高中數(shù)學(xué)必修一人教教學(xué)課件122函數(shù)的表示法2

1、第2課時 分段函數(shù)及映射,【知識提煉】 1.分段函數(shù) (1)前提:在函數(shù)的定義域內(nèi). (2)條件:在自變量x的不同取值范圍內(nèi),有著_. (3)結(jié)論:這樣的函數(shù)稱為分段函數(shù).,不同的對應(yīng)關(guān)系,2.映射 (1)前提:A,B是兩個_的集合. (2)對應(yīng)關(guān)系:按某一個確定的對應(yīng)關(guān)系f,使對于集合A中的任意一個 元素x,在集合B中有_的元素y與之對應(yīng). (3)結(jié)論:f:AB稱為_的一個映射.,非空,唯一確定,從集合A到集合B,【即時小測】 1.思考下列問題: (1)“分段函數(shù)有幾段就是幾個函數(shù)”這句話正確嗎? 提示:不正確,分段函數(shù)是一個函數(shù),而非幾個函數(shù),只不過在定義域的不同子集上其解析式不同而已.

2、(2)函數(shù)是映射嗎? 提示:是.對照映射和函數(shù)的定義可知函數(shù)是映射.,2.已知集合A=a,b,集合B=0,1,下列對應(yīng)不是A到B的映射的是 (),【解析】選C.A,B,D均滿足映射的定義,C不滿足集合A中任一元素在集合B中都有唯一元素與之對應(yīng),且集合A中元素b在集合B中無元素與之對應(yīng).,3.下列給出的式子是分段函數(shù)的是() A.B.C.D.,【解析】選B.,4.已知集合A=N*,B=正奇數(shù),映射f:AB,使A中任一元素a與B中元素2a-1相對應(yīng),則與B中元素17對應(yīng)的A中的元素為() A.3B.5C.17D.9 【解析】選D.由題意知,17=2a-1,解得a=9.,5.已知函數(shù)f(x)= 則f

3、(2)+f(-2)=. 【解析】f(2)+f(-2)=0+(-2)2=4. 答案:4,【知識探究】 知識點1分段函數(shù) 觀察如圖所示內(nèi)容,回答下列問題:,問題1:畫分段函數(shù)的圖象應(yīng)注意什么? 問題2:分段函數(shù)的定義域、值域各有什么特點?,【總結(jié)提升】 對分段函數(shù)的四點說明 (1)研究分段函數(shù)的性質(zhì)時,應(yīng)根據(jù)“先分后合”的原則,尤其是在作分段函數(shù)的圖象時,可先將各段的圖象分別畫出來,從而得到整個函數(shù)的圖象.應(yīng)特別注意各段圖象端點是用實心點還是空心點表示. (2)分段函數(shù)的定義域是各段“定義域”的并集,其值域是各段“值域”的并集.寫定義域時,區(qū)間端點需不重不漏.,(3)圖象:分段函數(shù)的圖象由幾部分構(gòu)

4、成,有的可以是光滑的曲線,有的也可以是一些孤立的點、線段、射線、直線等. (4)求值關(guān)鍵:求分段函數(shù)的某些函數(shù)值的關(guān)鍵是“分段歸類”,即自變量的取值屬于哪一段,就用哪一段的解析式,一定要堅持定義域優(yōu)先的原則.,知識點2映射 觀察如圖所示內(nèi)容,回答下列問題: 問題1:映射有什么特征? 問題2:函數(shù)與映射有什么關(guān)系?,【總結(jié)提升】 1.映射的特征 (1)任意性:A中任意元素x在B中都有元素y與之對應(yīng). (2)唯一性:A中任意元素x在B中都有唯一元素y與之對應(yīng). (3)方向性:f:AB與f:BA一般是不同的映射.,2.函數(shù)與映射的關(guān)系,【題型探究】 類型一映射的概念及運用 【典例】1.下列對應(yīng)能構(gòu)成

5、從A到B的映射的是() A=B=N*,f:x|x-2|; A=x|x2,xN,B=y|y0,yZ,f:xy=x2-2x+3; A=平面內(nèi)的圓,B=平面內(nèi)的矩形,對應(yīng)關(guān)系f:作圓的內(nèi)接矩形; A=高一一班的男生,B=男生的身高,對應(yīng)關(guān)系f:每個男生對應(yīng)自己的身高. A.B.C.D.,2.設(shè)集合A=B=(x,y)|xR,yR,從A到B的映射f:(x,y) (x+2y,2x-y).在映射下,B中的元素(1,1)對應(yīng)A中的元素() A.(1,3)B.(1,1) C. D.,【解題探究】1.典例1中判斷對應(yīng)是映射的依據(jù)是什么? 提示:判斷對應(yīng)是映射的依據(jù)是映射的定義. 2.典例2中對應(yīng)關(guān)系是什么? 提示

6、:典例2中對應(yīng)關(guān)系是將集合A中的點的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓩M坐標(biāo)與縱坐標(biāo)2倍的和,點的縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓩M坐標(biāo)的2倍減去縱坐標(biāo).,【解析】1.選C.不是.當(dāng)x=2A時,|x-2|=0B,即A中的元素2在B中 沒有元素和它對應(yīng),所以不是映射;是.因為y=x2-2x+3=(x-1)2+2 2,所以對任意的x,總有y2.又當(dāng)xN時,x2-2x+3必為整數(shù),即yZ.所以當(dāng)xA時,x2-2x+3B.所以對A中每一個元素x,在B中都有唯一的y與之對應(yīng).故是映射;因為一個圓有無數(shù)個內(nèi)接矩形,即集合A中任何一個元素在集合B中有無數(shù)個元素與之對應(yīng),故不是映射;對A中任何一個元素,按照對應(yīng)關(guān)系f,在B中都有唯一一個元素與之對應(yīng),

7、符合映射定義,是映射.,2.選C. 由題意得 即B中的元素(1,1)對應(yīng)A中的元素,【方法技巧】 1.判斷一個對應(yīng)是不是映射的兩個關(guān)鍵 (1)對于A中的任意一個元素,在B中是否有元素與之對應(yīng). (2)B中的對應(yīng)元素是不是唯一的. 提醒:“一對一”或“多對一”的對應(yīng)才可能是映射.,2.求對應(yīng)元素的兩種類型及處理思路(對映射f:AB) (1)若已知A中的元素a,求B中與之對應(yīng)的元素b,這時只要將元素a代入對應(yīng)關(guān)系f求解即可. (2)若已知B中的元素b,求A中與之對應(yīng)的元素a,這時構(gòu)造方程(組)進(jìn)行求解即可,需注意解得的結(jié)果可能有多個.,【補(bǔ)償訓(xùn)練】下列對應(yīng)是不是從A到B的映射,為什么? (1)A=

8、(0,+),B=R,對應(yīng)關(guān)系是“求平方根”. (2)A=x|-2x2,B=x|0y1,對應(yīng)關(guān)系是f:xy= (其中xA,yB). (3)A=x|0 x2,B=y|0y1,對應(yīng)關(guān)系是f:xy=(x-2)2(其中xA,yB). (4)A=x|xN,B=-1,1,對應(yīng)關(guān)系是f:xy=(-1)x(其中xA,yB).,【解析】(1)不是從A到B的映射.因為任何正數(shù)的平方根都有兩個,所以對A中任何一個元素,在B中都有兩個元素與之對應(yīng). (2)是從A到B的映射.因為A中每個數(shù)的平方除以4后,都在B中有唯一的數(shù)與之對應(yīng). (3)不是從A到B的映射.因為A中有的元素在B中無元素與之對應(yīng).如0A,而(0-2)2=

9、4B. (4)是從A到B的映射.因為A中每一個元素在B中都有唯一的元素與之對應(yīng).,類型二 分段函數(shù)求值問題 【典例】已知函數(shù) 試求f(-5)，f(- )，f(f(- )的值.,【解題探究】典例中求f(f(- )的值時應(yīng)先求哪個值？ 提示：應(yīng)先求f(- )的值.,【解析】由-5(-，-2，- (-2,2)， - (-，-2，知f(-5)=-51=-4， f(- )=(- )22(- )=3-2 .,【延伸探究】 1.(改變問法)本例條件不變,若f(a)=3,求實數(shù)a的值.,【解析】當(dāng)a-2時,f(a)=a+1, 所以a+1=3,所以a=2-2不合題意,舍去. 當(dāng)-2a2時,a2+2a=3, 即a

10、2+2a-3=0. 所以(a-1)(a+3)=0,所以a=1或a=-3. 因為1(-2,2),-3(-2,2), 所以a=1符合題意. 當(dāng)a2時,2a-1=3,所以a=2符合題意. 綜合,當(dāng)f(a)=3時,a=1或a=2.,2.(改變問法)本例條件不變,若f(m)m(m-2或m2),求實數(shù)m的取值范圍. 【解析】f(m)m,即 即m-2或 所以m-2或m2. 所以m的取值范圍是(-,-22,+).,【方法技巧】 1.分段函數(shù)求函數(shù)值的方法 (1)確定要求值的自變量屬于哪一段區(qū)間. (2)代入該段的解析式求值,直到求出值為止.當(dāng)出現(xiàn)f(f(x0)的形式時,應(yīng)從內(nèi)到外依次求值.,2.已知函數(shù)值求字

11、母取值的步驟 (1)先對字母的取值范圍分類討論. (2)然后代入到不同的解析式中. (3)通過解方程求出字母的值. (4)檢驗所求的值是否在所討論的區(qū)間內(nèi).,【補(bǔ)償訓(xùn)練】設(shè)函數(shù)f(x)= 則f(f(3)=( ) 【解析】選D.當(dāng)x=3時，f(3)= 1， 所以f(f(3)=,類型三分段函數(shù)的圖象及應(yīng)用 【典例】1.函數(shù)y=x+ 的圖象是(),2.已知函數(shù)f(x)=1 (-2x2) (1)用分段函數(shù)的形式表示該函數(shù). (2)畫出該函數(shù)的圖象. (3)寫出該函數(shù)的值域.,【解題探究】1.典例1中的絕對值如何去掉?去掉后的解析式是什么? 提示:根據(jù)x的范圍去掉絕對值號,當(dāng)x0時,y=x+1,當(dāng)x0時

12、,y=x-1,故 2.典例中含有絕對值,應(yīng)如何化簡函數(shù)解析式? 提示:化簡函數(shù)解析式時應(yīng)根據(jù)絕對值的幾何意義,分情況化簡.,【解析】1.選C.對于y=x ，當(dāng)x0時，y=x1； 當(dāng)x0時，y=x-1.即y= 故其圖象應(yīng)為C. 2.(1)當(dāng)0 x2時， f(x)=1 =1， 當(dāng)-2x0時，f(x)=1 =1-x. 所以f(x)=,(2)函數(shù)f(x)的圖象如圖所示: (3)由(2)知,f(x)在(-2,2上的值域為1,3).,【方法技巧】 1.由分段函數(shù)的圖象確定函數(shù)解析式的步驟 (1)定類型:根據(jù)自變量在不同范圍內(nèi)的圖象的特點,先確定函數(shù)的類型. (2)設(shè)函數(shù)式:設(shè)出函數(shù)的解析式. (3)列方程

13、(組):根據(jù)圖象中的已知點,列出方程或方程組,求出該段內(nèi)的解析式. (4)下結(jié)論:最后用“”表示出各段解析式,注意自變量的取值范圍.,2.作分段函數(shù)圖象的注意點 求作分段函數(shù)的圖象時,定義域分界點處的函數(shù)取值情況決定著圖象在分界點處的斷開或連接,斷開時要分清斷開處是實心點還是空心點.,【變式訓(xùn)練】下列圖形是函數(shù)y= 的圖象的是(),【解析】選C.由于f(0)=0-1=-1,所以函數(shù)圖象過點(0,-1);當(dāng)x0時,y=x2,則函數(shù)是開口向上的拋物線在y軸左側(cè)的部分.因此只有圖形C符合.,【補(bǔ)償訓(xùn)練】國內(nèi)某快遞公司規(guī)定:重量在1000克以內(nèi)的包裹快遞郵資標(biāo)準(zhǔn)如下表:,如果某人從北京快遞900克的包

14、裹到距北京1300 km的某地,他應(yīng)付的郵資是() A.5.00元B.6.00元C.7.00元D.8.00元,【解析】選C.郵資y與運送距離x的函數(shù)解析式為 因為1 300(1 000,1 500,所以y=7.00.,巧思妙解 數(shù)形結(jié)合巧解與分段函數(shù)有關(guān)的問題 【典例】已知f(x)= 則滿足不等式f(1-x)f(x)的x的取值范圍是.,【常規(guī)解法】根據(jù)題意求x的取值范圍,需分四種情況討論,具體如下: 當(dāng)1-x0且x0,即0 x1時,由f(1-x)f(x), 得(1-x)2x2,解得x ,所以0 x ; 當(dāng)1-x0且x0,即x0時,由f(1-x)f(x),得(1-x)2+11,解得x1時, 由f(1-x)f(x),得1x2+1,此時不成立. 綜上可知,所