幾種常見的曲面及其方程PPT參考課件.ppt

1、幾種常見的曲面及其方程 二次曲面 曲線,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,第四節(jié)曲面及其方程,1,即,動點為 定點為 ，,由兩點間距離公式得,特別,當M在原點時,球面方程為,定值為 R,表示上(下)球面 .,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,一、幾種常見的曲面及其方程 1.球面,2,例1 方程,表示怎樣的曲面.,解 通過配方，把原方程寫成,對比（1）式知，它表示球心在點（2,0,-1）,半徑為,的球面.,3,三、柱面,引例. 分析方程,表示怎樣的曲面 .,的坐標也滿足方程,解:在 xoy 面上，,表示圓C,沿曲線C平行于 z 軸的一切直線所形成的曲面稱為圓,故在空間,過此點作,柱面.,對任

2、意z,平行z軸的直線l,表示圓柱面,在圓C上任取一點,其上所有點的坐標都滿足此方程,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,4,定義3.,平行定直線并沿定曲線 C 移動的直線l 形成,的軌跡叫做柱面.,表示拋物柱面,母線平行于 z 軸;,準線為xoy 面上的拋物線.,z 軸的橢圓柱面.,z 軸的平面.,表示母線平行于,(且 z 軸在平面上),表示母線平行于,C 叫做準線, l叫做母線.,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,5,一般地,在三維空間,柱面,柱面,平行于 x 軸;,平行于 y 軸;,平行于 z 軸;,準線 xoz 面上的曲線 l3.,母線,柱面,準線 xoy 面上的曲線 l1.,母線,準

3、線 yoz 面上的曲線 l2.,母線,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,6,定義2. 一條平面曲線,3.旋轉(zhuǎn)曲面,繞其平面上一條定直線旋轉(zhuǎn),一周,所形成的曲面叫做旋轉(zhuǎn)曲面.,該定直線稱為旋轉(zhuǎn),軸 .,例如 :,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,7,建立yoz面上曲線C 繞 z 軸旋轉(zhuǎn)所成曲面的方程:,故旋轉(zhuǎn)曲面方程為,當繞 z 軸旋轉(zhuǎn)時,若點,給定 yoz 面上曲線 C:,則有,則有,該點轉(zhuǎn)到,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,8,思考：當曲線 C 繞 y 軸旋轉(zhuǎn)時，方程如何？,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,9,例2 將,面上的橢圓,分別繞,軸和,軸旋轉(zhuǎn)，求所形成的旋轉(zhuǎn)曲面方程。,

4、解 繞 軸旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)曲面方程為,即,即,繞 軸旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)曲面方程為,10,例3 求,面上的拋物線,繞x軸,旋轉(zhuǎn)所形成的旋轉(zhuǎn)拋物面（圖7-28）的方程。,解 方程,中的x,不變，,換成,便得到旋轉(zhuǎn)拋物線的方程為,例4 求,面上的直線,繞z軸,旋轉(zhuǎn)一周而成的圓錐面的方程。,解 所求圓錐面的方程為,即,11,二、二次曲面,三元二次方程,適當選取直角坐標系可得它們的標準方程,下面僅,就幾種常見標準型的特點進行介紹 .,研究二次曲面特性的基本方法: 截痕法,其基本類型有:,橢球面、拋物面、雙曲面、錐面,的圖形通常為二次曲面.,(二次項系數(shù)不全為 0 ),機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,12,

5、1. 橢球面,(1)范圍：,(2)與坐標面的交線：橢圓,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,黃,綠,紅,13,與,的交線為橢圓：,(4) 當 ab 時為旋轉(zhuǎn)橢球面;,同樣,的截痕,及,也為橢圓.,當abc 時為球面.,(3) 截痕:,為正數(shù)),機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,14,2.橢圓拋物面,( p , q 同號),特別,當 p = q 時為繞 z 軸的旋轉(zhuǎn)拋物面.,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,15,三、曲線1.曲線方程,空間曲線可視為兩曲面的交線,其一般方程為方程組,例如,方程組,表示圓柱面與平面的交線 C.,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,16,又如,方程組,表示上半球

6、面與圓柱面的交線C.,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,17,空間曲線的參數(shù)方程,將曲線C上的動點坐標x, y, z表示成參數(shù)t 的函數(shù):,稱它為空間曲線的 參數(shù)方程.,例如,圓柱螺旋線,的參數(shù)方程為,上升高度, 稱為螺距 .,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,18,例5 設(shè)一動點M,在圓柱面,上以角速度,繞z,軸旋轉(zhuǎn)，同時又以線速度,沿平行于z,軸的正方,向上升( 都是常數(shù)),則點M的幾何軌跡叫做螺旋線,（圖7-34），試圖建立其參數(shù)方程。,解 取時間t,為參數(shù)，設(shè)t=0,時動點在,處，,動點在點,處，過點M,作xoy,面的垂線，則,垂足的坐標為,由于,是動點在時間t,內(nèi)轉(zhuǎn)過的角度，而線段,的長,是時間t內(nèi)動,點上升的高度，所以經(jīng)過時間t，得,19,從而,因此螺旋線的參數(shù)方程為,20,2.空間曲線在坐標面上的投影,設(shè)空間曲線 C 的一般方程為,消去 z 得投影柱面,則C 在xoy 面上的投影曲線 C為,消去 x 得C 在yoz 面上的投影曲線方程,消去y 得C 在zox 面上的投影曲線方程,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,21,例如,在xoy 面上的投影曲線方程為,機動 目錄 上頁