七數(shù)培優(yōu)競(jìng)賽講座第15講 傾斜的天平――由相等到不等

1、第十五講 傾斜的天平由相等到不等 現(xiàn)實(shí)世界既包含大量的相等關(guān)系，又存在許多不等關(guān)系，許多現(xiàn)實(shí)問題是很難確定(有時(shí)也不需確定)具體的數(shù)值，但可以求出或確定這一問題中某個(gè)量的變化范圍或趨勢(shì)，從而對(duì)所研究問題的全貌有一個(gè)比較清晰的認(rèn)識(shí) 不等式(組)是探求不等關(guān)系的基本工具，不等式(組)與方程(組)在相關(guān)概念、解法上有著相似點(diǎn)，又有不同之處，主要體現(xiàn)在： 等式、不等式兩者都乘以(或除以)同一個(gè)數(shù)時(shí)，等式僅需考慮這個(gè)數(shù)是否為零，而不等式不但要考慮這個(gè)數(shù)是否為零，而且還需注意這個(gè)數(shù)的正負(fù)性；解方程組時(shí)，我們可以“統(tǒng)一思想”，即可以對(duì)幾個(gè)方程進(jìn)行“代人”或“加減”式的加工，解不等式組時(shí)，我們只能“分而治之”

2、，即只能分別求出每個(gè)不等式的解集，然后再求公共部分，才能得出不等式組的解集例題【例1】 已知關(guān)于x的不等式組無(wú)解，則x的取值范圍是 ； (2)已知不等式3xao的正整數(shù)解恰是l，2，3，則a的取值范圍是 (重慶市中考題) 思路點(diǎn)撥 (1)從數(shù)軸上看，原不等式組中兩個(gè)不等式的解集無(wú)公共部分；(2)由題意知不等式的解在x0的解集是一3x一2，那么a等于( ) A B C3 D一3 (湖北省宜昌市中考題)(2)已知一1a0，則x的取值范圍是( )A一lx0 B0x1 C一2x0 D0x0時(shí)，；(2)當(dāng)a0，則解集為所有數(shù)；若b0，則這個(gè)不等式無(wú)解了解含絕對(duì)值符號(hào)的不等式，常用到絕對(duì)值概念與性質(zhì)： (

3、1)若，則；(2)若，則；(3)若，則；(4)若，則相等與不等是矛盾的兩個(gè)方面，既對(duì)立，又統(tǒng)一，具體體現(xiàn)在：(1)運(yùn)用不等式(組)討論方程(組)的解的正負(fù)性；(2)運(yùn)用不等式(組)，用逼近的方法求特殊方程(組)的解；(3)對(duì)于含有等式、不等式的混合型問題，綜合運(yùn)用方程(組)(消元思想)、不等式(組)(逼近思想)求解確定不等式(組)中參數(shù)的取值范圍常用的方法有： (1)逆用不等式(組)解集確定， (2)分類討論確定；(3)借助數(shù)軸確定【例6】 若關(guān)于x的不等式組的解集為x4，則m的取值范圍是 思路點(diǎn)撥 由得 x4 由得xm其解集為x4， rn4，m4 【例7】 若不等式(2ab)x+3a4b1.

4、7，由（2）xc(1)只有一個(gè)整數(shù)解，則整數(shù)解為1， 1c0； (2)若無(wú)整數(shù)解，則c1 【例9】 在滿足x+2y3，z0，y0的條件下，2x+y能達(dá)到的最大值是 思路點(diǎn)撥 x+2y3，x3-2y，2x十y2(3-2y)+y=3y+6y0， 2x+y6故2x+y的最大值為6 【例10】設(shè)x1，x2，x7為自然數(shù)，且x1 x2 x3 x6 x7，又x1+ x2+ +x7=159，則x1+ x2+x3的最大值為 思路點(diǎn)撥 x1，x2，x7為自然數(shù)，且x1 x2 x3 x6 x7， 159= x1+ x2+ +x7x1+（x1+1）+（x1+2）+（x1+6）=7x1 +21， x119，x1的最大

5、值為19； 又19+x2+x3+x7=159， 140x2+(x2+1)+( x2+2)+(x2+5)=6x2+15， x2，x2的最大值為20 當(dāng)x1，x2都取最大值時(shí)，有120=x3+x4+x7x3+( x3+1)+(x3+4)=5x3+10 x322，x3最大值為22x1+ x2+x3的最大值為19+20+22=61 學(xué)力訓(xùn)練1若關(guān)于x的不等式組的解集為x4，則m的取值范圍是 2若不等式組的解集為一l xl，則(a+1)(b-1)的值等于 (重慶市中考題)3已知a0，且，則的最小值為 ( “希望杯”邀請(qǐng)賽試題)4當(dāng)k= 時(shí)，方程組有正整數(shù)解5已知a為整數(shù)，關(guān)于x的方程的根是質(zhì)數(shù)，且滿足，

6、則a等于( ) A2 B2或5 C土2 D一2 (江蘇省競(jìng)賽題) 6若方程組的解滿足條件，則k的取值范圍是( ) A一4k1 D一4k0 C0k一4 (河南省競(jìng)賽題)7要使不等式成立，有理數(shù)a的取值范圍 是( ) A0a1 Ba一1 C一1a1 (河北省初中數(shù)學(xué)創(chuàng)新與知識(shí)應(yīng)用競(jìng)賽題)8已知為常數(shù)，若ax+bo的解集是，則的解集是( ) Ax一3 Bx3 Dx0的解集為，那么關(guān)于x的不等式mxn(rn0)的解集為 (哈爾濱市競(jìng)賽題)14已知關(guān)于x，y的方程組的解滿足xy0，化簡(jiǎn) (2003年呼和浩特市中考題)15不等式的解集是 16關(guān)于x的不等式組有四個(gè)整數(shù)解，則a的取值范圍是（ ） A B C D (泰安市中考題)17一共有( )個(gè)整數(shù)小x適合不等式IA10000 B20000 C9999 D80000( “五羊杯”邀請(qǐng)賽試題)18已知m、n是整數(shù)，3m2=5n+3，且3m+230，5n+340，則mn的值是( ) A70， B72 C 77 D8419若正數(shù)滿足不等式組，則大小關(guān)系是( )Aabc Bbc