高中數(shù)學 第二章 數(shù)列 2.2.2 等差數(shù)列的前N項和課堂探究學案 新人教B版必修

1、2.2.2 等差數(shù)列的前N項和課堂探究一、關(guān)于等差數(shù)列中奇數(shù)項和、偶數(shù)項和的問題剖析：(1)當?shù)炔顢?shù)列an有偶數(shù)項時，設項數(shù)為2n，設S偶a2a4a6a2n，S奇a1a3a5a2n1，得S偶S奇nd，得S偶S奇S2n，得(2)當?shù)炔顢?shù)列an有奇數(shù)項時，設項數(shù)為2n1，設S奇a1a3a5a2n1，S偶a2a4a6a2n，得S奇S偶a1ndan1，得S偶S奇S2n1(2n1)an+1，得綜上，等差數(shù)列奇數(shù)項和、偶數(shù)項和有如下性質(zhì)：(1)項數(shù)為2n時，S偶S奇nd，S偶S奇S2n，(2)項數(shù)為2n1時，S奇S偶a1ndan+1，S偶S奇S2n+1(2n1)an+1，熟練運用這些性質(zhì)，可以提高解題速度

2、知識鏈接：除了上述性質(zhì)外，與前n項和有關(guān)的性質(zhì)還有：等差數(shù)列的依次連續(xù)每k項之和Sk，S2kSk，S3kS2k，組成公差為k2d的等差數(shù)列若Sn為數(shù)列an的前n項和，則an為等差數(shù)列等價于是等差數(shù)列若an，bn都為等差數(shù)列，Sn，Sn為它們的前n項和，則二、教材中的“？”如果僅利用通項公式，能求出使得Sn最小的序號n的值嗎？剖析：如果僅利用通項公式，也可求出最小序號n的值因為該數(shù)列的通項公式為an4n32，其各項為28，24，4，0，4，可以看出，所有負數(shù)或非正數(shù)的項相加其和最小時，n的值為7或8三、教材中的“思考與討論”1如果已知數(shù)列an的前n項和Sn的公式，那么這個數(shù)列確定了嗎？如果確定了

3、，那么如何求它的通項公式？應注意一些什么問題？剖析：確定了，由公式an來求解，求解時注意要分類討論，然后對n1的情況進行驗證，能寫成統(tǒng)一的形式就將a1合進來，否則保留分段函數(shù)形式2如果一個數(shù)列的前n項和的公式是Snan2bnc(a，b，c為常數(shù))，那么這個數(shù)列一定是等差數(shù)列嗎？剖析：等差數(shù)列前n項和公式變形為Snn2n當d0時，是關(guān)于n的二次函數(shù)，如果一個數(shù)列的前n項和公式是Snan2bnc(a，b，c為常數(shù))，那么這個數(shù)列的通項公式是an只有當c0時，a1abc才滿足an2anab因此，當數(shù)列的前n項和公式為Snan2bn時，所確定的數(shù)列才是等差數(shù)列，這時，等差數(shù)列的公差d2a題型一等差數(shù)列

4、的前n項和公式的直接應用【例1】 在等差數(shù)列an中，(1)已知a1030，a2050，Sn242，求n；(2)已知S824，S1284，求a1和d；(3)已知a620，S510，求a8和S8；(4)已知a163，求S31分析：在等差數(shù)列的前n項和公式中有五個基本量a1，an，d，n，Sn，只要已知任意三個量，就可以求出其他兩個量解：(1)由得Sn242，12n2242解得n11或n22(舍去)n11(2)由得a14，d2(3)由得a8a62d32，S888(4)S3131a163193反思：在等差數(shù)列an中，首項a1與公差d是兩個最基本的元素，有關(guān)等差數(shù)列的問題，均可化成有關(guān)a1，d的方程或方

5、程組求解解題過程中，要注意：(1)選擇適當?shù)墓剑?2)合理利用等差數(shù)列的有關(guān)性質(zhì)題型二Sn與an的關(guān)系問題【例2】 (2013廣東高考，文19改編)設各項均為正數(shù)的數(shù)列an的前n項和為Sn，滿足4Sna2n14n1，nN，且a23(1)證明：a2；(2)求數(shù)列an的通項公式分析：(1)對條件中的等式賦值n1即可；(2)由anSnSn1(n2)這一關(guān)系得出數(shù)列中項之間的關(guān)系即可(1)證明：當n1時，4a15，4a15an0，a2(2)解：當n2時，4Sn14(n1)1，4Sn4n1，由，得4an4Sn4Sn14，4an4(an2)2an0，an+1an2，當n2時，an是公差d2的等差數(shù)列a2

6、，a5，a14構(gòu)成等比數(shù)列，a2a14，(a26)2a2(a224)，解得a23由(1)可知，4a154，a11a2a1312，an是首項a11，公差d2的等差數(shù)列數(shù)列an的通項公式為an2n1反思：利用an求an時，切記驗證n1時的情形是否符合n2時an的表達式題型三等差數(shù)列前n項和性質(zhì)的應用【例3】 項數(shù)為奇數(shù)的等差數(shù)列，奇數(shù)項之和為44，偶數(shù)項之和為33，求這個數(shù)列的中間項及項數(shù)分析：已知等差數(shù)列的奇、偶數(shù)項的和，求特殊項與項數(shù)，可從整體上直接考慮奇、偶數(shù)項的和與特殊項及項數(shù)的關(guān)系解：設等差數(shù)列an共有(2n1)項，則奇數(shù)項有(n1)項，偶數(shù)項有n項，中間項是第(n1)項，即an+1，得

7、n32n17又S奇(n1)an+144，an+111故這個數(shù)列的中間項為11，共有7項反思：在等差數(shù)列an中，(1)若項數(shù)為2n1(nN+)，則，其中S奇(n1)an+1，S偶nan+1；(2)若數(shù)列項數(shù)為2n(nN)，則S偶S奇nd題型四等差數(shù)列前n項和的最值問題【例4】 在等差數(shù)列an中，a125，S17S9，求Sn的最大值分析：本題可用二次函數(shù)求最值或由通項公式求n，使an0，an10或利用等差數(shù)列的性質(zhì)求出大于或等于零的項解：解法一：由S17S9，得2517(171)d259(91)d，解得d2，Sn25n(n1)(2)(n13)2169，由二次函數(shù)的性質(zhì)得當n13時，Sn有最大值16

8、9解法二：先求出d2(解法一)a1250，由得當n13時，Sn有最大值169解法三：先求出d2(同解法一)由S17S9，得a10a11a170，而a10a17a11a16a12a15a13a14，故a13a140d20，a10，a130，a140故n13時，Sn有最大值169解法四：先求出d2(同解法一)得Sn的圖象如圖所示，由S17S9知圖象的對稱軸n13，當n13時，Sn取得最大值169反思：本例四種解法從四個側(cè)面求解前n項和最值問題，方法迥異，殊途同歸解等差數(shù)列的前n項和最大(最小)問題的常用方法有：(1)二次函數(shù)法：由于Snn2n是關(guān)于n的二次式，因此可用二次函數(shù)的最值來確定Sn的最值

9、，但要注意這里的nN+(2)圖象法：可利用二次函數(shù)圖象的對稱性來確定n的值，使Sn達到最大(或最小)(3)通項法：由于SnSn1an，所以當an0時，SnSn1；當an0時，SnSn1，因此當a10且d0時，使an0的最大的n的值，使Sn最大；當a10，d0時，滿足an0的最大的n的值，使Sn最小題型五易錯辨析【例5】 若數(shù)列an的前n項和為Sn3n22n1，求數(shù)列an的通項公式，并判斷它是否為等差數(shù)列錯解：anSnSn1(3n22n1)3(n1)22(n1)16n5，an1an6(n1)5(6n5)6(常數(shù))數(shù)列an是等差數(shù)列錯因分析：錯解忽略了anSnSn1成立的條件“n2”正解：當n2時，anSnSn1(3n22n1)3(n1)22(n1)16n5當n1時，a1S12