高斯公式與斯托克斯公式PPT參考課件.ppt

1、3 高斯公式與斯托克斯公式,高斯公式與斯托克斯公式都是格林公式的 推廣. 格林公式建立了平面區(qū)域上的二重積分與其邊界曲線上的第二型曲線積分之間的關(guān)系; 高斯公式建立了空間區(qū)域上的三重積分與其邊界曲面上的第二型曲面積分之間的關(guān)系; 斯托克斯公式建立了空間曲面上的第二型曲面積分與其邊界曲線上的第二型曲線積分之間的關(guān)系.,返回,一、高斯公式,二、斯托克斯公式,一、高斯公式,續(xù)偏導(dǎo)數(shù), 則,其中 S 取外側(cè).(1) 式稱為高斯公式.,這些結(jié)果相加便得到高斯公式 (1).,先設(shè)V是一個(gè) xy 型區(qū)域,即其邊界曲面 S 由曲面,證明其余兩式:,組成(圖22-7), 其中,于是按三重積分的計(jì)算方,法,有,從

2、而得到,對(duì)于不是 xy 型區(qū)域的情形, 一般可用有限個(gè)光滑,積為零, 所以,曲面將它分割成若干個(gè) xy 型區(qū)域來討論.,例1 計(jì)算,其中 S 是邊長(zhǎng)為 a 的正立方體表面并取外側(cè).,解 應(yīng)用高斯公式,于是得到應(yīng)用第二型曲面積分計(jì)算空間區(qū)域 V 的體,積的公式:,例2 計(jì)算,上側(cè).,解 由于曲面不是封閉的,不能直接應(yīng)用高斯公式.,為了能使用高斯公式以方便計(jì)算,可補(bǔ)充一塊平面,閉曲面.于是,而,因此,設(shè),二、斯托克斯公式,先對(duì)雙側(cè)曲面 S 的側(cè)與其邊界曲線 L 的方向作如下,規(guī)定:設(shè)有人站在 S 上指定的一側(cè),若沿 L 行走,指,定的側(cè)總在人的左方,則人前進(jìn)的方向?yàn)檫吔缇€ L,的正向;若沿 L 行

3、走,指定的側(cè)總在人的右方,則人,前進(jìn)的方向?yàn)檫吔缇€ L 的負(fù)向.這個(gè)規(guī)定也稱為右,手法則,如圖 22-9 所示.,定理22.4 設(shè)光滑曲面 S 的邊界 L 是按段光滑的連,續(xù)曲線.若函數(shù) P, Q, R 在 S ( 連同 L ) 上連續(xù),且有,一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),則有斯托克斯公式如下:,其中 S 的側(cè)與 L 的方向按右手法則確定.,證 先證,其中曲面 S 由方程 確定,它的正側(cè)法線方,(3),公式有,所以,所以,因?yàn)?將 (3), (4), (5) 三式相加,即得公式 (2) .,光滑曲線把 S 分割為若干小塊,使每一小塊能用這,綜合上述結(jié)果,便得到所要證明的(3)式.,為了便于記憶,斯托克斯公式

4、也常寫成如下形式:,種形式來表示. 因而這時(shí) (2) 式也能成立.,與各坐標(biāo)面的交線,取圖 22-8,所示的方向.,解 應(yīng)用斯托克斯公式推得:,車胎狀的環(huán)形區(qū)域則是非單連通的.,與平面曲線積分相仿,空間曲線積分與路線的無關(guān),性也有下面相應(yīng)的定理.,不經(jīng)過 V 以外的點(diǎn)而連續(xù)收縮于屬于 V 的一點(diǎn).例,如:兩同心球面所界定的區(qū)域仍是單連通的;而形如,區(qū)域 V 稱為單連通的,如果 V 內(nèi)任一封閉曲線皆可,注 上述之單連通,又稱為“按曲面單連通”.其意,義是: 對(duì)于 V 內(nèi)任一封閉曲線 L, 均能以 L 為邊界,繃起一個(gè)位于 V 中的曲面.,與路線無關(guān);,(i) 對(duì)于 內(nèi)任一按段光滑的封閉曲線 L 有,(ii) 對(duì)于 內(nèi)任一按段光滑的封閉曲線 L,曲線積分,個(gè)條件是等價(jià)的:,Q, R 在 上連續(xù),且有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),則以下四,例5 驗(yàn)證曲線積分,與路線無關(guān), 并求被積表達(dá)式的原函數(shù),這個(gè)定理的證明與定理 21.12 相仿,這里不重復(fù)了.,在 內(nèi)處處成立.,即,所以曲線積分與路線無關(guān).現(xiàn)