高中數(shù)學(xué) 1.3-1.4導(dǎo)數(shù)在應(yīng)用方面的誤區(qū)總結(jié) 新人教A版選修

1、導(dǎo)數(shù)在函數(shù)應(yīng)用方面的誤區(qū)總結(jié).將“穩(wěn)定點(diǎn)”等同于“極值點(diǎn)”定義1：可導(dǎo)函數(shù)的方程的根，稱為函數(shù)的穩(wěn)定點(diǎn).定義2：設(shè)函數(shù)在區(qū)間有定義，若，且存在的某鄰域，有，則稱是函數(shù)的極大點(diǎn)（極小點(diǎn)），是函數(shù)的極大值（極小值）.極大點(diǎn)和極小點(diǎn)統(tǒng)稱為極值點(diǎn)；極大值和極小值統(tǒng)稱為極值.對于“”只是它為“函數(shù)的極值點(diǎn)”的必要而不充分條件.即函數(shù)的極值點(diǎn)必然在函數(shù)的穩(wěn)定點(diǎn)的集合之中，反之，不成立，即穩(wěn)定點(diǎn)不一定是極值點(diǎn). 例1.函數(shù)的極值點(diǎn)是 （ ）錯解：導(dǎo)函數(shù)，令，解得，故答案應(yīng)選C.剖析：這三點(diǎn)都是穩(wěn)定點(diǎn)，那是不是極值點(diǎn)？存在極值點(diǎn)條件：導(dǎo)函數(shù)在穩(wěn)定點(diǎn)的兩側(cè)有不同的符號，必是函數(shù)的極值點(diǎn).顯然導(dǎo)函數(shù)在兩側(cè)有相同的

2、符號，不是函數(shù)的極值點(diǎn).正解：由知，當(dāng)時，當(dāng)時，；當(dāng)時，當(dāng)時，故在上是單調(diào)遞增函數(shù)；在上是單調(diào)遞減函數(shù).因此，只有為極小值點(diǎn)，而和不是極值點(diǎn)（實際上是函數(shù)的拐點(diǎn)），故應(yīng)選D.例2 函數(shù)，當(dāng)時，有極值，那么的值為 .誤解：導(dǎo)函數(shù)，因為函數(shù)在處有極值，可得 ，解得 或因此 或 .剖析：上述解題忽略了一個細(xì)節(jié)，解題過程中只用到，和，這能說明它是極值點(diǎn)嗎？當(dāng)、時，函數(shù)在上是增函數(shù)，顯然不是函數(shù)的極值點(diǎn)；驗證當(dāng)、時，是函數(shù)的極值點(diǎn).故.誤把極值當(dāng)最值例3 求函數(shù)在區(qū)間上的最值.誤解：導(dǎo)函數(shù)，解得，或，經(jīng)驗證，和都是函數(shù)的極值點(diǎn)，即為極大值，為極小值，因此函數(shù)的最大值為，最小值為.剖析：本題是誤把“極值”

3、當(dāng)成“最值”所導(dǎo)致的錯誤.對于上面所給出的定義可知，極值是一個局部概念，是函數(shù)在某一點(diǎn)的小領(lǐng)域內(nèi)的最值；而最值是整體概念，是在整個閉區(qū)間上的最值.在一個區(qū)間上可能有很多極大值（極小值），而且某些極大值還可能小于某些極小值，但只能有一個最大值（如果存在最大值）和一個最小值（如果存在最小值）.因此求函數(shù)閉區(qū)間上的最值，需要將函數(shù)的一切極值與其端點(diǎn)值進(jìn)行比較才能確定.本題兩端點(diǎn)值，所以函數(shù)的最大值為，最小值為.把極值點(diǎn)的取值范圍擴(kuò)大例4 函數(shù)在區(qū)間上的極大值就是最大值，則的取值范圍.誤解：導(dǎo)函數(shù)，令，解得，經(jīng)驗證是函數(shù)的極值點(diǎn)，所以，解得，故的取值范圍是.剖析：定義2，即極值定義，不難發(fā)現(xiàn)極值點(diǎn)在區(qū)間的內(nèi)部（即不能是區(qū)間的端點(diǎn)），是函數(shù)的極