高二數(shù)學(xué) 第9課時(shí) 二次函數(shù)學(xué)案

1、第9課時(shí) 二次函數(shù)【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1、了解二次函數(shù)的概念；2、掌握二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)；3、會(huì)用二次函數(shù)模型解決實(shí)際問(wèn)題。【基本知識(shí)】1.二次函數(shù)解析式的三種形式(1)一般式：f(x)ax2bxc(a0)；(2)頂點(diǎn)式：f(x)a(xm)2n(a0)；(3)零點(diǎn)式：f(x)a(xx1)(xx2)(a0)2二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)a0a.答案：2. 如果函數(shù)f(x)x2(a2)xb(xa，b)的圖像關(guān)于直線x1對(duì)稱，則函數(shù)f(x)的最小值為_(kāi)解析：由題意知得則f(x)x22x6(x1)255.答案：53. 若函數(shù)在上是增函數(shù)，則m的取值范圍是_.答案：4. 函數(shù)在區(qū)間上的最大值為 ；最小值為 。答案：；

2、。5、若不等式的解集為，則 ； 。答案：。【典型示例】例1、已知二次函數(shù)f(x)滿足f(2)1，f(1)1，且f(x)的最大值為8，試確定此二次函數(shù)。解析：法一：設(shè)，則，解得，從而法二：設(shè)f(x)a(xm)2n，f(2)f(1)，所以對(duì)稱軸為故。法三：零點(diǎn)式(略)針對(duì)訓(xùn)練（1）已知yf(x)為二次函數(shù)，且f(0)5，f(1)4，f(2)5，求此二次函數(shù)的解析式解：設(shè)f(x)ax2bxc(a0)，因?yàn)閒(0)5，f(1)4，f(2)5，所以解得a，b，c5，故f(x)x2x5.（2）已知二次函數(shù)的二次項(xiàng)系數(shù)為，且不等式的解集為。（）若方程有兩個(gè)相等的根，求的解析式；（）若的最大值為正數(shù)，求的取值

3、范圍。解：（）由方程 因?yàn)榉匠逃袃蓚€(gè)相等的根，所以，即 由于代入得的解析式（）由及由 解得 故當(dāng)?shù)淖畲笾禐檎龜?shù)時(shí)，實(shí)數(shù)a的取值范圍是例2、角度一軸定區(qū)間定求最值1已知函數(shù)f(x)x22ax3，x4,6(1)當(dāng)a2時(shí)，求f(x)的最值；(2)當(dāng)a1時(shí)，求f(|x|)的單調(diào)區(qū)間解：(1)當(dāng)a2時(shí)，f(x)x24x3(x2)21，由于x4,6，f(x)在4,2上單調(diào)遞減，在2,6上單調(diào)遞增，f(x)的最小值是f(2)1，又f(4)35，f(6)15，故f(x)的最大值是35.(2)當(dāng)a1時(shí)，f(x)x22x3，f(|x|)x22|x|3，此時(shí)定義域?yàn)閤6,6，且f(x)f(|x|)的單調(diào)遞增區(qū)間是(

4、0,6，單調(diào)遞減區(qū)間是6,0角度二軸動(dòng)區(qū)間定求最值2已知函數(shù)f(x)x22ax1a在x0,1時(shí)有最大值2，求a的值解：函數(shù)f(x)x22ax1a(xa)2a2a1，對(duì)稱軸方程為xa.(1)當(dāng)a1時(shí)，f(x)maxf(1)a，a2.綜上可知，a1或a2.角度三軸定區(qū)間動(dòng)求最值3設(shè)函數(shù)yx22x，x2，a，若函數(shù)的最小值為g(a)，求g(a)解：函數(shù)yx22x(x1)21，對(duì)稱軸為直線x1，x1不一定在區(qū)間2，a內(nèi)，應(yīng)進(jìn)行討論當(dāng)21時(shí)，函數(shù)在2,1上單調(diào)遞減，在1，a上單調(diào)遞增，則當(dāng)x1時(shí)，y取得最小值，即ymin1.綜上，g(a)例3、已知（1）若，且在R上恒成立，求的取值范圍；（2）若不等式的

5、解集為，求的值；（3）若方程的兩根滿足，且時(shí)，求的取值范圍；答案：（1）；（2）；（3）例4、設(shè)函數(shù)f(x)=ax2+8x+3(a0)對(duì)于給定的負(fù)數(shù)a，有一個(gè)最大的正數(shù)l(a)，使得在整個(gè)區(qū)間0，l(a)上，不等式| f(x)|5都成立問(wèn)a為何值時(shí)l(a)最大？求出這個(gè)最大的l(a)，證明你的結(jié)論分析 由函數(shù)式知，函數(shù)的圖像開(kāi)口向下，對(duì)稱軸在y軸的右邊，頂點(diǎn)坐標(biāo)為 （- ，3- ），顯然3- 3，故必須討論3- 與5的大小當(dāng)3- 5時(shí)，l(a)(0，- )；當(dāng)3- 5時(shí)，l(a) - 分別畫(huà)出它們的圖形，根據(jù)圖形回答問(wèn)題解 將f(x)配方得：f(x)=a(x+ )2+3- ，由于a0，于是f(

6、x)max=3- Oxy35(甲)xOy3-5(乙)圖4l(a)l(a)5（1）當(dāng)3- 5，即-8a0時(shí)，如圖4（甲），有l(wèi)(a)(0，- )，且f(l(a)=5令ax2+8x+3=5，于是方程有兩不等實(shí)數(shù)根由于函數(shù)y= f(x)=ax2+8x+3的圖像關(guān)于直線x= - 對(duì)稱，故方程的一根大于- ，另一根小于- ，l(a)只能取方程ax2+8x+3=5的較小根，于是 l(a)= = （2）當(dāng)3- 5，即a-8時(shí)，如圖4（乙），有l(wèi)(a) - ，且f(l(a)= -5令ax2+8x+3= -5，于是方程有兩不等實(shí)數(shù)根且方程的一根大于- ，另一根小于- ，l(a)必須取方程ax2+8x+3= -5

7、的較大根，于是 l(a)= = ，當(dāng)且僅當(dāng)a = -8時(shí)，取“=”因 ，故可取l(a) = 為最大，此時(shí)a = -8點(diǎn)評(píng) （1）對(duì)于二次函數(shù)與二次方程及二次不等式相結(jié)合的問(wèn)題，常常畫(huà)出示意圖，利用圖形的直觀性進(jìn)行問(wèn)題的等價(jià)變形，直至問(wèn)題的最終解決；（2）容易誤認(rèn)為第（1）種情形下方程的最小根為，第（2）種情形下方程的最大根為課堂檢測(cè)1(2014徐州摸底)已知二次函數(shù)f(x)ax24xc1(a0)的值域是1，)，則的最小值是_解析：由題意知化簡(jiǎn)得且a0，于是23，當(dāng)且僅當(dāng)，即a時(shí)取等號(hào)答案：32(2014蘇北四市期末)已知函數(shù)f(x)x22x，xa，b的值域?yàn)?,3，則ba的取值范圍是_解析：f(x)x22x(x1)211,3，對(duì)稱軸為直線x1，最小值為1，所以當(dāng)a1時(shí)，b1,3；當(dāng)b3時(shí)，a1,1，所以ba2,4答案：2,43二次函數(shù)的圖像過(guò)點(diǎn)(0,1)，對(duì)稱軸為x2，最小值為1，則它的解析式為