第七章 生活中的軸對(duì)稱

1、第七章 生活中的軸對(duì)稱【知識(shí)要點(diǎn)】一、軸對(duì)稱 1、軸對(duì)稱圖形：如果一個(gè)圖形沿一條直線折疊后，直線兩旁的部分能夠互相重合，那么這個(gè)圖形叫做軸對(duì)稱圖形，這條直線叫做對(duì)稱軸。 2、軸對(duì)稱：對(duì)于兩個(gè)圖形，如果沿一條直線對(duì)折后，它們能夠完全重合，那么稱這兩個(gè)圖形成軸對(duì)稱，這條直線就是對(duì)稱軸。3、性質(zhì)：（1）對(duì)應(yīng)點(diǎn)所連的線段被對(duì)稱軸垂直平分。（2）對(duì)應(yīng)線段相等，對(duì)應(yīng)角相等。二、角平分線的性質(zhì)：角平分線上的點(diǎn)到這個(gè)角的兩邊的距離相等。三、線段的垂直平分線（簡稱中垂線）：定義：垂直于一條線段并且平分這條線段的直線是這條線段的垂直平分線。性質(zhì)：線段垂直平分線上的點(diǎn)到這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等。四、等腰三角形 1

2、、等腰三角形：有兩條邊相等的三角形叫做等腰三角形。2、等腰三角形的性質(zhì)：（1）等腰三角形的兩個(gè)底角相等（2）等腰三角形頂角的平分線、底邊上的中線、底邊上的高重合（也稱“三線合一”），（3）等腰三角形是軸對(duì)稱圖形，等腰三角形頂角的平分線、底邊上的中線、底邊上的高它們所在的直線都是等腰三角形的對(duì)稱軸。3、等腰三角形的判定：（1）有兩條邊相等的三角形是等腰三角形。（2）如果一個(gè)三角形有兩個(gè)角相等，那么它們所對(duì)的邊也相等五、等邊三角形：1、等邊三角形：三邊都相等的三角形叫做等邊三角形。2、等邊三角形的性質(zhì)：（1）具有等腰三角形的所有性質(zhì)。（2）等邊三角形的各個(gè)角都相等，并且每個(gè)角都等于60。3、等邊三

3、角形的判定（1）三邊都相等的三角形是等邊三角形。（2）：三個(gè)角都相等的三角形是等邊三角形（3）：有一個(gè)角是60的等腰三角形是等邊三角形。六、軸對(duì)稱圖形的性質(zhì)（1）關(guān)于某條直線對(duì)稱的兩個(gè)圖形是全等形。（2）如果兩個(gè)圖形關(guān)于某條直線對(duì)稱，那么對(duì)稱軸是對(duì)應(yīng)點(diǎn)連線的垂直平分線。（3）兩個(gè)圖形關(guān)于某條直線對(duì)稱，如果它們的對(duì)應(yīng)線段或延長線相交，那么交點(diǎn)在對(duì)稱軸上。（4）如果兩個(gè)圖形的對(duì)應(yīng)點(diǎn)連線被同一條直線垂直平分，那么這兩個(gè)圖形關(guān)于這條直線對(duì)稱。注意：上面的（2）與（4）是互逆的兩個(gè)命題，（2）可以看成是軸對(duì)稱圖形的性質(zhì)定理，（4）則是判定定理。2、圖案的設(shè)計(jì)常常利用對(duì)稱、倒置、旋轉(zhuǎn)、重復(fù)等手段和形式，由

4、于軸對(duì)稱現(xiàn)象在實(shí)際生活中普遍存在，并有廣泛的應(yīng)用和豐富的文化價(jià)值，因此，利用軸對(duì)稱設(shè)計(jì)圖案是常用的和重要的方法。3、鏡面反射原理光線在鏡面的反射過程中，反射角等于入射角，如圖所示，可得12。七、鏡面對(duì)稱的性質(zhì)（1）任何一個(gè)平面圖形在鏡子中的像與它是可以完全重合的。因此，一個(gè)軸對(duì)稱圖形在鏡中的像仍是軸對(duì)稱圖形。（2）若一個(gè)平面圖形正對(duì)鏡面，則其左（右）側(cè)在鏡中的像是其像的右（左）側(cè)。若一個(gè)平面圖形垂直鏡面放置，則靠近鏡面的部分，其像也靠近于鏡面。根據(jù)這兩條性質(zhì)，我們可獲得關(guān)于數(shù)字0，1，3，8這四個(gè)字在鏡中之像的結(jié)論。（3）根據(jù)紙條垂直于鏡面放置，則紙上寫的0，1，3，8這四個(gè)字在鏡中的像和原來

5、的數(shù)字完全一樣。（4）如果紙條正對(duì)鏡面，則紙條上寫的0，8，1這三個(gè)數(shù)字在鏡子中的像和原來的數(shù)字完全一樣?！镜湫屠}】例1. （1）如圖，正三角形正四邊形正五邊形正六邊形正八邊形都是軸對(duì)稱圖形，數(shù)一數(shù)它們的對(duì)稱軸的條數(shù)，填入下表：圖形編號(hào)對(duì)稱軸條數(shù)（2）觀察后分析，正多邊形對(duì)稱軸的條數(shù)與邊數(shù)n有什么關(guān)系?（3）根據(jù)你的分析結(jié)果回答：正九邊形、正十二邊形有幾條對(duì)稱軸?解：（1）圖形編號(hào)對(duì)稱軸條數(shù)34568（2）正多邊形對(duì)稱軸的條數(shù)與邊數(shù)n相等。（3）由（2）知，正九邊形有九條對(duì)稱軸，正十二邊形有十二條對(duì)稱軸。例2. 下列圖形是由兩個(gè)字母A和H構(gòu)成的（把A和H看作是軸對(duì)稱圖形）A H A H A

6、H A H A H A H（1）請(qǐng)仔細(xì)觀察其中的變化規(guī)律，回答以下兩個(gè)問題：第100個(gè)字母是什么?圖形中的字母A在2006個(gè)字母中一共出現(xiàn)多少次?（2）從左往右在圖案中取多少個(gè)字母能構(gòu)成一次軸對(duì)稱?解：（1）第100個(gè)字母是H。圖形中的字母A在2006個(gè)字母中一共出現(xiàn)1003次。（2）從左往右在圖案中取奇數(shù)個(gè)字母能構(gòu)成一次軸對(duì)稱。例3. 如圖，已知CD垂直平分線段AB，AB平分CAD，求證： CBAD分析：欲證線段平行，往往先證有關(guān)角相等，如BBAD，再結(jié)合角平分線的性質(zhì)，又可實(shí)現(xiàn)角的轉(zhuǎn)換，只須證BCAB，而此式只需用垂直平分線性質(zhì)即可得證。證明：CD垂直平分線段ABCACBCABCBAAB平

7、分CADCABDAB DABCBACBAD（內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行）例4. 如圖，已知ABAC，DBDC，P是AD上一點(diǎn)，求證： ABPACP分析：本題欲證ABPACP，注意到ABPABCPBC， ACPACBPCB，不妨先探討ABC與ACB， PBC與PCB的關(guān)系。證明：連接BC，ABAC（已知）ACBABC點(diǎn)A、D都在線段BC的垂直平分線上，而兩點(diǎn)確定一條直線AD就是線段BC的垂直平分線PCPBPBCPCBABCPBCACBPCBABPACP說明：（1）在有線段相等的條件下證明角的相等，?？捎煤愕茸冃蔚姆椒ㄞD(zhuǎn)化為另外一個(gè)角的相等問題來證。（2）本題可以用三角形全等來證。例5. 如圖，在AB

8、C中，C90，DE是邊AB上的垂直平分線，交BC于點(diǎn)D，垂足為E，如果1：21：2，求B的度數(shù)。解：DE是邊AB上的垂直平分線ADDBDABDBA CAB+CBA90，1：21：2CBA9022.5例6. 現(xiàn)有一排數(shù)字。它是一數(shù)在鏡子中的像，試問原數(shù)是什么？分析：這與鏡子的放置方式有關(guān)。解：如果把鏡子放在原數(shù)的正前方或左、右側(cè)面時(shí)，原數(shù)是，如果把鏡子放在原數(shù)的上方或下方時(shí)，原數(shù)是例7. 由“”所組成的兩位數(shù)，已知它的兩個(gè)數(shù)字之和為10，它在水中的倒影也是一個(gè)兩位數(shù)，且這個(gè)兩位數(shù)字之和為13，求原來的兩位數(shù)。解：由0、1、2、3、4、5、6、7、8、9這十個(gè)數(shù)所組成的兩位數(shù)之和為10，只有19、

9、28、37、46四對(duì)，然后將這8個(gè)數(shù)字在水中的倒影寫出來，就是，然后組成的兩位數(shù)的兩個(gè)數(shù)字之和為13，那么只有5813，所以原來的數(shù)為28或82。【同步練習(xí)】一、選擇題1、下列圖形中，不一定是軸對(duì)稱圖形的是（ ）A. 線段AB B. 鈍角AOB C. 直角ABC D. 等邊ABC2、我們知道等腰三角形是一個(gè)軸對(duì)稱圖形，下列關(guān)于它的對(duì)稱軸的說法正確的是（ ）A. 是頂角的平分線 B. 是底邊上的高C. 是底邊上的中線 D. 是底邊的垂直平分線3、如圖，ABC中，ABAC，BAC108，AD、AE是ABC的三等分線，則圖中成軸對(duì)稱的三角形有（ ）A. 2 個(gè) B. 3 個(gè) C. 4個(gè) D. 6個(gè)4

10、、下列說法：（1）關(guān)于某條直線對(duì)稱的兩個(gè)圖形的對(duì)稱點(diǎn)一定位于該直線的兩旁；（2）關(guān)于某條直線對(duì)稱的兩個(gè)圖形，其任何一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)的連線的垂直平分線就是它們的對(duì)稱軸；（3）如果平面上兩個(gè)圖形的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的連線被同一條直線垂直平分，那么這兩個(gè)圖形關(guān)于這條直線對(duì)稱；（4）如果平面上兩個(gè)圖形完全相同，那么這兩個(gè)圖形必定關(guān)于某條直線對(duì)稱，其中說法正確的是（ ）A. （1）（2） B. （3）（2） C. （2）（4） D. （1）（3）5、小明站在鏡子前，他在鏡子中的像只舉起了右手，則小明實(shí)際上舉手的情況是（ ）A. 舉起了左手 B. 舉起了右手C. 左手與右手都舉了 D. 兩只手都沒舉6、在平面鏡里看到背后墻

11、上，電子鐘表示如圖所示，這時(shí)的時(shí)間是（ ）A. 21:05 B. 21:15 C. 20:15 D. 20:057、將寫有“K”的紙條垂直于鏡面放置，則在鏡中所成的像有（ ）A. 1種 B. 2種 C. 3種 D. 4種8、在由兩個(gè)字母UV，BE，CD，TT，HI，XK組成的6組字母圖中，能由某條直線翻轉(zhuǎn)后重合的共有（ ）A. 5組 B. 4組 C. 3組 D. 2組二、填空題1、如圖，直線MN是線段AB的對(duì)稱軸，點(diǎn)C在MN外，CA與MN相交于點(diǎn)D，如果CACB4厘米，那么BCD的周長等于（ ）厘米。2、如圖，AD是ABC的對(duì)稱軸，DAC30，DC4厘米，則ABC是（ ）三角形，ABC的周長（

12、 ）3、如圖，已知AOB40，OM平分AOB，MAOA于A，MBOB于點(diǎn)B，則MAB的度數(shù)為（ ）4、在圖中，分別作出點(diǎn)P關(guān)于OA，OB對(duì)稱的點(diǎn)P，P，交OA于M，交OB于N，若PP5厘米，則PMN的周長為（ ）5、如果把鏡子中的像和物體的對(duì)應(yīng)點(diǎn)用線段連起來，那么這些線段被鏡面（ ）6、小明站在鏡子對(duì)面，他的球衣號(hào)碼在鏡子里是，那么小明球衣的號(hào)碼是（ ）7、如圖，在桌面上豎直放置兩塊鏡面相對(duì)的平面鏡，在兩鏡之間放置一個(gè)小皮球，那么在兩鏡中共可以得到多少個(gè)小皮球的像（ ）8、一同學(xué)下午面對(duì)一鏡子，發(fā)現(xiàn)鏡子中正掛在墻上的鐘的分針和時(shí)針分別指向正北和正西方向，則準(zhǔn)確時(shí)間為（ ）9、一輛摩托車的號(hào)碼在

13、平面鏡中的像是2185，則該輛車號(hào)是（ ）。三、開放題1、一個(gè)等腰三角形的兩個(gè)內(nèi)角之比是2：1，求這個(gè)等腰三角形的頂角的度數(shù)。2、已知，在直角三角形ABC中，C90，AD平分BAC交BC于點(diǎn)D，如果BC32，且BD:CD9:7，求點(diǎn)D到AB的距離。3、如圖，在ABC中，ABAC，DE垂直平分AB交AC于點(diǎn)E，已知BCE的周長為8，且ACBC2，求AB，BC的長。【試題答案】一、選擇題1、C 2、D 3、D 4、B 5、A6、A 7、C 8、A二、填空題1、4 2、等邊，24cm 3、20 4、5厘米 5、垂直平分6、315 7、無數(shù)個(gè) 8、下午3：00 9、2815三、開放題1、36或902、

14、143、AB5，BC3【模擬試題】（答題時(shí)間：45分鐘）一、填空題1、如果一個(gè)圖形沿某條直線折疊后，直線兩旁的部分能夠互相重合，那么這個(gè)圖形叫（ ），這條直線叫做（ ）2、對(duì)于兩個(gè)圖形，如果沿一條直線對(duì)折后，它們能夠完全重合，那么這兩個(gè)圖形成（ ），這條直線是（ ）3、軸對(duì)稱是指（ ）個(gè)圖形的位置關(guān)系，軸對(duì)稱圖形是指（ ）個(gè)具有特殊形狀的圖形。4、軸對(duì)稱圖形的對(duì)稱軸是一條（ ）線。5、正方形是軸對(duì)稱圖形嗎？答：（ ），它共有（ ）條對(duì)稱軸。6、兩條直角邊相等的直角三角形是軸對(duì)稱圖形嗎？答：（ ），它有（ ）條對(duì)稱軸。7、角是軸對(duì)稱圖形，（ ）線是它的對(duì)稱軸8、線段是軸對(duì)稱圖形，它的對(duì)稱軸是（

15、）9、等腰三角形是軸對(duì)稱圖形，它的對(duì)稱軸是（ ）10、三邊相等的三角形是（ ）三角形，也叫（ ）三角形。11、角平分線上任意一點(diǎn)到角兩邊的距離（ ）12、線段垂直平分線上的點(diǎn)到（ ）距離相等。13、等腰三角形頂角的（ ）與底邊上的（ ）、（ ）重合，它們都是等腰三角形的（ ），也稱（ ）14、等腰三角形的一個(gè)內(nèi)角為40，則它的一個(gè)底角為（ ）15、有一條對(duì)稱軸的三角形是（ ）三角形，有三條對(duì)稱軸的三角形是（ ）三角形。16、一個(gè)等腰三角形的底角是頂角的2倍，則它的頂角是（ ），底角是（ ）。二、選擇題1、長方形是軸對(duì)稱圖形，它的對(duì)稱軸有（ ）A. 1條 B. 2 條 C. 3 條 D. 4條2

16、、軸對(duì)稱圖形的對(duì)稱軸數(shù)（ ）A. 只有1條 B. 2條 C. 3條 D. 至少1條3、圓是軸對(duì)稱圖形，它的對(duì)稱軸有（ ）A. 1條 B. 2條 C. 4條 D. 無數(shù)條4、下列圖形中：（1）等腰三角形（2）直角三角形（3）線段（4）角（5）等腰直角三角形，其中軸對(duì)稱圖形有（ ）A. 1個(gè) B. 2個(gè) C. 3個(gè) D. 4個(gè)5、等腰三角形的底邊長是8厘米，腰長是5厘米，那么這個(gè)等腰三角形的周長是（ ）A. 21厘米 B. 18厘米 C. 18厘米或21厘米 D. 13厘米或26厘米6、等腰三角形的一個(gè)內(nèi)角為150，則它的底角為（ ）A. 30 B. 15 C. 30或15 D. 507、等腰三角形的一個(gè)底角為40，則它的底角為（ ）A. 40 B. 70 C. 120 D. 40或708、下列說法錯(cuò)誤的是（ ）A. 等腰三角形底邊上的高是它的對(duì)稱軸B. 等腰三角形底邊上的中線是它的對(duì)稱軸C. 等腰三角形頂角的平分線是它的對(duì)稱軸D. 等腰三角形一個(gè)角的平分線是它的對(duì)稱軸三、兩個(gè)大小不同的圓可以組成以下五種圖形，請(qǐng)找出每個(gè)圖形的對(duì)稱軸，并說一說它們的對(duì)稱軸有什么共同