灰色預(yù)測(cè)模型.ppt

1、灰色預(yù)測(cè)模型,灰色預(yù)測(cè)模型（Gray Forecast Model）是通過少量的、不完全的信息，建立數(shù)學(xué)模型并做出預(yù)測(cè)的一種預(yù)測(cè)方法.當(dāng)我們應(yīng)用運(yùn)籌學(xué)的思想方法解決實(shí)際問題，制定發(fā)展戰(zhàn)略和政策、進(jìn)行重大問題的決策時(shí)，都必須對(duì)未來進(jìn)行科學(xué)的預(yù)測(cè). 預(yù)測(cè)是根據(jù)客觀事物的過去和現(xiàn)在的發(fā)展規(guī)律，借助于科學(xué)的方法對(duì)其未來的發(fā)展趨勢(shì)和狀況進(jìn)行描述和分析，并形成科學(xué)的假設(shè)和判斷.,灰色系統(tǒng)理論是研究解決灰色系統(tǒng)分析、建模、預(yù)測(cè)、決策和控制的理論.灰色預(yù)測(cè)是對(duì)灰色系統(tǒng)所做的預(yù)測(cè).目前常用的一些預(yù)測(cè)方法（如回歸分析等），需要較大的樣本.若樣本較小，常造成較大誤差，使預(yù)測(cè)目標(biāo)失效.灰色預(yù)測(cè)模型所需建模信息少，運(yùn)算

2、方便，建模精度高，在各種預(yù)測(cè)領(lǐng)域都有著廣泛的應(yīng)用，是處理小樣本預(yù)測(cè)問題的有效工具.,7.1 灰色系統(tǒng)的定義和特點(diǎn),7.1灰色系統(tǒng)的定義和特點(diǎn),灰色系統(tǒng)理論是由華中理工大學(xué)鄧聚龍教授于1982年提出并加以發(fā)展的。二十幾年來，引起了不少國(guó)內(nèi)外學(xué)者的關(guān)注，得到了長(zhǎng)足的發(fā)展。目前，在我國(guó)已經(jīng)成為社會(huì)、經(jīng)濟(jì)、科學(xué)技術(shù)在等諸多領(lǐng)域進(jìn)行預(yù)測(cè)、決策、評(píng)估、規(guī)劃控制、系統(tǒng)分析與建模的重要方法之一。特別是它對(duì)時(shí)間序列短、統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)少、信息不完全系統(tǒng)的分析與建模，具有獨(dú)特的功效，因此得到了廣泛的應(yīng)用.在這里我們將簡(jiǎn)要地介紹灰色建模與預(yù)測(cè)的方法。,7.1灰色系統(tǒng)的定義和特點(diǎn),1. 灰色系統(tǒng)的定義,灰色系統(tǒng)是黑箱概念的一

3、種推廣。我們把既含有已知信息又含有未知信息的系統(tǒng)稱為灰色系統(tǒng).作為兩個(gè)極端，我們將稱信息完全未確定的系統(tǒng)為黑色系統(tǒng)；稱信息完全確定的系統(tǒng)為白色系統(tǒng).區(qū)別白色系統(tǒng)與黑色系統(tǒng)的重要標(biāo)志是系統(tǒng)各因素之間是否具有確定的關(guān)系。,7.1灰色系統(tǒng)的定義和特點(diǎn),2. 灰色系統(tǒng)的特點(diǎn),（1）用灰色數(shù)學(xué)處理不確定量，使之量化.,（2）充分利用已知信息尋求系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律.,（3）灰色系統(tǒng)理論能處理貧信息系統(tǒng).,7.1灰色系統(tǒng)的定義和特點(diǎn),常用的灰色預(yù)測(cè)有五種：,（1）數(shù)列預(yù)測(cè)，即用觀察到的反映預(yù)測(cè)對(duì)象特征的時(shí)間序列來構(gòu)造灰色預(yù)測(cè)模型，預(yù)測(cè)未來某一時(shí)刻的特征量，或達(dá)到某一特征量的時(shí)間。,（2）災(zāi)變與異常值預(yù)測(cè)，即通過

4、灰色模型預(yù)測(cè)異常值出現(xiàn)的時(shí)刻，預(yù)測(cè)異常值什么時(shí)候出現(xiàn)在特定時(shí)區(qū)內(nèi)。,（3）季節(jié)災(zāi)變與異常值預(yù)測(cè)，即通過灰色模型預(yù)測(cè)災(zāi)變值發(fā)生在一年內(nèi)某個(gè)特定的時(shí)區(qū)或季節(jié)的災(zāi)變預(yù)測(cè)。,（4）拓?fù)漕A(yù)測(cè)，將原始數(shù)據(jù)作曲線，在曲線上按定值尋找該定值發(fā)生的所有時(shí)點(diǎn)，并以該定值為框架構(gòu)成時(shí)點(diǎn)數(shù)列，然后建立模型預(yù)測(cè)該定值所發(fā)生的時(shí)點(diǎn)。,（5）系統(tǒng)預(yù)測(cè). 通過對(duì)系統(tǒng)行為特征指標(biāo)建立一組相互關(guān)聯(lián)的灰色預(yù)測(cè)模型，預(yù)測(cè)系統(tǒng)中眾多變量間的相互協(xié)調(diào)關(guān)系的變化。,7.2 灰色系統(tǒng)的模型,7.2 灰色系統(tǒng)的模型,通過下面的數(shù)據(jù)分析、處理過程，我們將了解到，有了一個(gè)時(shí)間數(shù)據(jù)序列后，如何建立一個(gè)基于模型的灰色預(yù)測(cè)。 1. 數(shù)據(jù)的預(yù)處理 首先我

5、們從一個(gè)簡(jiǎn)單例子來考察問題. 【例7.1】 設(shè)原始數(shù)據(jù)序列,7.2 灰色系統(tǒng)的模型,對(duì)數(shù)據(jù)累加,于是得到一個(gè)新數(shù)據(jù)序列,7.2 灰色系統(tǒng)的模型,歸納上面的式子可寫為 稱此式所表示的數(shù)據(jù)列為原始數(shù)據(jù)列的一次累加生成，簡(jiǎn)稱為一次累加生成.顯然有,將上述例子中的,分別做成圖7.1、圖7.2.,可見圖7.1上的曲線有明顯的擺動(dòng)，圖7.2呈現(xiàn)逐漸 遞增的形式，說明原始數(shù)據(jù)的起伏已顯著弱化.可以 設(shè)想用一條指數(shù)曲線乃至一條直線來逼近累加生成 數(shù)列,7.2 灰色系統(tǒng)的模型,圖7.2,圖7.1,為了把累加數(shù)據(jù)列還原為原始數(shù)列，需進(jìn)行后減運(yùn)算 或稱相減生成，它是指后前兩個(gè)數(shù)據(jù)之差，如上例中,7.2 灰色系統(tǒng)的模

6、型,歸納上面的式子得到如下結(jié)果：一次后減,其中,7.2 灰色系統(tǒng)的模型,2. 建模原理 給定觀測(cè)數(shù)據(jù)列 經(jīng)一次累加得,設(shè) 滿足一階常微分方程,（7.1）,（7.2）,（7.3）,7.2 灰色系統(tǒng)的模型,其中是常數(shù)，稱為發(fā)展灰數(shù)；稱為內(nèi)生控制灰數(shù)，是對(duì)系統(tǒng)的常定輸入.此方程滿足初始條件,的解為,(7.3),對(duì)等間隔取樣的離散值 (注意到 ）則為,(7.4),灰色建模的途徑是一次累加序列（7.2）通過最小二乘法來 估計(jì)常數(shù)a與u.,7.2 灰色系統(tǒng)的模型,因,留作初值用，故將,用差分代替微分，又因等間隔取樣，,分別代入方程(7.3),故得,類似地有,于是，由式（7.3）有,7.2 灰色系統(tǒng)的模型,

7、由于,涉及到累加列,的兩個(gè)時(shí)刻的值，因此，,取前后兩個(gè)時(shí)刻的平均代替更為合理，即將,替換為,把,項(xiàng)移到右邊，并寫成向量的數(shù)量積形式,(7.5),7.2 灰色系統(tǒng)的模型,將（7.5）寫為矩陣表達(dá)式,令,這里，T表示轉(zhuǎn)置.令,(7.6),7.2 灰色系統(tǒng)的模型,則(7.6)式的矩陣形式為,方程組(7.6)的最小二乘估計(jì)為,(7.6),(7.7),7.2 灰色系統(tǒng)的模型,把估計(jì)值,代入（7.4）式得時(shí)間響應(yīng)方程,由(7.8)式算得的,是擬合值；,為預(yù)報(bào)值.這是相對(duì)于一次累加序列,的擬合值，用后減運(yùn)算還原，,就可得原始序列,的擬合值,可得原始序列,預(yù)報(bào)值.,(7.8),7.2 灰色系統(tǒng)的模型,3.精度

8、檢驗(yàn) (1)殘差檢驗(yàn)：分別計(jì)算,7.2 灰色系統(tǒng)的模型,（3）預(yù)測(cè)精度等級(jí)對(duì)照表，見表7.1.,7.2 灰色系統(tǒng)的模型,由于模型是基于一階常微分方程（7.3）建立的，故稱為一階一元灰色模型，記為GM(1,1).須指出的是， 建模時(shí)先要作一次累加，因此要求原始數(shù)據(jù)均為非負(fù)數(shù).否則，累加時(shí)會(huì)正負(fù)抵消，達(dá)不到使數(shù)據(jù)序列隨時(shí)間遞增的目的.如果實(shí)際問題的原始數(shù)據(jù)列出現(xiàn)負(fù)數(shù)，可對(duì)原始數(shù)據(jù)列進(jìn)行“數(shù)據(jù)整體提升”處理. 注意到一階常微分方程是導(dǎo)出GM(1,1)模型的橋梁，在我們應(yīng)用GM(1,1)模型于實(shí)際問題預(yù)測(cè)時(shí)，不必求解一階常微分方程（7.3）.,7.2 灰色系統(tǒng)的模型,4.GM(1,1)的建模步驟 綜上

9、所述，GM(1,1)的建模步驟如下：,7.3 銷售額預(yù)測(cè),7.3 銷售額預(yù)測(cè),隨著生產(chǎn)的發(fā)展、消費(fèi)的擴(kuò)大，市場(chǎng)需求通?？偸窃黾拥?，一個(gè)商店、一個(gè)地區(qū)的銷售額常常呈增長(zhǎng)趨勢(shì). 因此，這些數(shù)據(jù)符合建立灰色預(yù)測(cè)模型的要求。,【例7.2】 表7.2列出了某公司19992003年逐年的銷 售額.試用建立預(yù)測(cè)模型，預(yù)測(cè)2004年的銷售額，要求作精度檢驗(yàn)。,7.3 銷售額預(yù)測(cè),表7.2 逐年銷售額（百萬元）,【例7.2】 表7.2列出了某公司19992003年逐年的銷 售額.試用建立預(yù)測(cè)模型，預(yù)測(cè)2004年的銷售額，要求作精度檢驗(yàn)。,7.3 銷售額預(yù)測(cè),解（1）由原始數(shù)據(jù)列計(jì)算一次累加序列 ，結(jié)果見表7.3

10、. 表7.3 一次累加數(shù)據(jù),7.3 銷售額預(yù)測(cè),（2）建立矩陣：,7.3 銷售額預(yù)測(cè),7.3 銷售額預(yù)測(cè),7.3 銷售額預(yù)測(cè),7.3 銷售額預(yù)測(cè),7.4 城市道路交通事故次數(shù) 的灰色預(yù)測(cè),7.4 城市道路交通事故次數(shù)的灰色預(yù)測(cè),灰色理論以“部分信息已知、部分信息未知”的“小樣本”、“貧信息”的不確定問題為研究對(duì)象,通過對(duì)“部分”已知的信息的生成開發(fā),提取有價(jià)值的信息,構(gòu)造生成序列的手段來尋求現(xiàn)實(shí)現(xiàn)象中存在的規(guī)律。 交通事故作為一個(gè)隨機(jī)事件,其本身具有相當(dāng)大的偶然性和模糊性,如果把某地區(qū)的道路交通作為一個(gè)系統(tǒng)來看，則此系統(tǒng)中存在著一些確定因素(灰色系統(tǒng)稱為白色信息) ,如道路狀況、信號(hào)標(biāo)志,同時(shí)

11、也存在一些不確定因素(灰色系統(tǒng)稱為灰色信息)如車輛狀況、氣候因素、駕駛員心理狀態(tài)等等,具有明顯的不確定性特征。 因此可以認(rèn)為一個(gè)地區(qū)的道路交通安全系統(tǒng)是一個(gè)灰色系統(tǒng),可以利用灰色系統(tǒng)理論進(jìn)行研究。,7.4 城市道路交通事故次數(shù)的灰色預(yù)測(cè),【例7.3】某市2004年1-6月的交通事故次數(shù)統(tǒng)計(jì)見表7.5.試建立灰色預(yù)測(cè)模型. 表7.5 交通事故次數(shù)統(tǒng)計(jì) 解 利用GM預(yù)測(cè)軟件(GM(1,1)模型）計(jì)算，輸出分析數(shù)據(jù)如下： 原始數(shù)列(元素共6個(gè)):83，95，130，141，156，185 預(yù)測(cè)結(jié)果如下：,7.4 城市道路交通事故次數(shù)的灰色預(yù)測(cè),1dx/dt+ax=u：a=-0.14401015，u=

12、84.47278810 2時(shí)間響應(yīng)方程： X(k+1)=669.5752*exp(0.1440k)-586.5752 3殘差 E(k)：(1)0.00000000 (2) -8.71441263 (3) 10.22065739 (4) 2.66733676 (5) -3.75981586 (6) 0.49405494 4第一次累加值:(1)83.000000 (2)178.000000 (3)308.000000 (4)449.00000 (5)605.000000 (6)790.000000 5相對(duì)殘差e(k)：(1)0.00000000 (2)-0.09173066 (3)0.078620

13、44 (4)0.01891728(5)-0.02410138(6) 0.00267057,7.4 城市道路交通事故次數(shù)的灰色預(yù)測(cè),6原數(shù)據(jù)均值avg(x)：131.66666667 7原數(shù)據(jù)方差 S(1)：34.73550857 8殘差的均值avg(E)：0.18156412 9殘差的方差 S(2)：6.35189717 10后驗(yàn)差比值 C：0.18286467 11小誤差概率 P：1.00000000 12模型計(jì)算值X(k)：(1) 83.00000000 (2) 103.71441263 (3) 119.77934261 (4)138.33266324 (5) 159.75981586 (

14、6) 184.50594506 13預(yù)測(cè)的結(jié)果X*(k)： (1) 213.08514646 (2) 246.09114698 (3) 284.20963932 (4)328.23252716 (5) 379.07437672 (6) 437.79141674 (7) 505.60348139 預(yù)測(cè)精度等級(jí)： 好！ 這表明：如果該市不采取更有效的管制措施，7月的交通事故次數(shù)將上升至213次.,7.5 城市火災(zāi)發(fā)生次數(shù) 的灰色預(yù)測(cè),7.5 城市火災(zāi)發(fā)生次數(shù)的灰色預(yù)測(cè),【例7.4】某市20012005年火災(zāi)的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)見表7.7. 試建立模型，并對(duì)該市2006年的火災(zāi)發(fā)生狀況做出預(yù)測(cè)。 表7.7 某

15、市20012005年火災(zāi)數(shù)據(jù),7.5 城市火災(zāi)發(fā)生次數(shù)的灰色預(yù)測(cè),解 利用GM預(yù)測(cè)軟件計(jì)算，輸出分析數(shù)據(jù)如下： 原始數(shù)列(元素共5個(gè)): 87，97，120，166，161 預(yù)測(cè)結(jié)果如下：,1dx/dt+ax=u：a=-0.16668512，u=81.11892433 2時(shí)間響應(yīng)方程： X(k+1)=573.6597*exp(0.1667k)-486.6597 3殘差 E(k)： (1)0.00000000 (2)-7.05165921 (3)-2.92477940 (4)20.77885211 (5)-10.56168104,7.5 城市火災(zāi)發(fā)生次數(shù)的灰色預(yù)測(cè),4 第一次累加值: (1) 8

16、7.000000 (2) 184.000000 (3) 304.000000 (4) 470.000000 (5)631.000000 5 相對(duì)殘差e(k)：(1) 0.00000000 (2) -0.07269752 (3) -0.02437316 (4) 0.12517381 (5)-0.06560050 6 原數(shù)據(jù)均值avg(x)：126.20000000 7 原數(shù)據(jù)方差 S(1)：32.31965346 8 殘差的均值avg(E)：0.06018312 9 殘差的方差 S(2)：12.26351851 10 后驗(yàn)差比值 C： 0.37944462 11 小誤差概率 P：1.000000

17、00 12 模型計(jì)算值X(k)： (1) 87.00000000 (2) 104.05165921 (3) 122.92477940 (4)145.22114789 (5) 171.56168104 13 預(yù)測(cè)的結(jié)果X*(k)： (1) 202.67991837 (2) 239.44245045 (3) 282.87305194 (4)334.18119203 (5) 394.79571611 (6) 466.40463669 預(yù)測(cè)精度等級(jí)： 合格！ 結(jié)果表明：如果該市不采取更有效的防火措施， 2006年的火災(zāi)事故次數(shù)約為 203 次.,7.6 災(zāi)變與異常值預(yù)測(cè),7.6 災(zāi)變與異常值預(yù)測(cè),灰色災(zāi)變與異常值預(yù)測(cè)指運(yùn)用灰色動(dòng)態(tài)模型，對(duì)系統(tǒng)變化過程中某個(gè)異常數(shù)值在未來什么時(shí)間還會(huì)出現(xiàn)進(jìn)行的預(yù)測(cè). 由于這個(gè)異常值的出現(xiàn)經(jīng)常對(duì)人類產(chǎn)生不利的影響，即造成災(zāi)害，如：某年降雨量低于300mm,便形成旱災(zāi)，使糧食生產(chǎn)歉收；某年發(fā)生蝗災(zāi)，農(nóng)作物就要減產(chǎn)；破壞性地震、特大洪水、臺(tái)風(fēng)與海嘯等自然災(zāi)害的發(fā)生，更是給人們的生活和生產(chǎn)帶來巨大的損失. 因此，對(duì)這一類事件發(fā)生的時(shí)間和程度進(jìn)行預(yù)報(bào)，是很有實(shí)際意義的.,7.6 災(zāi)變與異常值預(yù)測(cè),1. 災(zāi)變預(yù)的數(shù)學(xué)原理與特征 災(zāi)變預(yù)測(cè)與數(shù)據(jù)預(yù)測(cè)的不同點(diǎn)，在于它不是預(yù)測(cè)序列數(shù)據(jù)的量的變化，而是預(yù)測(cè)異常值或“災(zāi)變