用射影面積法求二面角在高考中的妙用

1、用射影面積法求二面角在高考中的妙用廣西南寧外國(guó)語(yǔ)學(xué)校 隆光誠(chéng)（郵政編碼530007） 立體幾何中的二面角是一個(gè)非常重要的數(shù)學(xué)概念，求二面角的大小更是歷年高考的熱點(diǎn)問(wèn)題，在每年全國(guó)各省市的高考試題的大題中幾乎都出現(xiàn). 求二面角的方法很多，但是，對(duì)無(wú)棱二面角，或者不容易作出二面角的平面角時(shí)，如何求這個(gè)二面角的大小呢？用射影面積法是解決這類(lèi)問(wèn)題的捷徑，本文以近年高考題為例說(shuō)明這個(gè)方法在解題中的妙用，以饗讀者！定理 已知平面內(nèi)一個(gè)多邊形的面積為s，它在平面內(nèi)的射影圖形的面積為，平面和平面所成的二面角的大小為，則.ab d c本文僅對(duì)多邊形為三角形為例證明，其它情形請(qǐng)讀者自證.證明：如圖，平面內(nèi)的abc

2、在平面的射影為，作于d，連結(jié)ad.于，在內(nèi)的射影為.又，（三垂線(xiàn)定理的逆定理）.為二面角bc的平面角.設(shè)abc和的面積分別為s和，則.a bd1 c1d ca1 b1e典題妙解下面以近年高考題為例說(shuō)明上述結(jié)論在解題中的妙用.例1 如圖, 已知正方體abcda1b1c1d1中，e是a a1棱的中點(diǎn)，則面be c1與面ac所成的二面角的大小為( )a. b. c. d. 解：連結(jié)ac，則在面ac內(nèi)的射影是abc，設(shè)它們的面積分別為s和，所成的二面角為 .a bd1 c1d ca1 b1e設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為2，則ab = bc = 2，a bd cs bm bd.故答案選d.例2（04北京）如圖, 已

3、知四棱錐sabcd的底面是邊長(zhǎng)為1的正方形, sd面ac, sb = . (1) 求證:bcsc;(2) 求面asd與面bsc所成的二面角的大小;(3) 設(shè)棱sa的中點(diǎn)為m, 求異面直線(xiàn)dm與sb所成的角的大小.（1）證明： sd面ac， sc在面ac內(nèi)的射影是sd. 又四邊形abcd是正方形，面ac， bcsc（三垂線(xiàn)定理）.（2）解： sd面ac，面ac，.又四邊形abcd是正方形，. 而，cd面asd. 又abcd，ba面asd.a bd cs bm bde sbc在面sad的射影是sad，設(shè)它們的面積分別為s和，所成的二面角為 . 故.所以面asd與面bsc所成的二面角的大小為.（3）

4、解：取ab的中點(diǎn)e，連結(jié)de、me.，mesb.異面直線(xiàn)dm與sb所成的角就是，設(shè).a bd cs bm bd，. 故.所以異面直線(xiàn)dm與sb所成的角的大小為.解法二：面sad，sb在面sad 內(nèi)的射影是sa.d amc bef又.而面sad，（三垂線(xiàn)定理）.所以異面直線(xiàn)dm與sb所成的角的大小為.例3 （04浙江）如圖，已知正方形abcd和矩形acef所在的平面互相垂直，ab = ，af = 1，m是線(xiàn)段ef的中點(diǎn). (1) 求證：am平面bde；(2) 求證：面ae平面bdf；d amc befo(3) 求二面角adfb的大小.證明：（1）設(shè)，則，連結(jié)oe.四邊形acef是矩形，emao.

5、四邊形aoem是平行四邊形，從而ameo.又平面bde， am平面bde.（2）四邊形abcd是正方形，.又正方形abcd和矩形acef所在的平面互相垂直，面bd面ae= ac ，從而.而，.平面bdf，面ae平面bdf.（3）解：，.bdf在面adf上的射影是adf，設(shè)它們的面積分別為s和，所成的二面角為. ab = ，af = 1，.d amc befo連結(jié)fo，則.故.所以二面角adfb的大小為.例4 （08天津）如圖，在四棱錐pabcd中，底面abcd是矩pa db c形，已知ab = 3，ad = 2，pa = 2，.（1）證明：ad平面pab；（2）求異面直線(xiàn)pc與ad所成的角的大

6、??；（3）求二面角pbda的大小.（1）證明： . ，即. 又四邊形abcd是正方形，.而，ab、pa面pab，ad平面pab.（2）adbc，異面直線(xiàn)pc與ad所成的角就是pc與bc所成的角，即.在pab中，ab = 3，pa = 2，pa db ce.由（1）得，ad平面pab.，即. 又bc = ad = 2，. .所以異面直線(xiàn)pc與ad所成的角的大小為.（3）作于e，連結(jié)de.由（1）知，而，面abcd.pbd在面abcd內(nèi)的射影是ebd，設(shè)它們的面積分別為s和，所成的二面角為 .，.所以二面角pbda的大小為.點(diǎn)評(píng)：例1和例2 中的二面角就是無(wú)棱二面角，例3和例4中的二面角雖然是有棱

7、二面角，但是不容易作出二面角的平面角，用定義法解決這兩類(lèi)問(wèn)題就顯得非常繁雜，并且不知如何下手，而另辟溪徑，用射影面積法則是化繁為簡(jiǎn)，曲徑通幽！vd ca b金指點(diǎn)睛1.（05全國(guó)）如圖，在四棱錐vabcd中，底面abcd是正方形，側(cè)面vad是正三角形，平面vad底面abcd.（1）證明：ab平面vad；（2）求面vad與面vdb所成二面角的大小.c bade2.（06全國(guó)）如圖，在直三棱柱abc中，ab = bc ，d、e分別為、的中點(diǎn).（1）證明：ed為異面直線(xiàn)和的公垂線(xiàn)；（2）設(shè)，求二面角的大小.eb ca dp3.（07陜西）如圖，在底面為直角梯形的四棱錐pabcd中，adbc，pa平面

8、abcd，pa = 4，ad = 2，bc = 6.（1）求證：bd平面pac；（2）求二面角apcd的大小.sa bd ce4. （09湖北）如圖，四棱柱sabcd的底面是正方形，sd平面abcd，sd = ad = a ，點(diǎn)e是sd上的點(diǎn)，且（0）.（1）求證：對(duì)任意，都有acbe；（2）若二面角caed的大小為，求的值.金指點(diǎn)睛的參考答案1.（05全國(guó)）如圖，在四棱錐vabcd中，底面abcd是正方形，側(cè)面vad是正三角形，平面vad底面abcd.vd ca b（1）證明：ab平面vad；（2）求面vad與面vdb所成二面角的大小.（1）證明：取ad的中點(diǎn)e，連結(jié)ve. . 又平面vad

9、底面abcd，ve平面vad， ve底面abcd. va在底面abcd的射影是ad.abad，ab底面abcd， abva（三垂線(xiàn)定理）. 而va、ad平面vad，故ab平面vad.（2）由（1）可知，ab平面vad， vbd在平面vad的射影是vad，設(shè)它們的面積分別為s和，所成的二面角為. 設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為1，則.c bade .，.所以面vad與面vdb所成二面角的大小為.2.（06全國(guó)）如圖，在直三棱柱abc中，ab = bc ，d、e分別為、的中點(diǎn).（1）證明：ed為異面直線(xiàn)和的公垂線(xiàn)；（2）設(shè)，求二面角的大小.（1）證明：取ac的中點(diǎn)f，連結(jié)ef、bf. .在直三棱柱abc中，面a

10、bc，c badefdb，ef= db，面abc.四邊形bdef是矩形. 從而.在rtabd和rt中，. rtabdrt. 而 所以ed為異面直線(xiàn)和的公垂線(xiàn).（2）解：連結(jié). ，即面c bade在面內(nèi)的射影是.在面內(nèi)的射影是.設(shè)它們的面積分別為s和，所成的二面角為.設(shè)ab = bc = 1，則. 所以二面角的大小為.3.（07陜西）如圖，在底面為直角梯形的四棱錐pabcd中，adbc，pa平面abcd，pa = 4，ad = 2，bc = 6.（1）求證：bd平面pac；eb ca dp（2）求二面角apcd的大小.（1）證明：在rtabd和rtabc中， ad = 2，bc = 6. . 而

11、，即. 又 pa平面abcd，平面abcd，.，pa、ac平面pac，故bd平面pac.（2）解：連結(jié)pe. 由（1）知，bd平面pac.pdc在平面pac內(nèi)的射影是pec，設(shè)它們的面積分別為s和，所成的二面角為.pa平面abcd，（三垂線(xiàn)定理）.，從而. eb ca dp.所以二面角apcd的大小sa bd ceo4. （09湖北）如圖，四棱柱sabcd的底面是正方形，sd平面abcd，sd = ad = a ，點(diǎn)e是sd上的點(diǎn)，且（0）.（1）求證：對(duì)任意，都有acbe；（2）若二面角caed的大小為，求的值.（1）證明：連結(jié)bd. 四邊形abcd是正方形，. 又 sd平面abcd，sd = a ，點(diǎn)e是sd上的點(diǎn)，且（0）， 點(diǎn)e在線(xiàn)段sd上，且不與點(diǎn)d重合，因而be