中國數(shù)學(xué)奧林匹克 第二十一屆全國中學(xué)生數(shù)學(xué)冬令營 xiaoxiaotong

1、2006中國數(shù)學(xué)奧林匹克（第二十一屆全國中學(xué)生數(shù)學(xué)冬令營）第一天福州 1月12日 上午8001230 每題21分一、 實數(shù)滿足，求證：證明 只需對任意，證明不等式成立即可記，則，把上面這n個等式相加，并利用可得由Cauchy 不等式可得，所以 二、正整數(shù)（可以有相同的）使得兩兩不相等問：中最少有多少個不同的數(shù)？解 答案：中最少有46個互不相同的數(shù)由于45個互不相同的正整數(shù)兩兩比值至多有454411981個，故中互不相同的數(shù)大于45下面構(gòu)造一個例子，說明46是可以取到的設(shè)為46個互不相同的素數(shù)，構(gòu)造如下：，這2006個正整數(shù)滿足要求所以中最少有46個互不相同的數(shù)三、正整數(shù)m，n，k滿足：，證明不

2、定方程和 中至少有一個有奇數(shù)解證明 首先我們證明如下一個引理：不定方程 或有奇數(shù)解，或有滿足 的偶數(shù)解引理的證明 考慮如下表示 ，則共有個表示，因此存在整數(shù)，滿足，且 ，這表明 ， 這里。由此可得，故，因為，所以，于是因為m為奇數(shù)，顯然沒有整數(shù)解（1） 若，則是方程滿足的解（2） 若，則是方程滿足的解（3） 若，則首先假設(shè)3m，若，且，則 是方程滿足的解若，則 是方程滿足的解現(xiàn)在假設(shè)，則公式和仍然給出方程的整數(shù)解若方程有偶數(shù)解，則因為的奇偶性不同，所以，都為奇數(shù)若，則是方程的一奇數(shù)解若，則是方程的一奇數(shù)解（4），則當5m時，若，或，則 是方程滿足的解若，或，則 是方程滿足的解當，則公式和仍然給

3、出方程的整數(shù)解若方程有偶數(shù)解，則 ，可得 若 ，或者 ，或者，則是方程的一奇數(shù)解 若 ，或，則是方程的一奇數(shù)解引理證畢由引理，若方程沒有奇數(shù)解，則它有一個滿足的偶數(shù)解令，考慮二次方程， 則 ，這表明方程至少有一個整數(shù)根，即， 上式表明必為奇數(shù)將乘以4n后配方得，這表明方程有奇數(shù)解 2006中國數(shù)學(xué)奧林匹克（第二十一屆全國中學(xué)生數(shù)學(xué)冬令營）第二天福州 1月13日 上午8001230 每題21分四、在直角三角形ABC中，ABC 的內(nèi)切圓O分別與邊BC，CA， AB 相切于點D，E，F(xiàn)，連接AD，與內(nèi)切圓O相交于點P，連接BP，CP，若，求證：證明 設(shè)AE = AF = x，BDBFy，CDCEz，

4、APm，PDn因為，所以延長AD至Q，使得，連接BQ，CQ，則P，B，Q，C四點共圓，令DQl，則由相交弦定理和切割線定理可得， 因為，所以，故 在Rt ACD和Rt ACB中，由勾股定理得， ，得 ， ，得 ，所以 ， ，結(jié)合，得 ，整理得 又式可寫為 ， 由，得 又式還可寫為 ， 把上式代入，消去，得，解得 ，代入得， ，將上面的x，y代入，得，結(jié)合，得 ，從而 ，所以，即 五、實數(shù)列滿足：，證明不等式證明 首先，用數(shù)學(xué)歸納法證明：時，命題顯然成立假設(shè)命題對成立，即有設(shè)，則是減函數(shù)，于是, ，即命題對n1也成立原命題等價于設(shè)，則是凸函數(shù)，即對，有事實上，等價于，所以，由Jenson 不等式

5、可得，即 另一方面，由題設(shè)及Cauchy不等式，可得，所以 ，故 ，從而原命題得證六、設(shè)X是一個56元集合求最小的正整數(shù)n，使得對X的任意15個子集，只要它們中任何7個的并的元素個數(shù)都不少于n，則這15個子集中一定存在3個，它們的交非空解 n的最小值為41首先證明合乎條件用反證法假定存在X的15個子集，它們中任何7個的并不少于41個元素，而任何3個的交都為空集因每個元素至多屬于2個子集，不妨設(shè)每個元素恰好屬于2個子集（否則在一些子集中添加一些元素，上述條件仍然成立），由抽屜原理，必有一個子集，設(shè)為A，至少含有8個元素，又設(shè)其它14個子集為考察不含A的任何7個子集，都對應(yīng)X中的41個元素，所有不含A的7子集組一共至少對應(yīng)個元素另一方面，對于元素a，若，則中有2個含有a，于是a被計算了次；若，則中有一個含有a，于是a被計算了次，于是，由此可得，矛盾其次證明用反