第三章――傅里葉變換

1、第三章 傅里葉變換3.1周期信號的傅里葉級數分析（一） 三角函數形式的傅里葉級數滿足狄利赫里條件的周期函數可由三角函數的線性組合來表示，若的周期為，角頻率，頻率，傅里葉級數展開表達式為各諧波成分的幅度值按下式計算 其中狄利赫里條件：（1） 在一個周期內，如果有間斷點存在，則間斷點的數目應是有限個；（2） 在一個周期內，極大值和極小值的數目應是有限個；（3） 在一個周期內，信號是絕對可積的，即等于有限值。（二） 指數形式的傅里葉級數周期信號的傅里葉級數展開也可以表示為指數形式，即其中其中為從到的整數。（三） 函數的對稱性與傅里葉系數的關系（1） 偶函數由于為偶函數，所以為奇函數，則所以，在偶函數

2、的傅里葉級數中不會含有正弦項，只可能含有直流項和余弦項。（2） 奇函數由于為奇函數，所以為奇函數，則 所以，在奇函數的傅里葉級數中不會含有直流項和余弦項，只可能包含正弦項（3） 奇諧函數（） 半波對稱周期函數的傅里葉級數中，只會含有基波和奇次諧波的正、余弦項，而不會含有偶次諧波項，這也是奇諧函數名稱的由來。（四） 傅里葉有限級數與最小方均誤差吉布斯現象：在用有限項傅里葉級數合成原周期函數時，當選取傅里葉有限項級數愈多時，在所合成的波形中出現的峰起愈靠近的不連續(xù)點。當所選取的項數很大時，該峰起值趨于一個常數，它大約等于總跳變值的9%，并從不連續(xù)點開始以起伏振蕩的形式逐漸衰減下去，這種現象通常稱為

3、吉布斯現象。3.2傅里葉變換（一）定義傅里葉正變換：傅里葉逆變換：式中是的頻譜函數，它一般是復函數，可以寫作習慣上把和曲線分別稱為幅度頻譜和相位頻譜。（二）典型非周期信號的傅里葉變換1 單邊指數信號其 ， ， 2 雙邊指數信號其 ， ， 3 符號函數其 ， ， 3.3周期信號的傅里葉變換(一) 正弦、余弦信號的傅里葉變換 由歐拉公式：和可知(二) 一般周期信號的傅里葉變換已知周期信號的周期為，角頻率為，可以將其展開成傅里葉級數其中傅里葉級數的系數為則該周期信號的傅里葉變換為 式表明：周期信號的傅里葉變換是由一些沖激函數組成的，這些周期信號位于信號的諧頻處，每個沖擊的強度等于的傅里葉級數相應系數

4、的倍。例 若單位沖激函數的間隔為，用符號表示周期單位沖激序列，即求單位周期沖激序列的傅里葉級數和傅里葉變換。解 因為是周期函數，所以可以把它展開成傅里葉級數其中于是由上式知所以（三）周期性脈沖序列的傅里葉級數與單脈沖的傅里葉變換的關系 已知周期信號的傅里葉級數是其中，傅里葉系數從周期性脈沖序列中截取一個周期，得到所謂的單脈沖信號，該單脈沖信號的傅里葉變換等于比較周期性脈沖序列的傅里葉級數的系數和單脈沖的傅里葉變換可以得到 式表明：周期性脈沖序列的傅里葉級數的系數等于單脈沖的傅里葉變換在頻率點的值乘以。例 已知周期矩形脈沖信號的幅度為，脈寬為，周期為，角頻率為，求周期矩形脈沖信號的傅里葉級數與傅

5、里葉變換。解 已知矩形脈沖信號的傅里葉變換等于由上式可以求出周期矩形脈沖信號的傅里葉系數這樣，的傅里葉級數為再由上式便可以得到的傅里葉變換，它是3.4抽樣定理（一） 時域抽樣信號的傅里葉變換假設連續(xù)信號的傅里葉變換為 ；抽樣脈沖序列的傅里葉變換為 ；抽樣后信號的傅里葉變換為 。現經分析計算得該式表明：信號在時域被抽樣后，它的頻譜是連續(xù)信號頻譜的形狀以抽樣頻率為間隔周期地重復而得到，在重復的過程中幅度被的傅里葉系數所加權。（二） 頻域抽樣信號的傅里葉變換 已知連續(xù)頻譜函數，對應的時間函數為。若在頻域中被間隔為的沖激序列抽樣，那么抽樣后的頻譜函數所對應的時間函數與的關系如下：該是表明：若的頻譜被間隔為的沖激序列在頻域中抽樣，則在時域中等效于以為周期而重復。（三） 時域抽樣定理一個頻譜受限的信號，如果頻譜只占據的范圍，則信號可以用等間隔的抽樣值唯一地表示，而抽樣間隔必須不大于奈奎斯特間隔（其中），或者說，最低抽