反比例函數(shù)中考專題

1、反比例函數(shù)專題【知識(shí)要點(diǎn)】1. 定義：一般地，形如（為常數(shù)，）的函數(shù)稱為反比例函數(shù)。還可以寫成或xy=k.2. 反比例函數(shù)的圖像畫法步驟： 列表（應(yīng)以O(shè)為中心，沿O的兩邊分別取三對(duì)或以上互為相反的數(shù)） 描點(diǎn)（有小到大的順序） 連線（從左到右平滑的曲線）反比例函數(shù)的圖像是雙曲線，（為常數(shù)，）中自變量，函數(shù)值，所以雙曲線是不經(jīng)過原點(diǎn)，斷開的兩個(gè)分支，延伸部分逐漸靠近坐標(biāo)軸，但是永遠(yuǎn)不與坐標(biāo)軸相交。反比例函數(shù)的圖像既是軸對(duì)稱圖形（對(duì)稱軸是或），又是中心對(duì)稱圖形（對(duì)稱中心是坐標(biāo)原點(diǎn)）。 比例系數(shù)的幾何意義是：過雙曲線 （）上任意一點(diǎn)引軸軸的垂線，所得矩形面積為。4反比例函數(shù)性質(zhì)如下表：的取值圖像所在象

2、限函數(shù)的增減性一、三象限在每個(gè)象限內(nèi)，值隨的增大而減小二、四象限在每個(gè)象限內(nèi)，值隨的增大而增大5. 反比例函數(shù)解析式的確定：利用待定系數(shù)法（只需一對(duì)對(duì)應(yīng)值或圖像上一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)即可求出）6“反比例關(guān)系”與“反比例函數(shù)”：成反比例的關(guān)系式不一定是反比例函數(shù),但是反比例函數(shù)中的兩個(gè)變量必成反比例關(guān)系?！镜淅觥坷? 在反比例函數(shù)的圖像上有三點(diǎn)， 。若則、和的大小關(guān)系是例2 如圖，直線分別交x軸、y軸于點(diǎn)A，C，點(diǎn)P是直線AC與雙曲線的交點(diǎn)，軸，垂足為點(diǎn)B，OB=m，的面積為4+ m2，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；例3 如圖，函數(shù)在第一象限的圖象上有一點(diǎn)C(1，5)，過點(diǎn)C的直線ykxb(k0)與x軸交于點(diǎn)A(a

3、，0)(1)寫出a關(guān)于k的函數(shù)關(guān)系式；(2)當(dāng)該直線與雙曲線在第一象限的另一交點(diǎn)D的橫坐標(biāo)是9時(shí)，求COA的面積 例4 已知是正比例函數(shù)，是反比例函數(shù)，并且當(dāng)自變量取1時(shí)，；當(dāng)自變量取2時(shí)，9，求和的解析式。例5. 如圖1，已知正比例函數(shù)和反比例函數(shù)的圖像都經(jīng)過點(diǎn)M（2，），且P（，2）為雙曲線上的一點(diǎn)，Q為坐標(biāo)平面上一動(dòng)點(diǎn)，PA垂直于x軸，QB垂直于y軸，垂足分別是A、B （1）寫出正比例函數(shù)和反比例函數(shù)的關(guān)系式；（2）當(dāng)點(diǎn)Q在直線MO上運(yùn)動(dòng)時(shí)，直線MO上是否存在這樣的點(diǎn)Q，使得OBQ與OAP面積相等？如果存在，請(qǐng)求出點(diǎn)的坐標(biāo)，如果不存在，請(qǐng)說明理由； （3）如圖2，當(dāng)點(diǎn)Q在第一象限中的雙曲

4、線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，作以O(shè)P、OQ為鄰邊的平行四邊形OPCQ，求平行四邊形OPCQ周長的最小值例6. 如圖，已知正比例函數(shù)和反比例函數(shù)的圖象都經(jīng)過點(diǎn)（1）求正比例函數(shù)和反比例函數(shù)的解析式；（2）把直線OA向下平移后與反比例函數(shù)的圖象交于點(diǎn)，求的值和這個(gè)一次函數(shù)的解析式；（3）第（2）問中的一次函數(shù)的圖象與軸、軸分別交于C、D，求過A、B、D三點(diǎn)的二次函數(shù)的解析式；（4）在第（3）問的條件下，二次函數(shù)的圖象上是否存在點(diǎn)E，使四邊形OECD的面積與四邊形OABD的面積S滿足：？若存在，求點(diǎn)E的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由yxOCDBA336例7. 一次函數(shù)的圖象分別與軸、軸交于點(diǎn)，與反比例函數(shù)的圖象相交于點(diǎn)

5、過點(diǎn)分別作軸，軸，垂足分別為；過點(diǎn)分別作軸，軸，垂足分別為與交于點(diǎn)，連接（1）若點(diǎn)在反比例函數(shù)的圖象的同一分支上，如圖1，試證明：；（2）若點(diǎn)分別在反比例函數(shù)的圖象的不同分支上，如圖2，則與還相等嗎？試證明你的結(jié)論OCFMDENKyx （圖1）OCDKFENyxM （圖2）例8 某學(xué)校對(duì)教室采用藥薰消毒法進(jìn)行消毒已知藥物燃燒時(shí)，室內(nèi)每立方米空氣中的含藥量y(毫克)與時(shí)間x(分鐘)成正比例，藥物燃燒完后，y與x成反比例(如圖所示)，現(xiàn)測(cè)得藥物8分鐘燃畢，此時(shí)室內(nèi)空氣中每立方米的含藥量為6毫克，請(qǐng)根據(jù)題圖中所提供的信息解答下列問題：(1)藥物燃燒時(shí)y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式為_，自變量x的取值范圍是_；

6、藥物燃燒后y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式為_(2)研究表明，當(dāng)空氣中每立方米的含藥量小于1.6毫克時(shí)學(xué)生方可進(jìn)教室，那么從消毒開始，至少需要經(jīng)過_分鐘后，學(xué)生才能回到教室；(3)研究表明，當(dāng)空氣中每立方米的含藥量不低于3毫克且持續(xù)時(shí)間不低于10分鐘時(shí)，才能有效殺滅空氣中的病菌，那么此次消毒是否有效？為什么？ 【考題訓(xùn)練】一.填空題：1. 若，點(diǎn)M（，）在反比例函數(shù)的圖象上，則反比例函數(shù)的解析式為2.點(diǎn)A(2，1)在反比例函數(shù)的圖像上，當(dāng)1x4時(shí)，y的取值范圍是 .xyOAB3. 如圖，在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)是軸正半軸上的一個(gè)定點(diǎn)，點(diǎn)是雙曲線（）上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)的橫坐標(biāo)逐漸增大時(shí)，的面積將會(huì) 4. 如圖，A

7、和B都與x軸和y軸相切，圓心A和圓心B都在反比例函數(shù)的圖象上，則圖中陰影部分的面積等于 . OBCA5. 如圖，A、B是函數(shù)的圖象上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的任意兩點(diǎn)，BC軸，AC軸，ABC的面積記為，則S= 6. 如圖，直線y=mx與雙曲線y=交于A、B兩點(diǎn)，過點(diǎn)A作AMx軸，垂足為M，連結(jié)BM,若=2，則k的值是 7. 如圖，點(diǎn)、是雙曲線上的點(diǎn)，分別經(jīng)過、兩點(diǎn)向軸、軸作垂線段，若則 xyABO8. 在同一平面直角坐標(biāo)系中，反比例函數(shù)與一次函數(shù)yxOABPCD交于兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則的面積為 9.如圖，雙曲線經(jīng)過矩形QABC的邊BC的中點(diǎn)E，交AB于點(diǎn)D。若梯形ODBC的面積為3，則雙曲線的解析式為

8、10. 如圖，點(diǎn)A在雙曲線上，且OA4，過A作AC軸，垂足為C，OA的垂直平分線交OC于B，則ABC的周長為11. 如圖，函數(shù)與的圖象交于A、B兩點(diǎn)，過點(diǎn)A作AC垂直于OACBxy軸，垂足為C，則的面積為 12.如圖，已知雙曲線經(jīng)過直角三角形OAB斜邊OB的中點(diǎn)D，與直角邊AB相交于點(diǎn)C若OBC的面積為3，則k_ 13. 已知，點(diǎn)是反比例函數(shù)圖像上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，的半徑為1，當(dāng)與坐標(biāo)軸相交時(shí)，點(diǎn)的橫坐標(biāo)的取值范圍是1221Oyx 已知, A、B、C、D、E是反比例函數(shù)（x0）圖象上五個(gè)整數(shù)點(diǎn)（橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù)），分別以這些點(diǎn)向橫軸或縱軸作垂線段，由垂線段所在的正方形邊長為半徑作四分之一圓周的兩條

9、弧，組成如圖5所示的五個(gè)橄欖形（陰影部分），則這五個(gè)橄欖形的面積總和是 . 如圖，在軸的正半軸上依次截取，過點(diǎn)分別作軸的垂線與反比例函數(shù)的圖象相交于點(diǎn)，得直角三角形并設(shè)其面積分別為則的值為 yxOP1P2P3P4P5A1A2A3A4A5 如圖，過原點(diǎn)的直線l與反比例函數(shù)的圖象交于M，N兩點(diǎn)，根據(jù)圖象猜想線段MN的長的最小值是_OyxMNl 如圖，若正方形OABC的頂點(diǎn)B和正方形ADEF的頂點(diǎn)E都在函數(shù) （）的圖象上，則點(diǎn)E的坐標(biāo)是（ ， ）. 如圖，已知點(diǎn)A、B在雙曲線（x0）上， ACx軸于點(diǎn)C，BDy軸于點(diǎn)D，AC與BD交于點(diǎn)P，P是AC的中點(diǎn)，若ABP的面積為3，則k yxOABPCD

10、下圖中正比例函數(shù)與反比例函數(shù)的圖象相交于兩點(diǎn)，分別以兩點(diǎn)為圓心，畫與軸相切的兩個(gè)圓，若點(diǎn)的坐標(biāo)為（2，1），則圖中兩個(gè)陰影部分面積的和是 AxyOB 如圖，直線與雙曲線（）交于點(diǎn)將直線向右平移個(gè)單位后，與雙曲線（）交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，若，則 OxyABC如圖，正方形OABC的面積是4，點(diǎn)B在反比例函數(shù)的圖象上若點(diǎn)R是該反比例函數(shù)圖象上異于點(diǎn)B的任意一點(diǎn)，過點(diǎn)R分別作x軸、y軸的垂線，垂足為M、N，從矩形OMRN的面積中減去其與正方形OABC重合部分的面積，記剩余部分的面積為S則當(dāng)S=m(m為常數(shù)，且0m4)時(shí)，點(diǎn)R的坐標(biāo)是_(用含m的代數(shù)式表示) 如圖，已知一次函數(shù)的圖象與反比例函數(shù)的圖象在第

11、一象限相交于點(diǎn)，與軸相交于點(diǎn)軸于點(diǎn)，的面積為1，則yOxACB的長為 .2、直線y=ax(a0)與雙曲線y=交于A(x1，y1)、B(x2，y2)兩點(diǎn)，則4x1y23x2y1=_ 如果一次函數(shù)相交于點(diǎn)（），那么該直線與雙曲線的另一個(gè)交點(diǎn)為10如圖，在直角坐標(biāo)系中，直線y6x與函數(shù)(x0)的圖象交于A，B，設(shè)A(x1，y1)，那么長為x1，寬為y1的矩形的面積和周長分別是_15已知A、B兩點(diǎn)是反比例函數(shù)的圖象上任意兩點(diǎn)，如圖，過A、B兩點(diǎn)分別作y軸的垂線，垂足為C、D，連結(jié)AB、AO、BO，求梯形ABDC的面積與ABO的面積比 16如圖，直線y2x2與雙曲線在第二象限內(nèi)的交點(diǎn)為A，與兩坐標(biāo)軸分別

12、交于B、C兩點(diǎn)，ADx軸于點(diǎn)D，如果ADB與COB全等，求k的值 17如圖，一次函數(shù)的圖象與x軸、y軸分別交于A、B兩點(diǎn)，與反比例函數(shù)的圖象交于C、D兩點(diǎn)，如果A點(diǎn)的坐標(biāo)為(2，0)，C、D兩點(diǎn)分別在第一、三象限，且OAOBACBD，試求該一次函數(shù)和反比例函數(shù)的解析式 2. 如圖所示，P1（x1，y1）、P2（x2，y2），Pn（xn，yn）在函數(shù)y=（x0）的圖象上，OP1A1，P2A1A2，P3A2A3PnAn1An都是等腰直角三角形，斜邊OA1，A1A2An-1An，都在x軸上，則y1+y2+yn= 。3. 如圖，已知函數(shù)的圖象與軸、y軸分別交于點(diǎn)C、B，與雙曲線交于點(diǎn)A、D, 若AB+

13、CD= BC，則k的值為 7. 如圖，A、B兩點(diǎn)在函數(shù)的圖象上.（1）求的值及直線AB的解析式；（2）如果一個(gè)點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù)，那么我們稱這個(gè)點(diǎn)是格點(diǎn).請(qǐng)直接寫出圖中陰影部分（不包括邊界）所含格點(diǎn)的個(gè)數(shù)。8. 如圖，點(diǎn)P是雙曲線上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作x軸、y軸的垂線，分別交x軸、y軸于A、B兩點(diǎn)，交雙曲線y= （0k2|k1|）于E、F兩點(diǎn)（1）圖1中，四邊形PEOF的面積S1= (用含k1、k2的式子表示)；（2）圖2中，設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為（4，3）判斷EF與AB的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論；記，S2是否有最小值？若有，求出其最小值；若沒有，請(qǐng)說明理由 10. 如圖，在直角坐標(biāo)系中，OBADOC，

14、邊OA、OC都在x軸的正半軸上，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（6，8），BAOOCD90，OD5反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)D，交AB邊于點(diǎn)E（1）、求k的值（2）、求BE的長11. 已知：如圖，正比例函數(shù)的圖象與反比例函數(shù)的圖象交于點(diǎn)（1）試確定上述正比例函數(shù)和反比例函數(shù)的表達(dá)式；（2）根據(jù)圖象回答，在第一象限內(nèi)，當(dāng)取何值時(shí)，反比例函數(shù)的值大于正比例函數(shù)的值？（3）是反比例函數(shù)圖象上的一動(dòng)點(diǎn)，其中過點(diǎn)M作直線軸，交軸于點(diǎn)B；過點(diǎn)A作直線軸交軸于點(diǎn)C，交直線MB于點(diǎn)D當(dāng)四邊形OADM的面積為6時(shí)，請(qǐng)判斷線段BM與DM的大小關(guān)系，并說明理由yxOoADMCB13. 已知平行于x軸的直線與函數(shù)和函數(shù)的圖象分別交于點(diǎn)A和

15、點(diǎn)B，又有定點(diǎn)P（2，0）。（1）若，且tanPOB=，求線段AB的長；（2）在過A，B兩點(diǎn)且頂點(diǎn)在直線上的拋物線中，已知線段AB=，且在它的對(duì)稱軸左邊時(shí)，y隨著x的增大而增大，試求出滿足條件的拋物線的解析式；（3）已知經(jīng)過A，B，P三點(diǎn)的拋物線，平移后能得到的圖象，求點(diǎn)P到直線AB的距離。14. 如圖，曲線C是函數(shù)在第一象限內(nèi)的圖象，拋物線是函數(shù)的圖象點(diǎn)（）在曲線C上，且都是整數(shù)（1）求出所有的點(diǎn)；（2）在中任取兩點(diǎn)作直線，求所有不同直線的條數(shù)；（3）從（2）的所有直線中任取一條直線，求所取直線與拋物線有公共點(diǎn)的概率642246yxO15. 如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線AB與Y軸和X軸分別

16、交于點(diǎn)A、點(diǎn)8，與反比例函數(shù)y一罟在第一象限的圖象交于點(diǎn)c(1，6)、點(diǎn)D(3，x)過點(diǎn)C作CE上y軸于E，過點(diǎn)D作DF上X軸于F(1)求m，n的值；(2)求直線AB的函數(shù)解析式；(3)求證：AECDFB17. 已知點(diǎn)A、B分別是軸、軸上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)C、D是某個(gè)函數(shù)圖像上的點(diǎn)，當(dāng)四邊形ABCD（A、B、C、D各點(diǎn)依次排列）為正方形時(shí)，稱這個(gè)正方形為此函數(shù)圖像的伴侶正方形。例如：如圖，正方形ABCD是一次函數(shù)圖像的其中一個(gè)伴侶正方形。（1）若某函數(shù)是一次函數(shù)，求它的圖像的所有伴侶正方形的邊長；（2）若某函數(shù)是反比例函數(shù)，他的圖像的伴侶正方形為ABCD，點(diǎn)D（2，m）（m 2）在反比例函數(shù)圖像上，求

17、m的值及反比例函數(shù)解析式；（3）若某函數(shù)是二次函數(shù)，它的圖像的伴侶正方形為ABCD，C、D中的一個(gè)點(diǎn)坐標(biāo)為（3，4）.寫出伴侶正方形在拋物線上的另一個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo) ，寫出符合題意的其中一條拋物線解析式 ，并判斷你寫出的拋物線的伴侶正方形的個(gè)數(shù)是奇數(shù)還是偶數(shù)？ 。(本小題只需直接寫出答案). 21. 如圖，曲線C是函數(shù)在第一象限內(nèi)的圖象，拋物線是函數(shù)的圖象點(diǎn)（）在曲線C上，且都是整數(shù)（1）求出所有的點(diǎn)；（2）在中任取兩點(diǎn)作直線，求所有不同直線的條數(shù)；（3）從（2）的所有直線中任取一條直線，求所取直線與拋物線有公共點(diǎn)的概率642246yxO22. 水產(chǎn)公司有一種海產(chǎn)品共2 104千克，為尋求合適的銷售

18、價(jià)格，進(jìn)行了8天試銷，試銷情況如下：第1天第2天第3天第4天第5天第6天第7天第8天售價(jià)x(元/千克)400250240200150125120銷售量y(千克)304048608096100觀察表中數(shù)據(jù)，發(fā)現(xiàn)可以用反比例函數(shù)刻畫這種海產(chǎn)品的每天銷售量y(千克)與銷售價(jià)格x(元/千克)之間的關(guān)系現(xiàn)假定在這批海產(chǎn)品的銷售中，每天的銷售量y(千克)與銷售價(jià)格x(元/千克)之間都滿足這一關(guān)系(1)寫出這個(gè)反比例函數(shù)的解析式，并補(bǔ)全表格；(2)在試銷8天后，公司決定將這種海產(chǎn)品的銷售價(jià)格定為150元/千克，并且每天都按這個(gè)價(jià)格銷售，那么余下的這些海產(chǎn)品預(yù)計(jì)再用多少天可以全部售出？(3)在按(2)中定價(jià)繼

19、續(xù)銷售15天后，公司發(fā)現(xiàn)剩余的這些海產(chǎn)品必須在不超過2天內(nèi)全部售出，此時(shí)需要重新確定一個(gè)銷售價(jià)格，使后面兩天都按新的價(jià)格銷售，那么新確定的價(jià)格最高不超過每千克多少元才能完成銷售任務(wù)？23. 已知：如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線AB分別與軸交于點(diǎn)B、A，與反比例函數(shù)的圖象分別交于點(diǎn)C、D，軸于點(diǎn)E，（1）求該反比例函數(shù)的解析式；（2）求直線AB的解析式OxyACBED25. 如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線AB與Y軸和X軸分別交于點(diǎn)A、點(diǎn)8，與反比例函數(shù)y一罟在第一象限的圖象交于點(diǎn)c(1，6)、點(diǎn)D(3，x)過點(diǎn)C作CE上y軸于E，過點(diǎn)D作DF上X軸于F (1)求m，n的值； (2)求直線AB的函

20、數(shù)解析式；(3)求證：AECDFB26. 已知：正比例函數(shù)的圖象與反比例函數(shù)的圖象交于點(diǎn)（1）試確定上述正比例函數(shù)和反比例函數(shù)的表達(dá)式；（2）畫出圖象并回答，在第一象限內(nèi)，當(dāng)取何值時(shí)，反比例函數(shù)的值大于正比例函數(shù)的值？（3）是反比例函數(shù)圖象上的一動(dòng)點(diǎn)，其中過點(diǎn)作直線軸，交軸于點(diǎn)；過點(diǎn)作直線軸交軸于點(diǎn)，交直線于點(diǎn)當(dāng)四邊形的面積為6時(shí)，請(qǐng)判斷線段與的大小關(guān)系，并說明理由27. 如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)的圖象與反比例函數(shù)的圖象在第一象限相交于點(diǎn)過點(diǎn)分別作軸、軸的垂線，垂足為點(diǎn)、如果四邊形是正方形，求一次函數(shù)的關(guān)系式ACOBx 如圖，已知反比例函數(shù)y=（k0）與雙曲線y=交于A（x1，y

21、1），B（x2，y2）兩點(diǎn)，則2x1y27x2y1的值等于_ 7如圖所示，在反比例函數(shù)y=（x0）的圖像上，有點(diǎn)P1，P2，P3，P4，它們的橫坐標(biāo)依次為1，2，3，4分別過這些點(diǎn)作x軸與y軸的垂線，圖中的構(gòu)成的陰影部分的面積從左到右依次為S1，S2，S3，則S1+S2+S3=_8如圖所示，矩形AOCB的兩邊OC，OA分別位于x軸，y軸上，點(diǎn)B的坐標(biāo)為B（，5），D是AB邊上的一點(diǎn)，將ADO沿直線OD翻折，使A點(diǎn)恰好落在對(duì)角線OB上的點(diǎn)E處，若點(diǎn)E在一反比例函數(shù)的圖像上，那么該函數(shù)的解析式是_9如圖所示，梯形AOBC的頂點(diǎn)A，C在反比例函數(shù)圖像上，OABC，上底邊OA在直線y=x上，下底邊BC交x軸于E（2，0），則四邊形AOEC的面積為 14正比例函數(shù)y=x與反比例函數(shù)y=的圖像相交于A，C兩點(diǎn)，ABx軸于B，CDx軸于D（如圖），則四邊形ABCD的面積為15在反比例函數(shù)y=的圖像上有兩點(diǎn)A（x1，y1），B（x2，y2），當(dāng)x10x2時(shí)，有y10）與直線y=kx交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)A在第一象限，試解答下列問題：（1）若點(diǎn)A的坐標(biāo)為（4，2），則點(diǎn)B的坐標(biāo)為_； 若點(diǎn)A