維納濾波(Wiener-Filtering).ppt

1、第6章 維納濾波（Wiener Filtering）,隨機信號或隨機過程(random process)是普遍存在的。 一方面，任何確定性信號經(jīng)過測量后往往就會引入隨 機性誤差而使該信號隨機化；另一方面，任何信號本 身都存在隨機干擾，通常把對信號或系統(tǒng)功能起干擾 作用的隨機信號稱之為噪聲。噪聲按功率譜密度劃分 為白噪聲（white noise）和色噪聲（color noise），我 們把均值為0的白噪聲叫純隨機信號（pure random signal）。因此，任何其它隨機信號都可看成是純隨 機信號與確定性信號并存的混合隨機信號或簡稱為隨 機信號。要區(qū)別干擾（interference）和噪聲(

2、 noise)兩 種事實和兩個概念。非目標信號（nonobjective signal 都可叫干擾。,干擾可以是確定信號，如國內(nèi)的50Hz工頻干擾。干擾也可以是噪聲，純隨機信號（白噪聲）加上一個直流成分（確定性信號），就成了最簡單的混合隨機信號。醫(yī)學(xué)數(shù)字信號處理的目的是要提取包含在隨機信號中的確定成分，并探求它與生理、病理過程的關(guān)系，為醫(yī)學(xué)決策提供一定的依據(jù)。例如從自發(fā)腦電中提取誘發(fā)腦電信號，就是把自發(fā)腦電看成是干擾信號，從中提取出需要的信息成分。因此我們需要尋找一種最佳線性濾波器，當信號和干擾以及隨機噪聲同時輸入該濾波器時，在輸出端能將信號盡可能精確地表現(xiàn)出來。維納濾波和卡爾曼濾波就是用來解

3、決這樣一類問題的方法：從噪聲中提取出有用的信號。實際上，這種線性濾波方法也被看成是一種估計問題或者線性預(yù)測問題。,設(shè)有一個線性系統(tǒng)，它的單位脈沖響應(yīng)是，當輸入一個觀測到的隨機信號，簡稱觀測值，且該信號包含噪聲和有用信號，簡稱信號，也即 (1),則輸出為 (2),我們希望輸出得到的與有用信號 盡量接近，因此稱為的估計值，用來表示 ，我們就有了維納濾波器的系統(tǒng)框圖 .這個系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)也稱為對于 的一種估計器。,用當前的和過去的觀測值來估計當前的信號 稱為濾波；用過去的觀測值來估計當前的或?qū)淼男盘?，稱為預(yù)測；用過去的觀測值來估計過去的信號 稱為平滑或者內(nèi)插。,系統(tǒng)框圖中估計到的信號和我們期

4、望得到的有用信號不可能完全相同，這里用來表示真值和估計值之間的誤差 (3) 顯然是隨機變量，維納濾波和卡爾曼濾波的誤差準則就是最小均方誤差準則 (4),維納濾波器的時域解（Time domain solution of the Wiener filter）,設(shè)計維納濾波器的過程就是尋求在最小均方誤差下濾波器的單位脈沖響應(yīng) 或傳遞函數(shù)的表達式，其實質(zhì)就是解維納霍夫（WienerHopf）方程。 我們從時域入手求最小均方誤差下的用表示最佳線性濾波器。這里只討論因果可實現(xiàn)濾波器的設(shè)計。,.因果的維納濾波器,設(shè)是物理可實現(xiàn)的，也即是因果序列： 因此，從式(1)、(2)、(3)、(4)推導(dǎo)： (5) (

5、6),要使得均方誤差最小，則將上式對各 m0，1，求偏導(dǎo)，并且等于零，得：,從維納霍夫方程中解出的h就是最小均方誤 差下的最佳h，。,于是得到N個線性方程：,寫成矩陣形式有：,簡化形式：,式中， 是待求的單位脈沖響應(yīng),只要 是非奇異的，就可以求到H：,求得H后，這時的均方誤差為最?。河涀罴训腍為,若信號與噪聲互不相關(guān)，即，,前面推導(dǎo)的最小均方誤差下式：,可以改寫為：,【例1】如圖，信號與噪聲統(tǒng)計獨立，其中 噪聲是方差為1的單位白噪聲，試設(shè)計一個N2的維納濾波器來估計，并求最小均方誤差。,解：已知信號的自相關(guān)和噪聲的自相關(guān)為：,解得：,求得最小均方誤差：,2維納濾波器的應(yīng)用 要設(shè)計維納濾波器必須

6、知道觀測信號和估計信號 之間的相關(guān)函數(shù)，即先驗知識。如果我們不知道 它們之間的相關(guān)函數(shù)，就必須先對它們的統(tǒng)計特 性做估計，然后才能設(shè)計出維納濾波器，這樣設(shè) 計出的濾波器被稱為“后驗維納濾波器”。,在生物醫(yī)學(xué)信號處理中比較典型的應(yīng)用就是關(guān)于誘發(fā)腦電信號的提取。 大腦誘發(fā)電位（Evoked Potential，EP）指在外界刺激下，從頭皮上記錄到的特異電位，它反映了外周感覺神經(jīng)、感覺通路及中樞神經(jīng)系統(tǒng)中相關(guān)結(jié)構(gòu)在特定刺激情況下的狀態(tài)反應(yīng)。在神經(jīng)學(xué)研究以及臨床診斷、手術(shù)監(jiān)護中有重要意義。 EP信號十分微弱，一般都淹沒在自發(fā)腦電（EEG）之中，從EEG背景中提取誘發(fā)電位一直是個難題：EP的幅度比自發(fā)腦電低一個數(shù)量級，無法從一次觀察中直接得到；EP的頻譜與自發(fā)腦電頻譜完全重迭，使得頻率濾波失效；在統(tǒng)計上EP是非平穩(wěn)的、時變的腦誘發(fā)電位。 通過多次刺激得到的腦電信號進行疊加來提取EP，這是現(xiàn)今最為廣泛使用的EP提取方法。,為了解決誘發(fā)電位提取問題，研究者利用維納濾波來提高信噪比，先后有Walter、Doyle、Weerd等對維納濾波方法進行了改進。在頻域應(yīng)用后驗維納濾波的核心就是由各次觀察信號中分解出信號的譜估計和噪聲的譜估計，通過設(shè)計出的濾波器來提高信噪比。,習(xí)題 有一信號s(