高中數(shù)學(xué)第三章直線與方程3.2.1直線的點(diǎn)斜式方程學(xué)案含解析新人教A版必修2

1、32.1直線的點(diǎn)斜式方程點(diǎn)斜式、斜截式提出問(wèn)題如圖，過(guò)點(diǎn)A(1,1)作直線l.問(wèn)題1：試想直線l確定嗎？提示：不確定因?yàn)檫^(guò)一點(diǎn)可畫(huà)無(wú)數(shù)條直線問(wèn)題2：若直線l的傾斜角為45，直線確定嗎？提示：確定問(wèn)題3：若直線l的斜率為2，直線確定嗎？提示：確定導(dǎo)入新知1直線的點(diǎn)斜式方程(1)定義：如圖所示，直線l過(guò)定點(diǎn)P(x0，y0)，斜率為k，則把方程yy0k(xx0)叫做直線l的點(diǎn)斜式方程，簡(jiǎn)稱點(diǎn)斜式(2)說(shuō)明：如圖所示，過(guò)定點(diǎn)P(x0，y0)，傾斜角是90的直線沒(méi)有點(diǎn)斜式，其方程為xx00，或xx0.2直線的斜截式方程(1)定義：如圖所示，直線l的斜率為k，且與y軸的交點(diǎn)為(0，b)，則方程ykxb叫做

2、直線l的斜截式方程，簡(jiǎn)稱斜截式(2)說(shuō)明：一條直線與y軸的交點(diǎn)(0，b)的縱坐標(biāo)b叫做直線在y軸上的截距傾斜角是直角的直線沒(méi)有斜截式方程化解疑難1關(guān)于點(diǎn)斜式的幾點(diǎn)說(shuō)明：(1)直線的點(diǎn)斜式方程的前提條件是：已知一點(diǎn)P(x0，y0)和斜率k；斜率必須存在只有這兩個(gè)條件都具備，才可以寫(xiě)出點(diǎn)斜式方程(2)方程yy0k(xx0)與方程k不是等價(jià)的，前者是整條直線，后者表示去掉點(diǎn)P(x0，y0)的一條直線(3)當(dāng)k取任意實(shí)數(shù)時(shí)，方程yy0k(xx0)表示恒過(guò)定點(diǎn)(x0，y0)的無(wú)數(shù)條直線2斜截式與一次函數(shù)的解析式相同，都是ykxb的形式，但有區(qū)別，當(dāng)k0時(shí)，ykxb即為一次函數(shù)；當(dāng)k0時(shí)，yb不是一次函數(shù)

3、，一次函數(shù)ykxb(k0)必是一條直線的斜截式方程截距不是距離，可正、可負(fù)也可為零.直線的點(diǎn)斜式方程例1(1)經(jīng)過(guò)點(diǎn)(5,2)且平行于y軸的直線方程為_(kāi)(2)直線yx1繞著其上一點(diǎn)P(3,4)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90后得直線l，則直線l的點(diǎn)斜式方程為_(kāi)(3)求過(guò)點(diǎn)P(1,2)且與直線y2x1平行的直線方程為_(kāi)答案(1)x5(2)y4(x3)(3)2xy0類(lèi)題通法已知直線上一點(diǎn)的坐標(biāo)以及直線斜率或已知直線上兩點(diǎn)的坐標(biāo)，均可用直線方程的點(diǎn)斜式表示，直線方程的點(diǎn)斜式，應(yīng)在直線斜率存在的條件下使用當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，直線方程為xx0.活學(xué)活用若直線l過(guò)點(diǎn)(2,1)，分別求l滿足下列條件時(shí)的直線方程：(1)傾斜

4、角為135；(2)平行于x軸；(3)平行于y軸；(4)過(guò)原點(diǎn)解：(1)直線的斜率為ktan 1351，所以由點(diǎn)斜式方程得y11(x2)，即方程為xy30.(2)平行于x軸的直線的斜率k0，故所求的直線方程為y1.(3)過(guò)點(diǎn)(2,1)且平行于y軸的直線方程為x2.(4)過(guò)點(diǎn)(2,1)與點(diǎn)(0,0)的直線的斜率k，故所求的直線方程為yx.直線的斜截式方程例2(1)傾斜角為150，在y軸上的截距是3的直線的斜截式方程為_(kāi)(2)已知直線l1的方程為y2x3，l2的方程為y4x2，直線l與l1平行且與l2在y軸上的截距相同，求直線l的方程解(1)yx3(2)由斜截式方程知直線l1的斜率k12，又ll1，

5、l的斜率kk12.由題意知l2在y軸上的截距為2，l在y軸上的截距b2，由斜截式可得直線l的方程為y2x2.類(lèi)題通法1斜截式方程的應(yīng)用前提是直線的斜率存在當(dāng)b0時(shí)，ykx表示過(guò)原點(diǎn)的直線；當(dāng)k0時(shí)，yb表示與x軸平行(或重合)的直線2截距不同于日常生活中的距離，截距是一個(gè)點(diǎn)的橫(縱)坐標(biāo)，是一個(gè)實(shí)數(shù)，可以是正數(shù)，也可以是負(fù)數(shù)或零，而距離是一個(gè)非負(fù)數(shù)活學(xué)活用寫(xiě)出下列直線的斜截式方程：(1)直線斜率是3，在y軸上的截距是3；(2)直線傾斜角是60，在y軸上的截距是5；(3)直線在x軸上的截距為4，在y軸上的截距為2.解：(1)y3x3.(2)ktan 60，yx5.(3)直線在x軸上的截距為4，在

6、y軸上的截距為2，直線過(guò)點(diǎn)(4,0)和(0，2)，k，yx2.兩直線平行與垂直的應(yīng)用例3當(dāng)a為何值時(shí)，(1)兩直線yax2與y(a2)x1互相垂直？(2)兩直線yx4a與y(a22)x4互相平行？解(1)設(shè)兩直線的斜率分別為k1，k2，則k1a，k2a2.兩直線互相垂直，k1k2a(a2)1，解得a1.故當(dāng)a1時(shí)，兩條直線互相垂直(2)設(shè)兩直線的斜率分別為k3，k4，則k31，k4a22.兩條直線互相平行，解得a1.故當(dāng)a1時(shí)，兩條直線互相平行類(lèi)題通法判斷兩條直線位置關(guān)系的方法直線l1：yk1xb1，直線l2：yk2xb2.(1)若k1k2，則兩直線相交(2)若k1k2，則兩直線平行或重合，當(dāng)

7、b1b2時(shí)，兩直線平行；當(dāng)b1b2時(shí)，兩直線重合(3)特別地，當(dāng)k1k21時(shí)，兩直線垂直(4)對(duì)于斜率不存在的情況，應(yīng)單獨(dú)考慮活學(xué)活用1若直線l1：y(2a1)x3與直線l2：y4x3垂直，則a_.答案：2若直線ax2y3a0與直線3x(a1)y7a平行，則實(shí)數(shù)a的值為_(kāi)答案：3典例已知直線l1：xmy60，l2：(m2)x3y2m0，當(dāng)l1l2時(shí)，求m的值解由題設(shè)l2的方程可化為yxm，則其斜率k2，在y軸上的截距b2m.l1l2，l1的斜率一定存在，即m0.l1的方程為yx.由l1l2，得解得m1.m的值為1.易錯(cuò)防范1兩條直線平行時(shí)，斜率存在且相等，截距不相等當(dāng)兩條直線的斜率相等時(shí)，也可

8、能平行，也可能重合2解決此類(lèi)問(wèn)題要明確兩直線平行的條件，尤其是在求參數(shù)時(shí)要考慮兩直線是否重合成功破障當(dāng)a為何值時(shí)，直線l1：y2ax2a與直線l2：y(a23)x2平行？解：l1l2，a232a且2a2，解得a3.隨堂即時(shí)演練1直線的點(diǎn)斜式方程yy1k(xx1)()A可以表示任何一條直線B不能表示過(guò)原點(diǎn)的直線C不能表示與坐標(biāo)軸垂直的直線D不能表示與x軸垂直的直線答案：D2直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(2，3)，且傾斜角45，則直線的點(diǎn)斜式方程是()Ay3x2By3x2Cy2x3 Dy2x3答案：A3直線y3x2在y軸上的截距為_(kāi)答案：24在y軸上的截距為2，且與直線y3x4平行的直線的斜截式方程為_(kāi)答案：y

9、3x25(1)求經(jīng)過(guò)點(diǎn)(1,1)，且與直線y2x7平行的直線的方程；(2)求經(jīng)過(guò)點(diǎn)(2，2)，且與直線y3x5垂直的直線的方程解：(1)2xy10(2)x3y80課時(shí)達(dá)標(biāo)檢測(cè)一、選擇題1已知直線的方程是y2x1，則()A直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)(1,2)，斜率為1B直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)(2，1)，斜率為1C直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)(1，2)，斜率為1D直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)(2，1)，斜率為1答案：C2直線yaxb和ybxa在同一直角坐標(biāo)系中的圖形可能是()答案：D3與直線y2x1垂直，且在y軸上的截距為4的直線的斜截式方程是()Ayx4By2x4Cy2x4 Dyx4答案：D4過(guò)點(diǎn)(1,3)且垂直于直線x2y30的直線方程為()A2xy10B2xy50Cx2y50Dx2y70答案：A5直線y2x3與y22(x3)的位置關(guān)系是()A平行 B垂直C重合 D無(wú)法判斷答案：A二、填空題6過(guò)點(diǎn)(3,2)且與直線y1(x5)平行的直線的點(diǎn)斜式方程是_答案：y2(x3)7直線yax3a2(aR)必過(guò)定點(diǎn)_答案：(3,2)8已知斜率為2的直線的方程為5ax5ya30，此直線在y軸上的截距為_(kāi)答案：三、解答題9已知三角形的頂點(diǎn)坐標(biāo)是A(5,0)，B(3，3)，C(0,2)，試求這個(gè)三角形的三條邊所在直線的方程解：直線AB的斜率kAB，過(guò)點(diǎn)A(5,0)，由點(diǎn)斜式得直線AB的方程為y(x5)，即3x8y150；同理，kBC，kAC，直