（全國(guó)通用）2018年高考數(shù)學(xué) 考點(diǎn)一遍過 專題10 函數(shù)模型及其應(yīng)用（含解析）理

1、考點(diǎn)10 函數(shù)模型及其應(yīng)用（1）了解指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)以及冪函數(shù)的增長(zhǎng)特征，知道直線上升、指數(shù)增長(zhǎng)、對(duì)數(shù)增長(zhǎng)等不同函數(shù)類型增長(zhǎng)的含義.（2）了解函數(shù)模型（如指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、分段函數(shù)等在社會(huì)生活中普遍使用的函數(shù)模型）的廣泛應(yīng)用.一、常見的函數(shù)模型函數(shù)模型函數(shù)解析式一次函數(shù)模型(為常數(shù)，)反比例函數(shù)模型(為常數(shù)且)二次函數(shù)模型（均為常數(shù)，）指數(shù)函數(shù)模型（均為常數(shù)，）對(duì)數(shù)函數(shù)模型（為常數(shù)，）冪函數(shù)模型（為常數(shù)，）二、幾類函數(shù)模型的增長(zhǎng)差異函數(shù)性質(zhì)在(0，)上的增減性單調(diào)遞增單調(diào)遞增單調(diào)遞增增長(zhǎng)速度先慢后快，指數(shù)爆炸先快后慢，增長(zhǎng)平緩介于指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)之間,相對(duì)平穩(wěn)圖象的變化隨x的增大

2、，圖象與軸接近平行隨x的增大，圖象與軸接近平行隨n值變化而各有不同值的比較存在一個(gè)，當(dāng)時(shí)，有三、函數(shù)模型的應(yīng)用解函數(shù)應(yīng)用題的一般步驟，可分以下四步進(jìn)行：（1）認(rèn)真審題：弄清題意，分清條件和結(jié)論，理順數(shù)量關(guān)系，初步選擇模型；（2）建立模型：將文字語言轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語言，利用數(shù)學(xué)知識(shí)，建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型；（3）求解模型：求解數(shù)學(xué)模型，得出數(shù)學(xué)結(jié)論；（4）還原解答：將利用數(shù)學(xué)知識(shí)和方法得出的結(jié)論，還原到實(shí)際問題中.用框圖表示如下：數(shù)學(xué)問題實(shí)際問題 建模 審題、轉(zhuǎn)化、抽象 問題 解決 解模 運(yùn)算實(shí)際問題結(jié)論數(shù)學(xué)問題答案 還原 結(jié)合實(shí)際意義考向一 二次函數(shù)模型的應(yīng)用在函數(shù)模型中，二次函數(shù)模型占有重要的地位.

3、根據(jù)實(shí)際問題建立二次函數(shù)解析式后，可以利用配方法、判別式法、換元法、函數(shù)的單調(diào)性等來求函數(shù)的最值，從而解決實(shí)際問題中的利潤(rùn)最大、用料最省等問題.典例1 食品安全問題越來越引起人們的重視，農(nóng)藥、化肥的濫用對(duì)人民群眾的健康帶來一定的危害，為了給消費(fèi)者帶來放心的蔬菜，某農(nóng)村合作社每年投入200萬元，搭建了甲、乙兩個(gè)無公害蔬菜大棚，每個(gè)大棚至少要投入20萬元，其中甲大棚種西紅柿，乙大棚種黃瓜，根據(jù)以往的種菜經(jīng)驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)種西紅柿的年收入、種黃瓜的年收入與投入（單位：萬元）滿足，設(shè)甲大棚的投入為（單位：萬元），每年兩個(gè)大棚的總收益為（單位：萬元）.（1）求的值；（2）試問如何安排甲、乙兩個(gè)大棚的投入，才能使

4、總收益最大？ .所以甲大棚投入128萬元，乙大棚投入72萬元時(shí)，總收益最大，且最大收益為282萬元.【名師點(diǎn)睛】在建立二次函數(shù)模型解決實(shí)際問題中的最優(yōu)問題時(shí)，一定要注意自變量的取值范圍.1某租賃公司擁有汽車100輛，當(dāng)每輛車的月租金為3000元時(shí)，可全部租出，當(dāng)每輛車的月租金每增加50元時(shí)，未租出的車將會(huì)增加一輛，租出的車每輛每月需維護(hù)費(fèi)150元，未租出的車每輛每月需要維護(hù)費(fèi)50元（1）當(dāng)每輛車的月租金定為3600元時(shí)，能租出多少輛車？（2）當(dāng)每輛車的月租金定為多少元時(shí)，租賃公司的月收益最大？最大月收益是多少？考向二 指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)模型的應(yīng)用（1）在實(shí)際問題中，有關(guān)人口增長(zhǎng)、銀行利率、細(xì)胞

5、分裂等增長(zhǎng)率問題常用指數(shù)函數(shù)模型表示.通常可以表示為(其中N為基礎(chǔ)數(shù)，p為增長(zhǎng)率，x為時(shí)間)的形式.求解時(shí)可利用指數(shù)運(yùn)算與對(duì)數(shù)運(yùn)算的關(guān)系.（2）已知對(duì)數(shù)函數(shù)模型解題是常見題型，準(zhǔn)確進(jìn)行對(duì)數(shù)運(yùn)算及指數(shù)與對(duì)數(shù)的互化即可.典例2 一片森林原來面積為a,計(jì)劃每年砍伐一些樹,且使森林面積每年比上一年減少p%,10年后森林面積變?yōu)?為保護(hù)生態(tài)環(huán)境,森林面積至少要保留原面積的,已知到今年為止,森林面積為.（1）求p%的值;（2）到今年為止,該森林已砍伐了多少年?（3）今后最多還能砍伐多少年?故今后最多還能砍伐15年.典例3 我們知道：人們對(duì)聲音有不同的感覺，這與它的強(qiáng)度有關(guān)系.聲音的強(qiáng)度用瓦/米2 ()表示

6、，但在實(shí)際測(cè)量時(shí)，常用聲音的強(qiáng)度水平表示，它們滿足以下公式：(單位為分貝，其中，這是人們平均能聽到的最小強(qiáng)度，是聽覺的開端).回答以下問題：（1）樹葉沙沙聲的強(qiáng)度是，耳語的強(qiáng)度是，恬靜的無線電廣播的強(qiáng)度是，試分別求出它們的強(qiáng)度水平；（2）某一新建的安靜小區(qū)規(guī)定：小區(qū)內(nèi)公共場(chǎng)所的聲音的強(qiáng)度水平必須保持在50分貝以下，試求聲音強(qiáng)度的范圍為多少？所以，即恬靜的無線電廣播的強(qiáng)度水平為40分貝.（2）由題意知：，即，所以，即.所以新建的安靜小區(qū)的聲音強(qiáng)度I大于或等于，同時(shí)應(yīng)小于.2在不考慮空氣阻力的情況下,火箭的最大速度v(單位:米/秒)和燃料的質(zhì)量M(單位:千克)、火箭(除燃料外)的質(zhì)量m(單位:千克

7、)的函數(shù)關(guān)系式是v=2000ln(1+).當(dāng)燃料質(zhì)量是火箭質(zhì)量的倍時(shí),火箭的最大速度可達(dá)12千米/秒.考向三 分段函數(shù)模型的應(yīng)用（1）在現(xiàn)實(shí)生活中，很多問題的兩變量之間的關(guān)系，不能用同一個(gè)關(guān)系式給出，而是由幾個(gè)不同的關(guān)系式構(gòu)成分段函數(shù)如出租車票價(jià)與路程之間的關(guān)系，就是分段函數(shù)（2）分段函數(shù)主要是每一段上自變量變化所遵循的規(guī)律不同，可以先將其作為幾個(gè)不同問題，將各段的規(guī)律找出來，再將其合在一起要注意各段變量的范圍，特別是端點(diǎn)（3）構(gòu)造分段函數(shù)時(shí)，要力求準(zhǔn)確、簡(jiǎn)潔，做到分段合理，不重不漏典例4 據(jù)氣象中心觀察和預(yù)測(cè)：發(fā)生于M地的沙塵暴一直向正南方向移動(dòng)，其移動(dòng)速度v（km/h）與時(shí)間t（h）的函數(shù)

8、圖象如圖所示過線段OC上一點(diǎn)作橫軸的垂線l，梯形OABC在直線l左側(cè)部分的面積即為t（h）內(nèi)沙塵暴所經(jīng)過的路程s（km）（1）當(dāng)時(shí)，求s的值；（2）將s隨t變化的規(guī)律用數(shù)學(xué)關(guān)系式表示出來；（3）若N城位于M地正南方向，且距M地650 km，試判斷這場(chǎng)沙塵暴是否會(huì)侵襲到N城，如果會(huì)，在沙塵暴發(fā)生后多長(zhǎng)時(shí)間它將侵襲到N城？如果不會(huì)，請(qǐng)說明理由【解析】（1）由圖象可知，當(dāng)時(shí)，（km）（2）當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，. 3某蔬菜基地種植西紅柿,由歷年市場(chǎng)行情得知,從2月1日起的300天內(nèi),西紅柿市場(chǎng)售價(jià)P(單位:元/102 kg)與上市時(shí)間t(單位:天)的關(guān)系符合圖1中的折線表示的函數(shù)關(guān)系,西紅柿種植成本

9、Q(單位:元/102 kg)與上市時(shí)間t(單位:天)的關(guān)系符合圖2中的拋物線表示的函數(shù)關(guān)系.（1）寫出圖1表示的市場(chǎng)售價(jià)與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系式P=f(t)，圖2表示的種植成本與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系式Q=g(t)；（2）若市場(chǎng)售價(jià)減去種植成本為純收益,問何時(shí)上市的純收益最大?考向四 函數(shù)模型的比較根據(jù)幾組數(shù)據(jù)，從所給的幾種函數(shù)模型中選擇較好的函數(shù)模型時(shí)，通常是先根據(jù)所給的數(shù)據(jù)確定各個(gè)函數(shù)模型中的各個(gè)參數(shù)，即確定解析式，然后再分別驗(yàn)證、估計(jì)，選出較好的函數(shù)模型.典例5 某工廠第一季度某產(chǎn)品月生產(chǎn)量依次為10萬件，12萬件，13萬件，為了預(yù)測(cè)以后每個(gè)月的產(chǎn)量，以這3個(gè)月的產(chǎn)量為依據(jù)，用一個(gè)函數(shù)模擬該產(chǎn)品的月產(chǎn)

10、量（單位：萬件）與月份的關(guān)系. 模擬函數(shù)；模擬函數(shù).（1）已知4月份的產(chǎn)量為13.7萬件，問選用哪個(gè)函數(shù)作為模擬函數(shù)較好？（2）受工廠設(shè)備的影響，全年的每月產(chǎn)量都不超過15萬件，請(qǐng)選用合適的模擬函數(shù)預(yù)測(cè)6月份的產(chǎn)量.則有，解得，即，當(dāng)時(shí)，所以選用模擬函數(shù)1較好（2）因?yàn)槟M函數(shù)1：是單調(diào)增函數(shù)，所以當(dāng)時(shí)，生產(chǎn)量遠(yuǎn)大于他的最高限量；模擬函數(shù)2：也是單調(diào)增函數(shù)，但生產(chǎn)量，所以不會(huì)超過15萬件，所以應(yīng)該選用模擬函數(shù)2：好當(dāng)時(shí)，所以預(yù)測(cè)6月份的產(chǎn)量為萬件.4某工廠生產(chǎn)某種產(chǎn)品，每件產(chǎn)品的出廠價(jià)為50元，其成本價(jià)為25元，因?yàn)樵谏a(chǎn)過程中平均每生產(chǎn)一件產(chǎn)品有0.5立方米污水排出，為了凈化環(huán)境，工廠設(shè)計(jì)兩

11、套方案對(duì)污水進(jìn)行處理，并準(zhǔn)備實(shí)施.方案一：工廠的污水先凈化處理后再排出，每處理1立方米污水所用原料費(fèi)2元，并且每月排污設(shè)備損耗為30000元；方案二：工廠將污水排到污水處理廠統(tǒng)一處理，每處理1立方米污水需付14元的排污費(fèi).問：（1）工廠每月生產(chǎn)3000件產(chǎn)品時(shí)，你作為廠長(zhǎng)，在不污染環(huán)境，又節(jié)約資金的前提下應(yīng)選擇哪種方案？通過計(jì)算加以說明.（2）若工廠每月生產(chǎn)6000件產(chǎn)品，你作為廠長(zhǎng)，又該如何決策呢？1某公司為了適應(yīng)市場(chǎng)需求對(duì)產(chǎn)品結(jié)構(gòu)做了重大調(diào)整，調(diào)整后初期利潤(rùn)增長(zhǎng)迅速，之后增長(zhǎng)越來越慢，若要建立恰當(dāng)?shù)暮瘮?shù)模型來反映該公司調(diào)整后利潤(rùn)與時(shí)間的關(guān)系，可選用A一次函數(shù) B二次函數(shù)C指數(shù)型函數(shù) D對(duì)數(shù)

12、型函數(shù)2已知三個(gè)函數(shù)模型：，當(dāng)時(shí)，隨的增大，三個(gè)函數(shù)中的增長(zhǎng)速度越來越快的是A BC D32003年至2015年北京市電影放映場(chǎng)次（單位：萬次）的情況如圖所示，下列函數(shù)模型中，最不適合近似描述這13年間電影放映場(chǎng)次逐年變化規(guī)律的是A BC D4某林場(chǎng)今年造林10000畝，計(jì)劃以后每一年比前一年多造林10%，那么從明年算起第3年內(nèi)將造林( )畝A13000 B13310C12100 D330005研究表明,當(dāng)死亡生物組織內(nèi)的碳14的含量不足死亡前的千分之一時(shí),用一般的放射性探測(cè)器就測(cè)不到碳14了.若某一死亡生物組織內(nèi)的碳14經(jīng)過個(gè)“半衰期”后，用一般的放射性探測(cè)器測(cè)不到碳14了,則的最小值是A9

13、 B10C11 D126某工廠產(chǎn)生的廢氣經(jīng)過過濾后排放，排放時(shí)污染物的含量不得超過1%已知在過濾過程中廢氣中的污染物數(shù)量P（單位：毫克升）與過濾時(shí)間t（單位：小時(shí)）之間的函數(shù)關(guān)系為：（k，P0均為正的常數(shù)）若在前5個(gè)小時(shí)的過濾過程中污染物被排除了90%，那么，至少還需（ ）小時(shí)過濾才可以排放A BC5 D107某商場(chǎng)銷售型商品.已知該商品的進(jìn)價(jià)是每件元，且銷售單價(jià)與日均銷售量的關(guān)系如下表所示：銷售單價(jià)（元）日均銷售量（件）請(qǐng)根據(jù)以上數(shù)據(jù)分析，要使該商品的日均銷售利潤(rùn)最大，此商品的定價(jià)(單位:元/件) 應(yīng)為A BC D8某種病毒經(jīng)30分鐘可繁殖為原來的2倍,且已知病毒的繁殖規(guī)律為y=ekt(其中

14、k為常數(shù);t表示時(shí)間,單位:小時(shí);y表示病毒個(gè)數(shù)),則k=,經(jīng)過5小時(shí),1個(gè)病毒能繁殖為個(gè).9某種產(chǎn)品的產(chǎn)銷量情況如圖所示，其中：表示產(chǎn)品各年年產(chǎn)量的變化規(guī)律；表示產(chǎn)品各年的銷售量變化情況.有下敘述：（1）產(chǎn)品產(chǎn)量、銷售量均以直線上升，仍可按原生產(chǎn)計(jì)劃進(jìn)行下去；（2）產(chǎn)品已經(jīng)出現(xiàn)了供大于求的情況，價(jià)格將趨跌；（3）產(chǎn)品的庫(kù)存積壓將越來越嚴(yán)重，應(yīng)壓縮產(chǎn)量或擴(kuò)大銷售量；（4）產(chǎn)品的產(chǎn)、銷情況均以一定的年增長(zhǎng)率遞增.你認(rèn)為較合理的是 （把你認(rèn)為合理結(jié)論的序號(hào)都填上）.10為了保護(hù)環(huán)境，發(fā)展低碳經(jīng)濟(jì)，某單位在國(guó)家科研部門的支持下，進(jìn)行技術(shù)攻關(guān)，采用了新工藝，把二氧化碳轉(zhuǎn)化為一種可利用的化工產(chǎn)品已知該單

15、位每月的處理量最少為400噸，最多為600噸，月處理成本（元）與月處理量（噸）之間的函數(shù)關(guān)系可近似地表示為：，且每處理一噸二氧化碳得到可利用的化工產(chǎn)品的價(jià)值為100元（1）該單位每月處理量為多少噸時(shí)，才能使每噸的平均處理成本最低？（2）該單位每月能否獲利？如果獲利，求出最大利潤(rùn)；如果不獲利，則國(guó)家每月至少需要補(bǔ)貼多少元才能使該單位不虧損？11某上市股票在30天內(nèi)每股的交易價(jià)格(元)與時(shí)間(天)組成有序數(shù)對(duì)(t,P),點(diǎn)(t,P)落在圖中的兩條線段上.該股票在30天內(nèi)的日交易量(萬股)與時(shí)間(天)的部分?jǐn)?shù)據(jù)如下表所示：第天4101622(萬股)36302418（1）根據(jù)提供的圖象,寫出該股票每股

16、交易價(jià)格(元)與時(shí)間(天)所滿足的函數(shù)關(guān)系式;（2）根據(jù)表中數(shù)據(jù),寫出日交易量(萬股)與時(shí)間(天)的一次函數(shù)關(guān)系式;（3）用(萬元)表示該股票日交易額，寫出關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式，并求在這30天內(nèi)第幾天日交易額最大,最大值為多少?12已知甲、乙兩個(gè)工廠在今年的1月份的利潤(rùn)都是6萬元，且乙廠在2月份的利潤(rùn)是8萬元，若甲、乙兩個(gè)工廠的利潤(rùn)(萬元)與月份之間的函數(shù)關(guān)系式分別符合下列函數(shù)模型：,.（1）求函數(shù)fx與gx的解析式；（2）求甲、乙兩個(gè)工廠今年5月份的利潤(rùn)；（3）在同一平面直角坐標(biāo)系下畫出函數(shù)fx與gx的草圖，并根據(jù)草圖比較今年1至10月份甲、乙兩個(gè)工廠的利潤(rùn)的大小情況.1（2014湖南理科）某市

17、生產(chǎn)總值連續(xù)兩年持續(xù)增加.第一年的增長(zhǎng)率為，第二年的增長(zhǎng)率為，則該市這兩年生產(chǎn)總值的年平均增長(zhǎng)率為 A B C D2（2015四川理科）某食品的保鮮時(shí)間y（單位：小時(shí)）與儲(chǔ)藏溫度x（單位：）滿足函數(shù)關(guān)系（為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，k，b為常數(shù)）.若該食品在0 的保鮮時(shí)間是192小時(shí)，在22 的保鮮時(shí)間是48小時(shí)，則該食品在33 的保鮮時(shí)間是_小時(shí).變式拓展 .當(dāng)時(shí)，最大，且最大值為元，所以當(dāng)每輛車的月租金定為元時(shí)，租賃公司的月收益最大，最大月收益是元2【答案】e6-1【解析】當(dāng)v=12000米/秒時(shí),2000ln(1+)=12000,ln(1+)=6,=e6-1.3【解析】（1）由圖1可得市場(chǎng)售價(jià)與時(shí)

18、間的函數(shù)關(guān)系式為.由圖2可得種植成本與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系式為.（2）設(shè)上市時(shí)間為t時(shí)的純收益為h(t),則由題意,得,即.當(dāng)時(shí),整理,得,當(dāng)t=50時(shí),h(t)取得最大值100；當(dāng)時(shí),整理,得,當(dāng)t=300時(shí),h(t)取得最大值87.5.綜上,當(dāng)t=50時(shí),即從2月1日開始的第50天上市的西紅柿純收益最大.4【解析】設(shè)工廠每月生產(chǎn)x件產(chǎn)品時(shí)，依方案一的利潤(rùn)為，依方案二的利潤(rùn)為y2，由題意知y1=50-25x-2脳0.5x-30000=24x-30000，.（1）當(dāng)x=3000時(shí)，y1=42000，y2=54000，因?yàn)閥1y2，所以應(yīng)選擇方案一處理污水.考點(diǎn)沖關(guān)1【答案】D 2【答案】C【解析】三個(gè)函數(shù)模型：，當(dāng)時(shí)，指數(shù)函數(shù)是爆炸型增長(zhǎng)，因此選C.3【答案】D【解析】觀察題圖，結(jié)合各選項(xiàng)中函數(shù)的函數(shù)值隨著自變量的變化規(guī)律可知，D項(xiàng)中函數(shù)最不適合近似描述這13年間電影放映場(chǎng)次逐年變化的規(guī)律.4【答案】B【解析】依題意可得，從明年算起第3年內(nèi)將造林畝，故選B.5【答案】B【解析】由題意知,即2n1000,所以的最小值是10.選B.6【答案】C【解析】設(shè)原污染物的數(shù)量為，則由題意有，所以設(shè)小時(shí)后