知，一般利用和差法.如果已知也可以采用和差法.（2）利用此法求數(shù)列的通項(xiàng)時(shí)，一定要注意檢驗(yàn)是否滿足，能并則并，不并則分.【例4】已知函數(shù) ，是數(shù)列的前項(xiàng)和，點(diǎn)（）在曲線上.（）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（）若，且是數(shù)列的前項(xiàng)和. 試問(wèn)是否存在最大值？若存在，請(qǐng)求出的最大值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.【解析】（）因?yàn)辄c(diǎn)在曲線上，又，所以.當(dāng)時(shí)，.當(dāng)時(shí)，所以.（）因?yàn)?所以 得 .整理得， 方法一 利用差值比較法由式得，所以因?yàn)椋?又，所以所以，所以. 所以Tn存在最大值方法三 利用放縮法由式得

5、，又因?yàn)槭菙?shù)列的前項(xiàng)和，所以. 所以所以存在最大值.【反饋檢測(cè)3】已知數(shù)列的前n項(xiàng)和()，求的通項(xiàng)公式.方法三累加法使用情景在已知數(shù)列中相鄰兩項(xiàng)存在：的關(guān)系解題步驟先給遞推式中的從2開(kāi)始賦值，一直到，一共得到個(gè)式子，再把這個(gè)式子左右兩邊對(duì)應(yīng)相加化簡(jiǎn)，即得到數(shù)列的通項(xiàng).【例4】已知數(shù)列，為數(shù)列的前項(xiàng)和，為數(shù)列的前項(xiàng)和.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和；（3）求證：.【解析】（1）法一：，【點(diǎn)評(píng)】（1）本題，符合累加法的使用情景，所以用累加法求數(shù)列的通項(xiàng).（2）使用累加法時(shí)，注意等式的個(gè)數(shù)，是個(gè)，不是個(gè).【反饋檢測(cè)4】已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項(xiàng)公式.方法四累乘法使用情景若在已知數(shù)列中相

6、鄰兩項(xiàng)存在：的關(guān)系.解題步驟先給遞推式中的從2開(kāi)始賦值，一直到，一共得到個(gè)式子，再把這個(gè)式子左右兩邊對(duì)應(yīng)相乘化簡(jiǎn)，即得到數(shù)列的通項(xiàng).【例5】已知數(shù)列滿足【點(diǎn)評(píng)】（1）由已知得符合累乘法求數(shù)列通項(xiàng)的情景，所以使用累乘法求該數(shù)列的通項(xiàng).（2）使用累乘法求數(shù)列的通項(xiàng)時(shí)，只要寫出個(gè)等式就可以了，不必寫個(gè)等式.【反饋檢測(cè)5】 已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項(xiàng)公式.高中數(shù)學(xué)常見(jiàn)題型解法歸納及反饋檢測(cè)第36講：數(shù)列通項(xiàng)的求法一（歸納法、定義法、公式法、累加法、累乘法）參考答案【反饋檢測(cè)1答案】，.當(dāng)時(shí)，猜想成立；假設(shè)時(shí)，猜想成立，即,，那么, 時(shí)，猜想也成立由，根據(jù)數(shù)學(xué)歸納法原理，對(duì)任意的，猜想成立 當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，； 當(dāng)為偶數(shù)時(shí)， 即數(shù)列的通項(xiàng)公式為 （方法2）由（2）得以下用數(shù)學(xué)歸納法證明，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，時(shí)，不等式成立 假設(shè)時(shí)，不等式成立，即，那么，當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，；當(dāng)為偶數(shù)時(shí)， 時(shí)，不等式也成立綜上