數(shù)學(xué)建模題(乒乓球賽)

1、東華理工大學(xué)數(shù)學(xué)建模一周論文論文題目： 乒乓球賽問題 姓名1：夏國圖 學(xué)號：8姓名2：蔡鵬澤 學(xué)號：3姓名3：呂玉林 學(xué)號：1專 業(yè)：核工程與核技術(shù)班 級：指導(dǎo)教師： 黃 濤 2016年1月7日摘要 “乒乓球賽”數(shù)學(xué)模型是根據(jù)參賽人出場順序不同，來探討如何有效地獲取最大幾率的勝利。就我們所知道的，在奧運(yùn)會(huì)中，乒乓球賽是以五局三勝制來決定勝負(fù)，因?yàn)槲寰秩齽僦聘荏w現(xiàn)運(yùn)動(dòng)員的綜合能力。如何最大可能獲取勝利，是每個(gè)隊(duì)共同追求的，建立乒乓球模型，可以幫助我們更快解決這一難題，乒乓球的建模問題可以與數(shù)學(xué)的建模問題聯(lián)合起來。以“五局三勝制”進(jìn)行乒乓球賽，雖然兩隊(duì)實(shí)力相當(dāng)，但不同的出場順序可能導(dǎo)致不同的結(jié)果

2、，所以合理的安排是取得成功的關(guān)鍵。題中所給矩陣也只是打滿五局A隊(duì)獲勝的預(yù)測結(jié)果。根據(jù)矩陣來說明兩隊(duì)實(shí)力的強(qiáng)弱，不同的出場方案會(huì)有不同的結(jié)果。當(dāng)站在A隊(duì)的角度，分析采取不同的出場方案。對“五局三勝制”的乒乓球賽，我們進(jìn)行了假設(shè)、分析、建模、解模。A隊(duì)以i次序出場、B隊(duì)以j次序出場時(shí)，設(shè)這時(shí)A隊(duì)每一局比賽獲勝的概率是一個(gè)不變的常數(shù)，并且假設(shè)各局是否獲勝是相互獨(dú)立的，因此需要對五場比賽各隊(duì)的輸贏情況進(jìn)行列舉，比較雙方的實(shí)力。從矩陣中可知，A隊(duì)以i次序出場而B隊(duì)以j次序出場，則打滿5局A隊(duì)可勝局，A、B兩支隊(duì)伍實(shí)力的強(qiáng)弱與勝利的次數(shù)有關(guān)，由A隊(duì)在5局比賽中獲勝的概率分布為： , k=0,1,2,3,4

3、,5 ,然后計(jì)算五局三勝制比賽中A隊(duì)最后獲勝的概率：在矩陣中A隊(duì)以i次序出場、B隊(duì)以j次序出場時(shí)，在五局三勝制比賽中A隊(duì)最后獲勝的概率。建模目的：通過兩支乒乓球隊(duì)過去所比賽勝負(fù)的記錄來預(yù)測將要進(jìn)行一場五局三勝制的比賽的勝負(fù)情況，并對該預(yù)測方式的優(yōu)缺點(diǎn)進(jìn)行分析，最后以本次預(yù)測方式為基礎(chǔ)，對乒乓球比賽賽制方式進(jìn)行分析點(diǎn)評以及提出了一些新的比賽方式。問題重述1. 背景： 兩隊(duì)乒乓球比賽，由于各隊(duì)員的不同出場順序也是不同，導(dǎo)致比賽的結(jié)果也不同?；谝陨蠁栴}，討論不同隊(duì)員出場順序比賽對于比賽結(jié)果的影響。2. 問題： A、B兩乒乓球隊(duì)進(jìn)行一場五局三勝制的乒乓球賽，兩隊(duì)各派3名選手上場，并各有3種選手的出場

4、順序（分別記為 和）。根據(jù)過去的比賽記錄，可以預(yù)測出如果A隊(duì)以次序出場而B隊(duì)以次序出場，則打滿5局A隊(duì)可勝局。由此得矩陣如下：（1） 根據(jù)矩陣R 能看出哪一隊(duì)的實(shí)力較強(qiáng)嗎？（2） 如果兩隊(duì)都采取穩(wěn)妥的方案，比賽會(huì)出現(xiàn)什么結(jié)果？（3） 如果你是A隊(duì)的教練，你會(huì)采取何種出場順序？（4） 比賽為五戰(zhàn)三勝制，但矩陣R 中的元素卻是在打滿五局的情況下得到的，這樣的數(shù)據(jù)處理和預(yù)測方式有何優(yōu)缺點(diǎn)？ 問題分析 乒乓球比賽對陣雙方誰獲勝可以看作是概率問題。根據(jù)題目意思，兩隊(duì)各派3名選手上場，并各有3種出場順序（分別記為和）。而且根據(jù)以往經(jīng)驗(yàn)給出了打滿5局A隊(duì)可勝的局?jǐn)?shù)構(gòu)成的矩陣（如題圖）。我們可以通過這個(gè)矩陣求

5、出在雙方某種出場順序下，A隊(duì)每一局獲勝的概率，并求出對應(yīng)矩陣。由于是五局三勝制，獲勝情況包括：1.前三局獲勝，整場結(jié)束。 2.打完四局后才結(jié)束，即前三局只贏了兩局。 3.打完第五局后才結(jié)束，即前四局只贏了兩局。我們進(jìn)而可以求出整場比賽下來，A隊(duì)獲勝的概率。對于問題一，我們可以通過比較對陣雙方在各種出場順序情況下，贏得整場比賽的概率平均值來判斷哪一方的實(shí)力更強(qiáng)。對于問題二，我們可以求出每隊(duì)在選擇某一出場順序下，贏得整場比賽的概率，這其實(shí)可以看成是條件概率的問題。概率平均值大的即為所求的穩(wěn)妥方案。例如A隊(duì)選擇a1出場方案的情況下贏得整場比賽的概率，求出在B隊(duì)以各種出場方案情況下，A隊(duì)獲勝概率的平均

6、值，若此平均值比a2,a3的情況下大，則對A隊(duì)來說，a1方案即為穩(wěn)妥方案。在這里，還要求出B隊(duì)的各種矩陣。 對于問題三，與問題二類似，較為穩(wěn)妥的方案即為所要的方案。 對于問題四，由于比賽存在還沒有打滿五場就結(jié)束的情況，因?yàn)楸荣愂遣扇∥寰秩齽僦频模绻谶€沒打完五局的情況下比賽就結(jié)束了，那么接下來的比賽就沒有進(jìn)行下去的必要了。 模型的假設(shè)和約定1. 假設(shè)各隊(duì)的隊(duì)員都正常發(fā)揮。2. 不考慮外界因素對于各隊(duì)員發(fā)揮的影響。3. 雙方各隊(duì)員的出場順序都互補(bǔ)影響，相互獨(dú)立。符號說明 ：A隊(duì)的選手：B隊(duì)的選手：A隊(duì)獲勝的概率 ：A隊(duì)最后獲勝的概率：在打滿5局，A隊(duì)可勝局?jǐn)?shù)的矩陣。： 在打滿5局，B隊(duì)可勝局?jǐn)?shù)

7、的矩陣。: 在打滿5局，A隊(duì)每局可勝的概率矩陣。: 在打滿5局，A隊(duì)最終可勝的概率矩陣。: 在打滿5局，B隊(duì)每局可勝的概率矩陣。: 在打滿5局，B隊(duì)最終可勝概率的矩陣。模型的建立A隊(duì)打滿五局時(shí)A隊(duì)可勝的局?jǐn)?shù)局的矩陣已知：由此我們可知B隊(duì)打滿五局時(shí)B隊(duì)可勝的局?jǐn)?shù)局的矩陣如下：對于A隊(duì)，由R矩陣可以求得矩陣R1，= 同理對于B隊(duì)： 比賽是五局三勝制，要在五局三勝制比賽中最后獲勝，才是真正獲勝。 下面我們來計(jì)算在五局三勝制比賽中A隊(duì)最后獲勝的概率：一、A隊(duì)最后獲勝，可以分成下列幾種情況：令（1）A隊(duì)前三局獲勝。這種情況的概率為 ；(圖中為A隊(duì)贏)贏贏贏（2）在前三局中A隊(duì)勝二局，B隊(duì)勝一局，第四局A

8、隊(duì)又勝一局。這種情況的概率為；贏贏輸贏贏輸贏贏輸贏贏贏（3）在前四局中A隊(duì)勝二局，最后A隊(duì)又勝一局。這種情況的概率為；贏贏輸輸贏贏輸贏輸贏贏輸輸贏贏輸贏贏輸贏輸輸贏贏贏輸贏輸贏贏把這三種情況加起來，就得到在五局三勝制比賽中A隊(duì)最后獲勝的概率 。將 各數(shù)值代入上式，可以計(jì)算出A隊(duì)最后獲勝的一個(gè)矩陣二、對于B隊(duì)，最后獲勝，可以分成下列幾種情況：令;同理由上可知B隊(duì)獲勝情況可分為三種。（1）B隊(duì)前三局獲勝。這種情況的概率為 ；（2）在前三局中B隊(duì)勝二局，A隊(duì)勝一局，第四局B隊(duì)又勝一局。這種情況的概率為 ；（3）在前四局中B隊(duì)勝二局，最后B隊(duì)又勝一局。這種情況的概率為 ；把這三種情況加起來，就得到在五

9、局三勝制比賽中A隊(duì)最后獲勝的概率 。將 各數(shù)值代入上式，可以計(jì)算出B隊(duì)最后獲勝的一個(gè)矩陣。問題1： 最后平均獲勝概率為：A隊(duì) B隊(duì) 取p1,p2中大者所屬隊(duì)即為實(shí)力更強(qiáng)的。問題2： 對于A隊(duì)，若選用出場順序，平均獲勝概率為； 若選用出場順序，平均獲勝概率為； 若選用出場順序，平均獲勝概率為； 對于B隊(duì)，若選用出場順序，平均獲勝概率為 ； 若選用出場順序，平均獲勝概率為 ； 若選用出場順序，平均獲勝概率為 ； 穩(wěn)妥方案即為選平均獲勝概率最大的那種出場方案。 即：A隊(duì)選用，中較大的那種出場順序。 B隊(duì)選用，中較大的那種出場順序。問題3： 此問題類似問題2，選用較為穩(wěn)妥的方案即是。問題4：此問題將在

10、模型優(yōu)缺點(diǎn)分析中講述。 模型求解問題1： 依題目所給的數(shù)據(jù)，, 。 問題2： 依題目A隊(duì)所給的數(shù)據(jù)， 所以A隊(duì)最穩(wěn)妥的方案是出場順序。 依題目B隊(duì)所給的數(shù)據(jù) 所以B隊(duì)最穩(wěn)妥的出場順序是出場順序。所以當(dāng)A隊(duì)以，B隊(duì)以出場順序，時(shí)，找到對應(yīng)的R2，或者Q2矩陣，得知，最終將是A隊(duì)獲勝。問題3： 由問題2，知在穩(wěn)妥的方案下，A隊(duì)獲勝的概率為1，所以會(huì)選用以 的出場順序參賽。問題4： 此問題將在模型優(yōu)缺點(diǎn)分析中講述。模型優(yōu)缺點(diǎn)分析比賽為五戰(zhàn)三勝制，但矩陣R 中的元素卻是在打滿五局的情況下得到的，這樣的數(shù)據(jù)處理和預(yù)測方式優(yōu)點(diǎn)也有缺點(diǎn)。優(yōu)點(diǎn)： 雖是在打滿五局的情況下得到的，但是可以推測兩隊(duì)的實(shí)力情況，進(jìn)而

11、指導(dǎo)出場方案。缺點(diǎn)： 這只是在打滿五局的情況下得到的，并不符合實(shí)際參賽規(guī)格，因此以上處理也僅供參考，但并不能完全憑借。 建模的推廣及進(jìn)一步討論 數(shù)學(xué)建模隨著人類的進(jìn)步，科技的發(fā)展和社會(huì)的日趨數(shù)字化，應(yīng)用領(lǐng)域越來越廣泛，人們身邊的數(shù)學(xué)內(nèi)容越來越豐富。強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)應(yīng)用及培養(yǎng)應(yīng)用數(shù)學(xué)意識對推動(dòng)素質(zhì)教育的實(shí)施意義十分巨大。數(shù)學(xué)建模在數(shù)學(xué)教育中的地位被提到了新的高度，通過數(shù)學(xué)建模解數(shù)學(xué)應(yīng)用題，提高學(xué)生的綜合素質(zhì)。眾所周知，任何項(xiàng)目的體育比賽，其結(jié)果都會(huì)受到許多有關(guān)因素的影響，而這些因素又可以分為兩類：一類是隨機(jī)因素，例如參賽各方的臨場發(fā)揮，比賽時(shí)的天氣情況等；另一類是確定性因素，例如參賽各方的總體實(shí)力，比賽

12、所采用的規(guī)則、賽制等。由于隨機(jī)因素是人們無法控制的，所以人們總是在確定性因素例如比賽規(guī)則方面經(jīng)常改進(jìn)，以使得比賽更加精彩合理。作為體育賽事的組織者，除了盡可能地使參賽各方在平等條件下進(jìn)行競爭之外，很重要的目標(biāo)之一就是設(shè)法使比賽結(jié)果最大限度地體現(xiàn)出各隊(duì)的真實(shí)水平。從數(shù)學(xué)觀點(diǎn)看，就是要使得比賽中強(qiáng)隊(duì)獲勝的概率達(dá)到最大。就比賽中采用的規(guī)則而言，許多項(xiàng)目的比賽經(jīng)常采用五局三勝制。而在“乒乓球賽”數(shù)學(xué)模型是通過參賽人出場順序來探討如何有效地獲取更大幾率的勝利，在奧運(yùn)會(huì)中，乒乓球賽是以五局三勝制來決定勝負(fù)，五局三勝制更能體現(xiàn)運(yùn)動(dòng)員的綜合能力, 乒乓的建模問題與數(shù)學(xué)的建模問題聯(lián)合起來看的，可以通過以往的經(jīng)驗(yàn)

13、，在憑借以往的數(shù)據(jù)上通過計(jì)算預(yù)測對方和自身的實(shí)力，這樣從而更好指導(dǎo)現(xiàn)實(shí)中生活，有計(jì)劃、準(zhǔn)備的訓(xùn)練隊(duì)員，這在現(xiàn)實(shí)生活中是非常有必要的。 針對其他賽事，如網(wǎng)球，排球，以及其他的，我們也可以采取上述類似的方案，建立相應(yīng)的模型，從而找到優(yōu)解。 九、參考文獻(xiàn)【1】陳汝棟,于延榮. 數(shù)學(xué)模型與數(shù)學(xué)建模（第2版）國防工業(yè)出版社2009.5 【2】羅萬成. 大學(xué)生數(shù)學(xué)建模案例精選 M.成都：西南交通大學(xué)出版社，2007。 【3】李尚志. 數(shù)學(xué)建模競賽教程 M.江蘇：江蘇教育出版社 1996 【4】馬莉. 數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)與建模清華大學(xué)出版社 2010.1 【5】百度文庫。4、 附錄數(shù)學(xué)建模評分表學(xué)生姓名：_、_、_ 班級：_學(xué)號：數(shù)學(xué)建模題目：項(xiàng)目內(nèi)容滿分實(shí)評選題能結(jié)合所學(xué)課程知識、有一定的能力訓(xùn)練。符合選題要求。（3人一題）5工作量適中，難易度合理10能力水平能熟練應(yīng)用所學(xué)知識，有一定查閱文獻(xiàn)及運(yùn)用文獻(xiàn)資料能力10理論依據(jù)充分，數(shù)據(jù)準(zhǔn)確，公式推導(dǎo)正確10能編程，資料搜集錄入、加工、排版、