6子空間的交與和

1、第六章 線性空間,2 線性空間的定義 與簡(jiǎn)單性質(zhì),3 維數(shù)基與坐標(biāo),4 基變換與坐標(biāo)變換,1 集合映射,5 線性子空間,7 子空間的直和,8 線性空間的同構(gòu),6 子空間的交與和,主要內(nèi)容,子空間的交,第六節(jié) 子空間的交與和,子空間的和,子空間的交與和的性質(zhì),例題,子空間的交與和的維數(shù),一、子空間的交,1. 定義,定義1 設(shè) V1 , V2 是線性空間 V 的兩個(gè)子空,間, 稱,V1 V2 = | V1 且 V2 ,為 V1 , V2 的交.,2. 性質(zhì),定理 1 如果V1 , V2 是線性空間 V 的兩個(gè)子空,間, 那么它們的交V1 V2 也是 V 的子空間.,證明,首先，由 0 V1 ， 0

2、 V2 ，可知 0 ,V1 V2 ，因而 V1 V2 是非空的.,其次，如果, , V1 V2 , 即 , V1 ，而且 , V2 ，, + V1 ， + V2 ，,對(duì)數(shù)量乘積可以同樣地證明.,所以V1 V2 是 V 的,子空間.,證畢,那么,因此 + V1 V2 .,3. 子空間的交的運(yùn)算規(guī)律,1) 交換律 V1 V2 = V2 V1 ；,2) 結(jié)合律 (V1V2 ) V3 = V1(V2 V3 ) .,為線性空間V的子空間，則集合,也為V的子空間，稱為 的交空間.,二、子空間的和,1. 定義,定義 2 設(shè) V1 , V2 是線性空間 V 的兩個(gè)子空,間, 所謂 V1 與 V2 的和，是指由

3、所有能表示成1 +,2 ，而1 V1 ，2 V2 的向量組成的子集合，記,作 V1 + V2 ，即,V1 + V2 = | = 1 + 2 , 1 V1 , 2 V2 ,2. 性質(zhì),定理 2 如果V1 , V2 是線性空間 V 的兩個(gè)子空,間，那么它們的和 V1 + V2 也是 V 的子空間.,證明,首先， V1 + V2 顯然是非空的.,其次,如果 , V1 + V2 , 即, = 1 + 2 , 1 V1 , 2 V2 , = 1 + 2 , 1 V1 , 2 V2 ,那么, + = (1 + 1 ) + (2 + 2 ) .,又因?yàn)?V1 , V2 是子空間，故有,1 + 1 V1 ，2

4、 + 2 V2 .,因此, + V1 + V2 .,同樣，,k = k1 + k2 V1 + V2 .,所以， V1 + V2 是 V 的子空間.,證畢,3. 子空間的和的運(yùn)算規(guī)律,1) 交換律 V1 + V2 = V2 + V1 ；,2) 結(jié)合律 (V1 + V2 ) + V3 = V1+ (V2 + V3 ) .,為線性空間V的子空間，則集合,也為V的子空間，稱為 的和空間.,1) V的兩子空間的并集,注 意：,有,證明：,2）V的兩子空間的并集未必為V的子空間.,皆為R3的子空間，但是它們的并集,并不是R3的子空間. 因?yàn)樗鼘?duì)R3的運(yùn)算不封閉，如,但是,例如,三、子空間的交與和的性質(zhì),性

5、質(zhì) 1 設(shè) V1 , V2 , W 都是子空間，那么由,W V1 與 W V2 可推出W V1 V2 ；,而由,W V1 與 W V2可推出 W V1 + V2 .,性質(zhì) 2 對(duì)于子空間 V1 , V2 , 以下三個(gè)論斷是,等價(jià)的：,1) V1 V2 ；2) V1 V2 = V1 ；3) V1 + V2 = V2 .,性質(zhì) 3 設(shè) V1 , V2 , W 都是子空間，,W V1 = W V2 ，,若,W +V1 = W +V2，,V1 =V2 .,則,V1 V2 ，,四、例題,例 1 設(shè) V1 = L(1 , 2 ) , V2 = L(1 , 3 ) 是 R3,兩個(gè)不同的 2 維子空間，求 V

6、1 V2 和 V1 + V2 ，,并指它們的幾何意義.,解,因?yàn)?V1 和 V2 是兩個(gè)不同的子空間，所以,1 , 2 , 3 線性無(wú)關(guān)，,從而 V1 = V2 與題設(shè)矛盾.,于是由子空間的交與和,的定義可得,V1 V2 = L(1 )，V1 + V2 = L(1 , 2 ,3 ) = R3 .,否則 3 可由 1 , 2 線性表示,其幾何意義是：V1 = L(1 , 2 ) 是向量 1 , 2 所,確定的平面，,的平面，,是整個(gè) 3 維空間.,如圖 6-6 所示.,V2 = L(1 , 3 ) 是向量 1 , 3 所確定,V1 V2 是這兩個(gè)平面的交線，,V1 + V2,例 2 設(shè) V1 ,

7、 V2 分別是 R3 過(guò)原點(diǎn)的直線和平,面(直線不在平面上)上的全體向量構(gòu)成的子空間，,求 V1 V2 和 V1 + V2 ，并指它們的幾何意義.,解,由定義容易求得,V1 V2 = 0 ，V1 + V2 = L(1 , 2 , 3 ) = R3 .,其幾何意義如圖 6-7 所示,例 3 設(shè) V1 , V2 分別是 P 3 中齊次方程組,的解空間，那么 V1 V2 就是齊次方程組,的解空間.,1）L(1 , 2 , , s ) + L(1 , 2 , , t ),=L(1 , , s , 1 , , t )；,五、子空間的交與和的維數(shù)（維數(shù)公式）,2）L(1 , 2 , , s ) L(1 ,

8、 2 , , t ),其中 是 與 中的公共元素， .,定理 3,為線性空間V中,兩組向量，則,例4、在 中，設(shè),1） 求 的維數(shù)的與一組基；,2） 求 的維數(shù)的與一組基.,解：1) 任取,設(shè),則有,為一維的.,2),對(duì)以 為列向量的矩陣A作初等行變換,為3維的，,由B知， 為 的一個(gè)極大無(wú)關(guān)組.,為其一組基.,關(guān)于子空間的交與和的維數(shù)，有以下定理.,定理 4 (維數(shù)公式) 如果 V1 , V2 是線性空,間 V 的兩個(gè)子空間，那么,維(V1) + 維(V2) = 維(V1 + V2 ) + 維(V1 V2 ) .,證明,設(shè) V1 , V2 的維數(shù)分別是 s , t , V1V2,的維數(shù)是 m

9、 .,取 V1V2 的一組基,1 , 2 , , m .,如果 m = 0 ，這個(gè)基是空集，下面的討論中,1 , 2 , , m 不出現(xiàn)，但討論同樣能進(jìn)行.,由,它可以擴(kuò)充成 V1 的一組基,1 , 2 , , m , 1 , , s - m ,也可以擴(kuò)充成 V2 的一組基,1 , 2 , , m , 1 , , t - m .,我們來(lái)證明，向量組,1 , 2 , , m , 1 , , s - m , 1 , , t - m,是 V1 + V2 的一組基.,這樣， V1 + V2 的維數(shù)就等于,s + t - m , 因而維數(shù)公式成立.,因?yàn)?V1 = L(1 , 2 , , m , 1 ,

10、 , s - m ) , V2 = L(1 , 2 , , m , 1 , , t - m ) .,所以,V1+V2 = L(1 , , m , 1 , , s - m , 1 , , t - m ).,現(xiàn)在來(lái)證明向量組,1 , 2 , , m , 1 , , s - m , 1 , , t - m,是線性無(wú)關(guān)的.,假設(shè)有等式,k11 + k22 + + kmm,+ p11 + p22 + + ps - m s - m,+ q11 + q22 + + qt - m t - m = 0 .,令, = k11 + + kmm + p11 + + ps - m s - m,= - q11 - q22

11、 - - qt - m t - m ., = k11 + + kmm + p11 + + ps - m s - m,由 = - q11 - q22 - - qt - m t - m,由,可知， V1 ；,可知， V2 .,于是 V1V2 ，即 可以被,1 , 2 , , m 線性表示.,令 = l11 + + lmm ,則,l11 + + lmm + q11 + + qt - m t - m = 0 .,由于 1 , , m , 1 , , t - m 線性無(wú)關(guān)，所以,l1 = = lm = q1 = = qt - m =0 ,因而 = 0.,從而有,k11 + + kmm + p11 + +

12、 ps - m s - m = 0 .,由于 1 , , m , 1 , , s - m 線性無(wú)關(guān)，又得,k1 = = km = p1 = = ps - m =0 .,這就證明了,1 , 2 , , m , 1 , , s - m , 1 , , t - m,線性無(wú)關(guān)，,式成立.,證畢,因而它是 V1 + V2 的一組基，故維數(shù)公,注 意：,從維數(shù)公式可知,（ 為Vn(P)的兩個(gè)子空間）,子空間的和的維數(shù)往往比子空間的維數(shù)的和要小.,例如，在R3中，設(shè)子空間,其中，,但，,則，,由此還可得到，,是一直線.,從維數(shù)公式可以看到，和的維數(shù)往往要比維數(shù),的和來(lái)得小.,例如，在三維幾何空間中，兩張通,

13、過(guò)原點(diǎn)的不同的平面之和是整個(gè)三維空間，而其,維數(shù)之和卻等于 4 .,由此說(shuō)明這兩張平面的交是,一維的直線.,推論 如果 n 維線性空間 V 中兩個(gè)子空間 V1,V2 的維數(shù)之和大于 n , 那么 V1 , V2 必含有非零的公,共向量.,證明,由假設(shè),維(V1 + V2 ) + 維(V1V2 ) = 維(V1) + 維(V2) n.,但因 V1 + V2 是 V 的子空間而有,維(V1 + V2 ) n ,所以,維(V1V2 ) 0 .,這就是說(shuō)， V1V2 中含有非零向量.,證畢,小 結(jié),1.子空間的交,2.子空間的和,3.子空間的交與和的性質(zhì),4.子空間的交與和的維數(shù),1.在中，令,求及,

14、易知，皆為 的子空間.,練 習(xí),解：任取,由有,由有,故，,從而，,再求,因?yàn)椋?所以，,2. 設(shè) V = P 4，V1 = L(1 , 2 , 3 )，,V2 = L(1 , 2)，其中,求V1, V2 , V1V2 , V1 + V2 的維數(shù)與基.,解,因?yàn)?V1 + V2 = L(1 , 2 , 3 ) + L(1 , 2),= L(1 , 2 , 3 , 1 , 2) ,所以向量組 1 , 2 , 3 , 1 , 2 的一個(gè)極大無(wú)關(guān)組就,是 V1 + V2 的一組基.,把向量組 1 , 2 , 3 , 1 , 2,中的每個(gè)向量作為矩陣的一列，構(gòu)造矩陣 A，對(duì)A,進(jìn)行初等行變換，化成行最

15、簡(jiǎn)形：,行變換,由 A 的行最簡(jiǎn)形矩陣,1 , 2 , 1 線性無(wú)關(guān)，且 2 = 1 - 32 + 41 .,于是,1 , 2 , 1 是 V1 + V2 的一組基，維( V1 + V2 ) = 3；,1 , 2 是 V1 的一組基，維(V1) = 2；,1 , 2 是V2 的,一組基，維(V2) = 2 .,由 2 = 1 - 32 + 41 得,1 - 32 = - 41 + 2 = (-4, -5, 7, 6) V1V2 .,因?yàn)?維(V1V2 ) = 維(V1) + 維(V2) - 維(V1 + V2 ),= 2 + 2 - 3 = 1 .,于是 (-4, -5, 7, 6) 是 V1V2 的一組基.,設(shè)向量組,1 , 2 , 3