高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 9.6 空間向量及其運(yùn)算精品教學(xué)案（學(xué)生版） 新人教版

1、2013年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)精品教學(xué)案9.6 空間向量及其運(yùn)算【考綱解讀】1.了解空間向量的概念，了解空間向量的基本定理及其意義，掌握空間向量的正交分解及其坐標(biāo)表示2.掌握空間向量的線性運(yùn)算及其坐標(biāo)表示3.掌握空間向量的數(shù)量積及其坐標(biāo)表示，能運(yùn)用向量的數(shù)量積判斷向量的共線與垂直【考點(diǎn)預(yù)測(cè)】高考對(duì)此部分內(nèi)容考查的熱點(diǎn)與命題趨勢(shì)為:1.立體幾何是歷年來高考重點(diǎn)內(nèi)容之一,在選擇題、填空題與解答題中均有可能出現(xiàn)，難度不大，主要考查空間中線線、線面、面面的位置關(guān)系的判定與證明，考查表面積與體積的求解，考查三視圖等知識(shí)，在考查立體幾何基礎(chǔ)知識(shí)的同時(shí)，又考查數(shù)形結(jié)合思想、轉(zhuǎn)化與化歸等數(shù)學(xué)思想，以及分析問題、解

2、決問題的能力.2.2013年的高考將會(huì)繼續(xù)保持穩(wěn)定,堅(jiān)持考查立體幾何的基礎(chǔ)知識(shí)，命題形式相對(duì)會(huì)較穩(wěn)定.【要點(diǎn)梳理】1空間向量的概念向量：在空間，我們把具有大小和方向的量叫做向量。如位移、速度、力等。相等向量：長度相等且方向相同的向量叫做相等向量。表示方法：用有向線段表示，并且同向且等長的有向線段表示同一向量或相等的向量。說明：由相等向量的概念可知，一個(gè)向量在空間平移到任何位置，仍與原來的向量相等，用同向且等長的有向線段表示；平面向量僅限于研究同一平面內(nèi)的平移，而空間向量研究的是空間的平移。2向量運(yùn)算和運(yùn)算率 加法交換率：加法結(jié)合率：數(shù)乘分配率：說明：引導(dǎo)學(xué)生利用右圖驗(yàn)證加法交換率，然后推廣到首

3、尾相接的若干向量之和；向量加法的平行四邊形法則在空間仍成立。3平行向量(共線向量)：如果表示空間向量的有向線段所在的直線互相平行或重合，則這些向量叫做共線向量或平行向量。平行于記作。 注意：當(dāng)我們說、共線時(shí)，對(duì)應(yīng)的有向線段所在直線可能是同一直線，也可能是平行直線；當(dāng)我們說、平行時(shí)，也具有同樣的意義。共線向量定理：對(duì)空間任意兩個(gè)向量（）、，的充要條件是存在實(shí)數(shù)使注：上述定理包含兩個(gè)方面：性質(zhì)定理：若（0），則有，其中是唯一確定的實(shí)數(shù)。判斷定理：若存在唯一實(shí)數(shù)，使（0），則有（若用此結(jié)論判斷、所在直線平行，還需（或）上有一點(diǎn)不在（或）上）。對(duì)于確定的和，表示空間與平行或共線，長度為 |，當(dāng)0時(shí)與同

4、向，當(dāng)0時(shí)與反向的所有向量。若直線l，P為l上任一點(diǎn)，O為空間任一點(diǎn)，下面根據(jù)上述定理來推導(dǎo)的表達(dá)式。推論：如果l為經(jīng)過已知點(diǎn)A且平行于已知非零向量的直線，那么對(duì)任一點(diǎn)O，點(diǎn)P在直線l上的充要條件是存在實(shí)數(shù)t，滿足等式 其中向量叫做直線l的方向向量。在l上取，則式可化為 當(dāng)時(shí)，點(diǎn)P是線段AB的中點(diǎn)，則 或叫做空間直線的向量參數(shù)表示式，是線段AB的中點(diǎn)公式。注意：表示式()、()既是表示式,的基礎(chǔ)，也是常用的直線參數(shù)方程的表示形式；推論的用途：解決三點(diǎn)共線問題。結(jié)合三角形法則記憶方程。4向量與平面平行：如果表示向量的有向線段所在直線與平面平行或在平面內(nèi)，我們就說向量平行于平面，記作。注意：向量與

5、直線a的聯(lián)系與區(qū)別。共面向量：我們把平行于同一平面的向量叫做共面向量。共面向量定理 如果兩個(gè)向量、不共線，則向量與向量、共面的充要條件是存在實(shí)數(shù)對(duì)x、y，使注：與共線向量定理一樣，此定理包含性質(zhì)和判定兩個(gè)方面。推論：空間一點(diǎn)P位于平面MAB內(nèi)的充要條件是存在有序?qū)崝?shù)對(duì)x、y，使或?qū)臻g任一定點(diǎn)O，有在平面MAB內(nèi)，點(diǎn)P對(duì)應(yīng)的實(shí)數(shù)對(duì)（x, y）是唯一的。式叫做平面MAB的向量表示式。又代入，整理得 由于對(duì)于空間任意一點(diǎn)P，只要滿足等式、之一（它們只是形式不同的同一等式），點(diǎn)P就在平面MAB內(nèi)；對(duì)于平面MAB內(nèi)的任意一點(diǎn)P，都滿足等式、，所以等式、都是由不共線的兩個(gè)向量、（或不共線三點(diǎn)M、A、B）

6、確定的空間平面的向量參數(shù)方程，也是M、A、B、P四點(diǎn)共面的充要條件。5空間向量基本定理：如果三個(gè)向量、不共面，那么對(duì)空間任一向量，存在一個(gè)唯一的有序?qū)崝?shù)組x, y, z, 使說明：由上述定理知，如果三個(gè)向量、不共面，那么所有空間向量所組成的集合就是，這個(gè)集合可看作由向量、生成的，所以我們把，叫做空間的一個(gè)基底，都叫做基向量；空間任意三個(gè)不共面向量都可以作為空間向量的一個(gè)基底；一個(gè)基底是指一個(gè)向量組，一個(gè)基向量是指基底中的某一個(gè)向量，二者是相關(guān)聯(lián)的不同的概念；由于可視為與任意非零向量共線。與任意兩個(gè)非零向量共面，所以，三個(gè)向量不共面就隱含著它們都不是。推論：設(shè)O、A、B、C是不共面的四點(diǎn)，則對(duì)空

7、間任一點(diǎn)P，都存在唯一的有序?qū)崝?shù)組，使6數(shù)量積（1）夾角：已知兩個(gè)非零向量、，在空間任取一點(diǎn)O，作，則角AOB叫做向量與的夾角，記作說明：規(guī)定0,因而=；如果=，則稱與互相垂直，記作；在表示兩個(gè)向量的夾角時(shí)，要使有向線段的起點(diǎn)重合，注意圖（3）、（4）中的兩個(gè)向量的夾角不同，圖（3）中AOB=，圖（4）中AOB=,從而有=.（2）向量的模：表示向量的有向線段的長度叫做向量的長度或模。（3）向量的數(shù)量積：叫做向量、的數(shù)量積，記作。ABl即=，向量:（4）性質(zhì)與運(yùn)算率。 =0 = 【例題精析】考點(diǎn)一 空間向量的概念及性質(zhì)例1. 有以下命題：如果向量與任何向量不能構(gòu)成空間向量的一組基底，那么的關(guān)系是

8、不共線；為空間四點(diǎn)，且向量不構(gòu)成空間的一個(gè)基底，那么點(diǎn)一定共面；已知向量是空間的一個(gè)基底，則向量，也是空間的一個(gè)基底。其中正確的命題是（ ） 【變式訓(xùn)練】1. 下列命題正確的是（ ）若與共線，與共線，則與共線；向量共面就是它們所在的直線共面；零向量沒有確定的方向；若，則存在唯一的實(shí)數(shù)使得；考點(diǎn)二 空間向量的基本運(yùn)算例2. 如圖：在平行六面體中，為與的交點(diǎn)。若，則下列向量中與相等的向量是（ ） 【變式訓(xùn)練】2. 已知向量=（2，4，x），=（2，y，2），若|=6，則x+y的值是（）A. 3或1 B.3或1 C. 3 D.1【易錯(cuò)專區(qū)】問題：綜合應(yīng)用例. 已知空間三點(diǎn)A（2，0，2），B（1，1，2），C（3，0，4）。設(shè)=，=，（1）求和的夾角；（2）若向量k+與k2互相垂直，求k的值.【課時(shí)作業(yè)】1. 已知兩個(gè)非零向量=（a1，a2，a3），=（b1，b2，b3），它們平行的充要條件是（）A. ：|=：|B.a1b1=a2b2=a3b3C.a1b1+a2b2+a3b3=0D.存在非零實(shí)數(shù)k，使=k2.(2012年高考重慶卷理科6)設(shè)R，向量，且，則（A） （B） （C） （D）103已知：且不共面.若,求的值.【考題回放】1. (2012年高考廣東卷理科3) 若向量=（2,3），=（4,7），則=（ ）A （-2,-4） B (3,4) C (6,10