高中數(shù)學(xué)人教A選修12課件本章整合2

1、本章整合,答案:合情部分一般特殊特殊三段論 一般特殊直接綜合 分析 反證,專題一,專題二,專題三,專題四,專題一合情推理及其應(yīng)用 歸納推理和類比推理都是根據(jù)已有的事實(shí),經(jīng)過觀察、分析、比較、聯(lián)想,再進(jìn)行歸納,然后提出猜想的推理,我們把它們統(tǒng)稱為合情推理.數(shù)學(xué)研究中,得到一個(gè)新結(jié)論之前,合情推理常常能夠幫助我們猜測(cè)和發(fā)現(xiàn)結(jié)論;證明一個(gè)數(shù)學(xué)結(jié)論之前,合情推理常常能為我們提供證明的思路和方向.歸納推理的思維過程大致如下: 實(shí)驗(yàn),觀察概括,推廣猜測(cè)一般性結(jié)論 類比推理的思維過程大致如下: 觀察,比較聯(lián)想,類推猜測(cè)新的結(jié)論,專題一,專題二,專題三,專題四,例1根據(jù)三角恒等變換,可得如下等式: cos =

2、cos ; cos 2=2cos2-1; cos 3=4cos3-3cos ; cos 4=8cos4-8cos2+1; cos 5=16cos5-20cos3+5cos . 依此規(guī)律,猜想cos 6=32cos6+acos4+bcos2-1, 則有a+b=. 分析:觀察給出的各個(gè)等式的系數(shù)的特點(diǎn),利用歸納推理求解. 解析:由所給的三角恒等變換等式可知,所有各式中,各系數(shù)與常數(shù)項(xiàng)的和是1,因此32+a+b-1=1,于是a+b=-30. 答案:-30,專題一,專題二,專題三,專題四,變式訓(xùn)練1已知函數(shù)f(x)=sin x+ex+x2 016,令f1(x)=f(x),f2(x)=f1(x),f3(

3、x)=f2(x),fn+1(x)=fn(x),則f2 017(x)=() A.sin x+exB.cos x+exC.-sin x+exD.-cos x+ex 解析:由已知得f1(x)=cos x+ex+2 016x2 015, f2(x)=-sin x+ex+2 0162 015x2 014, f3(x)=-cos x+ex+2 0162 0152 014x2 013, f4(x)=sin x+ex+2 0162 0152 0142 013x2 012, f5(x)=cos x+ex+2 0162 0152 0142 0132 012x2 011, 由此可以發(fā)現(xiàn),fn(x)的前兩項(xiàng)的和成周期

4、性變化,周期為4, 故f2 017(x)的前兩項(xiàng)的和應(yīng)為cos x+ex; 又f2 016(x)的第三項(xiàng)應(yīng)為2 0162 0152 01421, 所以f2 017(x)的第三項(xiàng)等于0,于是f2 017(x)=cos x+ex. 答案:B,專題一,專題二,專題三,專題四,專題一,專題二,專題三,專題四,分析:類比已知圖形,考查線段AB與曲線AB的位置關(guān)系,可得結(jié)論. 解析:點(diǎn)A,B是函數(shù)y=sin x(x(0,)的圖象上任意不同兩點(diǎn),依據(jù)圖象可知,線段AB總是位于A,B兩點(diǎn)之間函數(shù)圖象的下方,所以 . 答案:A,專題一,專題二,專題三,專題四,變式訓(xùn)練2在平面上,我們?nèi)绻靡粭l直線去截正方形的一

5、個(gè)角,那么截下的一個(gè)直角三角形,按圖中所標(biāo)邊長,由勾股定理有c2=a2+b2.把正方形換成正方體,把截線換成如圖的截面,這時(shí)從正方體上截下一個(gè)三條側(cè)棱兩兩垂直的三棱錐O-LMN,如果用S1,S2,S3表示三個(gè)側(cè)面的面積,S4表示截面面積,那么類似的結(jié)論是.,專題一,專題二,專題三,專題四,專題二演繹推理及其應(yīng)用 演繹推理是由一般到特殊的推理,又叫邏輯推理. 其中三段論推理是演繹推理的主要形式.演繹推理具有如下特點(diǎn): (1)演繹的前提是一般性原理,演繹所得的結(jié)論完全蘊(yùn)涵于前提之中. (2)演繹推理中,前提與結(jié)論之間存在必然的聯(lián)系,演繹推理是數(shù)學(xué)中嚴(yán)格證明的工具. (3)演繹推理是一種收斂性的思維

6、方法,它創(chuàng)造性較少,但卻具有條理清晰、令人佩服的論證作用,有助于科學(xué)的理論化和系統(tǒng)化.,專題一,專題二,專題三,專題四,例3已知函數(shù)f(x)=ax3+bx+c在點(diǎn)x=2處取得極小值c-16. (1)求a,b的值; (2)若f(x)有極大值28,求f(x)在-3,3上的最小值. 分析:對(duì)于(1),可利用函數(shù)取得極值的條件建立方程組求解;對(duì)于(2),可按照求函數(shù)最值的步驟求解.,專題一,專題二,專題三,專題四,(2)由(1)知f(x)=x3-12x+c,f(x)=3x2-12. 令f(x)=0,得x=-2或x=2. 當(dāng)x(-,-2)時(shí),f(x)0, 故f(x)在(-,-2)內(nèi)為增函數(shù); 當(dāng)x(-2

7、,2)時(shí),f(x)0, 故f(x)在(2,+)內(nèi)為增函數(shù). 綜上可知,f(x)在x=-2處取得極大值f(-2)=16+c, 在x=2處取得極小值f(2)=-16+c. 由題設(shè)條件知16+c=28,c=12. 此時(shí),f(-3)=9+c=21,f(3)=-9+c=3,f(2)=-16+c=-4. 因此,f(x)在-3,3上的最小值為f(2)=-4.,專題一,專題二,專題三,專題四,變式訓(xùn)練3有一段“三段論”推理是這樣的:對(duì)于可導(dǎo)函數(shù)f(x),如果f(x0)=0,那么x=x0是函數(shù)f(x)的極值點(diǎn),因?yàn)楹瘮?shù)f(x)=(x+1)3在x=-1處的導(dǎo)數(shù)值f(-1)=0,所以x=-1是函數(shù)f(x)=(x+1

8、)3的極值點(diǎn).以上推理中() A.大前提錯(cuò)誤B.小前提錯(cuò)誤 C.推理形式錯(cuò)誤D.結(jié)論是正確的 解析:對(duì)于可導(dǎo)函數(shù)f(x),如果f(x0)=0,但x=x0不一定是函數(shù)f(x)的極值點(diǎn),故選A. 答案:A,專題一,專題二,專題三,專題四,專題三綜合法與分析法及其應(yīng)用 綜合法和分析法是直接證明中的兩種最基本的證明方法,但這兩種證明方法的思路截然相反.分析法既可用于尋找解題思路,也可以是完整的證明過程,分析法和綜合法可相互轉(zhuǎn)換,相互滲透,在解題中綜合法和分析法的聯(lián)合運(yùn)用,能轉(zhuǎn)換解題思路,增加解題途徑.,專題一,專題二,專題三,專題四,例4已知a,b,c,dR,試分別用分析法和綜合法求證: . 分析:分

9、析法證明不等式的依據(jù)是不等式的基本性質(zhì)、已知的重要不等式和邏輯推理的基本理論;常用分析法找證題思路,用綜合法寫證明過程.,專題一,專題二,專題三,專題四,證法一(分析法)當(dāng)ac+bd0時(shí),顯然成立. 當(dāng)ac+bd0時(shí),欲證原不等式成立, 只需證(ac+bd)2(a2+b2)(c2+d2). 即證a2c2+2abcd+b2d2a2c2+a2d2+b2c2+b2d2. 即證2abcdb2c2+a2d2. 即證0(bc-ad)2. a,b,c,dR,上式恒成立, 故原不等式成立.綜合知,命題得證. 證法二(綜合法)(a2+b2)(c2+d2)=a2c2+a2d2+b2c2+b2d2 =(a2c2+2

10、abcd+b2d2)+(b2c2-2bcad+a2d2) =(ac+bd)2+(bc-ad)2(ac+bd)2,專題一,專題二,專題三,專題四,變式訓(xùn)練4已知sin +cos =1,求證:sin6+cos6=1. 證明:要證sin6+cos6=1, 只需證(sin2+cos2)(sin4-sin2cos2+cos4)=1. 即證sin4-sin2cos2+cos4=1, 只需證(sin2+cos2)2-3sin2cos2=1,即證1-3sin2cos2=1, 即證sin2cos2=0, 只需證sin cos =0, 由已知sin +cos =1, 所以sin2+cos2+2sin cos =1

11、, 所以sin cos =0成立, 故sin6+cos6=1.,專題一,專題二,專題三,專題四,專題四反證法及其應(yīng)用 反證法是一種間接證明的方法,它體現(xiàn)了“正難則反”的證明思想. 運(yùn)用反證法證明問題時(shí),應(yīng)注意以下幾點(diǎn): (1)必須首先否定結(jié)論,即肯定結(jié)論的反面,當(dāng)結(jié)論的反面呈現(xiàn)多樣性時(shí),必須羅列出所有可能的情況. (2)反證法證明過程中,必須把結(jié)論的否定作為條件進(jìn)行推理,否則,僅否定結(jié)論,但不從結(jié)論的反面出發(fā)進(jìn)行推理,即使證得了結(jié)論,也不符合反證法的要求. (3)反證法中,導(dǎo)出的矛盾可以是多種多樣的,有的是與已知條件矛盾,有的是與假設(shè)矛盾,有的是與已知的事實(shí)矛盾,但推導(dǎo)出的矛盾必須是明顯的.,

12、專題一,專題二,專題三,專題四,分析:對(duì)于(1),可通過計(jì)算數(shù)列的前幾項(xiàng),觀察其特點(diǎn),利用歸納推理得出通項(xiàng)公式;(2)是否定性命題,可運(yùn)用反證法證明.,專題一,專題二,專題三,專題四,專題一,專題二,專題三,專題四,變式訓(xùn)練5有十只猴子一共分了56個(gè)香蕉,每只猴子至少分到1個(gè)香蕉,最多分到10個(gè)香蕉,試證明:至少有兩只猴子分到同樣多的香蕉. 證明:假設(shè)十只猴子分到的香蕉數(shù)各不相同, 由于每只猴子至少分到1個(gè)香蕉,最多分到10個(gè)香蕉, 所以十只猴子分別分到了1,2,3,10個(gè)香蕉, 此時(shí)十只猴子一共分了1+2+3+10=55個(gè)香蕉,這與十只猴子一共分了56個(gè)香蕉相矛盾, 故假設(shè)錯(cuò)誤,即至少有兩只

13、猴子分到同樣多的香蕉.,考點(diǎn)一,考點(diǎn)二,考點(diǎn)三,考點(diǎn)四,考點(diǎn)一:歸納推理及其應(yīng)用 1.(2012江西高考)觀察下列各式:a+b=1,a2+b2=3,a3+b3=4,a4+b4=7,a5+b5=11,則a10+b10=() A.28B.76C.123D.199 解析:利用歸納法:a+b=1,a2+b2=3,a3+b3=4=3+1,a4+b4=4+3=7, a5+b5=7+4=11,a6+b6=11+7=18,a7+b7=18+11=29, a8+b8=29+18=47,a9+b9=47+29=76,a10+b10=76+47=123. 規(guī)律為從第三組開始,其結(jié)果為前兩組結(jié)果的和. 答案:C,考點(diǎn)

14、一,考點(diǎn)二,考點(diǎn)三,考點(diǎn)四,2.(2016山東高考)觀察下列等式:,考點(diǎn)一,考點(diǎn)二,考點(diǎn)三,考點(diǎn)四,解析:由等式可知,等式右邊共3個(gè)數(shù)相乘,第1個(gè)數(shù)都是 ; 而所給等式就是第n個(gè)式子,顯然第2個(gè)數(shù)與該等式所在行數(shù)相同,故第2個(gè)數(shù)為n; 第3個(gè)數(shù)比第2個(gè)數(shù)大1,所以第3個(gè)數(shù)為n+1. 所以第n個(gè)式子等號(hào)右邊為 n(n+1). 答案: n(n+1),考點(diǎn)一,考點(diǎn)二,考點(diǎn)三,考點(diǎn)四,3.(2015陜西高考)觀察下列等式,考點(diǎn)一,考點(diǎn)二,考點(diǎn)三,考點(diǎn)四,考點(diǎn)二:演繹推理及其應(yīng)用 4.(2013浙江高考)設(shè)a,bR,定義運(yùn)算“”和“”如下:,若正數(shù)a,b,c,d滿足ab4,c+d4,則() A.ab2,

15、cd2B.ab2,cd2 C.ab2,cd2D.ab2,cd2 解析:由題意知,運(yùn)算“”為兩數(shù)中取小,運(yùn)算“”為兩數(shù)中取大,由ab4知,正數(shù)a,b中至少有一個(gè)大于等于2.由c+d4知,c,d中至少有一個(gè)小于等于2,故選C. 答案:C,考點(diǎn)一,考點(diǎn)二,考點(diǎn)三,考點(diǎn)四,5.(2014課標(biāo)全國高考)甲、乙、丙三位同學(xué)被問到是否去過A,B,C三個(gè)城市時(shí), 甲說:我去過的城市比乙多,但沒去過B城市; 乙說:我沒去過C城市; 丙說:我們?nèi)巳ミ^同一城市. 由此可判斷乙去過的城市為. 解析:由丙的說法“三人去過同一城市”知乙至少去過一個(gè)城市,而甲說去過的城市比乙多,且沒去過B城市,因此甲一定去過A城市和C城

16、市.又乙沒去過C城市,所以三人共同去過的城市必為A,故乙去過的城市就是A. 答案:A,考點(diǎn)一,考點(diǎn)二,考點(diǎn)三,考點(diǎn)四,考點(diǎn)三:綜合法與分析法的應(yīng)用 6.(2014四川高考)若ab0,cd0,則一定有(),解析:ab0,c-d0,-ac-bd,即acbd.,答案:B,考點(diǎn)一,考點(diǎn)二,考點(diǎn)三,考點(diǎn)四,7.(2013福建高考)若2x+2y=1,則x+y的取值范圍是() A.0,2B.-2,0 C.-2,+)D.(-,-2,答案:D,考點(diǎn)一,考點(diǎn)二,考點(diǎn)三,考點(diǎn)四,8.(2014北京高考)學(xué)生的語文、數(shù)學(xué)成績均被評(píng)定為三個(gè)等級(jí),依次為“優(yōu)秀”“合格”“不合格”.若學(xué)生甲的語文、數(shù)學(xué)成績都不低于學(xué)生乙,且其中至少有一門成績高于乙,則稱“學(xué)生甲比學(xué)生乙成績好”.如果一組學(xué)生中沒有哪位學(xué)生比另一位學(xué)生成績好,并且不存在語文成績相同、數(shù)學(xué)成績也相同的兩位學(xué)生,那么這組學(xué)生最多有() A.2人B.3人C.4人D.5人 解析:用A,B,C分別表示優(yōu)秀、及格和不及格.顯然,語文成績得A的學(xué)生最多只有一人,語文成績得