數(shù)學(xué)人教版八年級上冊最短路徑問題課件.ppt

1、第十三章 軸對稱,13.4 課題學(xué)習(xí) 最短路徑問題,如圖所示：從A地到B地有三條路可供選擇，你會選擇哪條路距離最短？你的理由是什么？,兩點(diǎn)之間線段最短,探究一：最短路徑問題的概念 1 提出問題：,探究一：最短路徑問題的概念,(2)圖中點(diǎn)C與直線AB上所有的連線中哪條線最短？,“連接直線外一點(diǎn)與直線上各點(diǎn)的所有線段中，垂線段最短”,引言： 關(guān)于“兩點(diǎn)的所有連線中，線段最短”、“連接直線外一點(diǎn)與直線上各點(diǎn)的所有線段中，垂線段最短”等的問題，我們稱它們?yōu)樽疃搪窂絾栴}現(xiàn)實生活中經(jīng)常涉及到選擇最短路徑的問題，本節(jié)將利用數(shù)學(xué)知識探究數(shù)學(xué)史中著名的“將軍飲馬題”；和“造橋選址題”。,引入新知,【學(xué)習(xí)目標(biāo)】

2、利用軸對稱、平移變換等轉(zhuǎn)化思想，結(jié)合線段公理解決最短路徑問題。 【學(xué)習(xí)重、難點(diǎn)】通過軸對稱、平移解決將軍飲馬和造橋選址的最短路徑問題;如何理解通過軸對稱、平移解決將軍飲馬和造橋選址的路徑一定是最短.,134課題學(xué)習(xí)最短路徑問題,相傳，古希臘亞歷山大里亞城里有一位久負(fù)盛名的學(xué)者，名叫海倫有一天，一位將軍專程拜訪海倫，求教一個百思不得其解的問題：,探索新知,問題一： 從圖中的A 地出發(fā)，到一條筆直的河邊l 飲馬，然后到B 地到河邊什么地方飲馬可使他所走的路線全程最短？,探索新知,精通數(shù)學(xué)、物理學(xué)的海倫稍加思索，利用軸對稱的 知識回答了這個問題這個問題后來被稱為“將軍飲馬 問題” 你能將這個問題抽象

3、為數(shù)學(xué)問題嗎？,探索新知,問1這是一個實際問題，你打算首先做什么？,將A，B 兩地抽象為兩個點(diǎn)，將河l 抽象為一條直 線,探索新知,探索新知,問2你能用自己的語言說明這個問題的意思， 并把它抽象為數(shù)學(xué)問題嗎？,（3）現(xiàn)在的問題是怎樣找出使兩條線段長度之和為最 短的直線l上的點(diǎn)設(shè)C 為直線上的一個動點(diǎn)，上 面的問題就轉(zhuǎn)化為：當(dāng)點(diǎn)C 在l 的什么位置時， AC 與CB 的和最小（如圖）,問1對于問題2，如何 將點(diǎn)B“移”到l 的另一側(cè)B 處，滿足直線l 上的任意一點(diǎn) C，都保持CB 與CB的長度 相等？,探索新知,問題2 如圖，點(diǎn)A，B 在直線l 的同側(cè)，點(diǎn)C 是直 線上的一個動點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)C 在l

4、的什么位置時，AC 與CB 的和最?。?問2你能利用軸對稱的 有關(guān)知識，找到上問中符合條 件的點(diǎn)B嗎？,探索新知,問題2 如圖，點(diǎn)A，B 在直線l 的同側(cè)，點(diǎn)C 是直 線上的一個動點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)C 在l 的什么位置時，AC 與CB 的和最小？,作法： （1）作點(diǎn)B 關(guān)于直線l 的對稱 點(diǎn)B； （2）連接AB，與直線l 相交 于點(diǎn)C 則點(diǎn)C 即為所求,探索新知,問題2 如圖，點(diǎn)A，B 在直線l 的同側(cè)，點(diǎn)C 是直 線上的一個動點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)C 在l 的什么位置時，AC 與CB 的和最??？,探索新知,問題3你能用所學(xué)的知識證明AC +BC最短嗎？,證明：如圖，在直線l 上任取一點(diǎn)C（與點(diǎn)C 不 重合），連接A

5、C，BC，BC 由軸對稱的性質(zhì)知， BC =BC，BC=BC AC +BC = AC +BC = AB， AC+BC = AC+BC,探索新知,問題3你能用所學(xué)的知識證明AC +BC最短嗎？,探索新知,問題3你能用所學(xué)的知識證明AC +BC最短嗎？,證明：在ABC中， ABAC+BC， AC +BCAC+BC 即AC +BC 最短,問題二（造橋選址問題）如圖13.4-6,A和B兩地在一條河的兩岸,現(xiàn)要在河上造一座橋MN.橋造在何處可使從A到B的路徑AMNB最短?（假定河的兩岸是平行的直線,橋要與河垂直.),將實際問題中A，B兩地與筆直的河L抽象成點(diǎn)A.點(diǎn)B和直線a,b如圖8,橋MN建在何處時，

6、才能使AM+MN+NB最短呢？因為河的寬度MN是不變的，所以問題就轉(zhuǎn)化為求AM+NB最短。怎樣找出點(diǎn)M和點(diǎn)N的位置呢？事實上MN 與河兩邊垂直。因此只要找出M，N其中一點(diǎn)的位置就可確定另一點(diǎn)的位置。以在直線b上確定N點(diǎn)為例,AM+NB最短，要先確定點(diǎn)N在直線b的位置，如果我先將A點(diǎn)往直線a的垂直方向平移MN個單位后到A，由于MN垂直直線a，N點(diǎn)就是M點(diǎn)往直線b的垂直方向平移MN個單位后到的點(diǎn)，由圖形平移后的對應(yīng)點(diǎn)之間的線段是平行且相等的，得到AM=AN. AM+NB最短即AN+NB最短. 轉(zhuǎn)變成了直線b上是找到一點(diǎn)N，使A N+NB最短,連結(jié)A,B,與直線b相交的一點(diǎn)為N點(diǎn),A,B,b,M,N

7、,a,A,A,B,b,M,N,A,圖11,將A點(diǎn)往直線a的垂直方向平移MN個單位后到A，連結(jié)A,B,與直線b相交的一點(diǎn)為N點(diǎn),再過N點(diǎn)作NM a,與直線a的交點(diǎn)為M. 即MN為所求AM+MN+NB最短的位置（如圖）.,a,作圖過程：,提出疑問 這線段NM的位置就一定是A點(diǎn)到B點(diǎn)之間最短的嗎？,在直線a,b上再取兩點(diǎn)M,N與M,N不重合.（如圖12） 求證：AM+MN+NBAM+MN+NB,A,B,b,M,N,A,a,M,N,圖12,證明：把A點(diǎn)往直線a的垂直方向平移MN個單位后有了A,N為M點(diǎn)平移后的，N為M平移后，由圖形平移后對應(yīng)點(diǎn)間的線段平行且相等得到：,最短路徑問題,又 在,當(dāng)堂檢測1：

8、,某供電部門準(zhǔn)備在輸電主干線L上連接一個分支線路，分支點(diǎn)為M，同時向新落成的A，B兩個居民小區(qū)送電， （1）如果居民小區(qū)A，B在主干線L的兩旁，如圖1所示，那么分支點(diǎn)M在什么地方時總線路最短 （2）如果居民小區(qū)A，B在主干線L的同旁，如圖2所示，那么分支點(diǎn)M在什么地方時總線路最短,A,B,M,圖1,l,l,A,B,M,圖2,最短路徑問題,當(dāng)堂檢測2：,如圖，A、B兩地之間有兩條河，現(xiàn)要在兩條河上各造一座橋MN和PQ.橋分別建在何處才能使從A到B的路徑最短？（假定河的兩岸是平行的直線，橋要與河岸垂直）,最短路徑問題,歸納小結(jié),（1）本節(jié)課研究問題的基本過程是什么？ （2）軸對稱、平移在所研究問題

9、中起什么作用？解決問題中,我們應(yīng)用了哪些數(shù)學(xué)思想方法?你還有哪些收獲?,本節(jié)課以數(shù)學(xué)史中的一個經(jīng)典問題“將軍飲馬問題”為載體開展對“最短路徑問題”的課題研究，經(jīng)歷將實際問題抽象為數(shù)學(xué)的線段和最小問題，在利用軸對稱和平移將線段和最小問題轉(zhuǎn)化為“兩點(diǎn)之間線段最短”（或三角形兩邊之和大于第三邊）問題； 。,歸納小結(jié),1.已知直線L上一動點(diǎn)和直線外一定點(diǎn)求最短路徑，過定點(diǎn)作直線L的垂線段，垂線段即為最短路徑，其理論依據(jù)是,“連接直線外一點(diǎn)與直線上各點(diǎn)的所有線段中，垂線段最短.,2.已知直線L上一動點(diǎn)和直線L外兩定點(diǎn) （1）當(dāng)兩定點(diǎn)在L的異側(cè) 得最短路徑； （2）當(dāng)兩定點(diǎn)在L同側(cè)，作其中一定點(diǎn)的 ，轉(zhuǎn)化為（1）的情況在連線得最短路徑,連接兩點(diǎn)之間線段長度,對稱點(diǎn),4.在解決最短路徑問題時，我們常利用 等變化把已知問題轉(zhuǎn)化為容易解決的數(shù)學(xué)問題，從而作出最短路徑。,軸對稱和平移,3.已知兩條平行線和兩線異側(cè)兩個定點(diǎn)問題：再利用,利用平移圖形將平行線間的距離平行移動,兩點(diǎn)之間線段最短解決最