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1、第二十四章 圓,24.1.2垂直于弦的直徑,九年級(jí)數(shù)學(xué)上 新課標(biāo) 人,趙州橋的主橋拱是圓弧形,它的跨度(弧所對(duì)的弦的長)為37m,拱高(弧的中點(diǎn)到弦的距離)為7.23m,你能求趙州橋主橋拱的半徑嗎?,趙州橋(如圖所示)是我國隋代建造的石拱橋,距今約有1400年的歷史,是我國古代人民勤勞與智慧的結(jié)晶.,6.圖形中的已知條件、結(jié)論分別是什么?你能用語言敘述這個(gè)命題嗎?,學(xué) 習(xí) 新 知,共同探究1,在自己課前準(zhǔn)備的紙片上作圖:,1.任意作一條弦AA.,2.過圓心O作弦AA的垂線,得直徑CD交AA于點(diǎn).,3.觀察圖形,你能找到哪些線段相等?,4.你能證明你的結(jié)論嗎?寫出你的證明過程.,5.如果沿著CD
2、折疊,你能不能得到相等的?。?O,A,A,C,D,M,證明:連接、,在中,,,是等腰三角形,,又,,這就是說,對(duì)于圓上任意一點(diǎn),在圓上都有關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn),因此關(guān)于直線對(duì)稱.,即是的垂直平分線,結(jié)論證明,即直徑CD平分弦A 并且平分 及,把圓沿著直徑CD折疊時(shí),CD兩側(cè)的兩個(gè)半圓重合,點(diǎn)A與點(diǎn)A重合, 、 分別與 、 重合,O,A,A,C,D,M,垂徑定理:垂直于弦的直徑平分弦,并且平分弦所對(duì)的兩條弧,A,共同探究2,2.條件改為:過圓心,平分弦. 結(jié)論改為:垂直于弦,平分弦所對(duì)的劣弧,平分弦所對(duì)的優(yōu)弧. 這個(gè)命題正確嗎?結(jié)合上邊的圖形說明.,思考: .垂徑定理的條件和結(jié)論分別是什么?,條件:
3、過圓心,垂直于弦. 結(jié)論:平分弦,平分弦所對(duì)的劣弧,平分弦所對(duì)的優(yōu)弧.,3.你能用語言敘述這個(gè)結(jié)論嗎? 4.為什么要求“弦不是直徑”?否則會(huì)出現(xiàn)什么情況?,推論:平分弦(不是直徑)的直徑垂直于弦,并且平分弦所對(duì)的兩條弧.,共同探究3,教材例2講解 共同分析: 1.如何根據(jù)趙州橋的實(shí)物圖畫出幾何圖形? 2.結(jié)合所畫圖形思考: (1)橋的跨度是弧所在圓的 ,弧的中點(diǎn)到弦的距離是 ,它與所在圓的 半徑之間的關(guān)系是 . (2)如何找到弧的中點(diǎn)?,(3)如何把圓的半徑轉(zhuǎn)化為三角形中的線段? (4)構(gòu)造的直角三角形中三邊之間有什么特點(diǎn)? (5)直角三角形中已知一邊、另外兩邊之間的關(guān)系,如何求另兩邊長?,解
4、得:R273(m),在RtOAD中,由勾股定理,得,即 R2=18.52+(R7.23)2,趙州橋的主橋拱半徑約為27.3m.,OA2 = AD2 + OD2,OD = OCCD = R7.23m,由題意可知 AB=37m,CD=7.23m,,解:如圖,用 表示主橋拱,設(shè) 所在圓的圓心為O,半徑為R經(jīng)過圓心O 作弦AB 的垂線OC,D為垂足,OC與AB 相交于點(diǎn)D,根據(jù)前面的結(jié)論,D是AB的中點(diǎn),C是 的中點(diǎn),CD就是拱高,思考: 1.在圓中解決有關(guān)弦的問題,常作什么輔助線? 2.在圓中解決有關(guān)弦的問題,常用什么方法?,1.圓是軸對(duì)稱圖形,任何一條直徑所在直線都是圓的對(duì)稱軸. 2.垂徑定理和推
5、論及它們的應(yīng)用. 3.垂徑定理和勾股定理相結(jié)合,將圓的問題轉(zhuǎn)化為直角三角形問題. 3.圓中常作輔助線連半徑、過圓心作弦的垂線.,課堂小結(jié),檢測(cè)反饋,解析:由垂徑定理可知B、D均成立;由OCEODE可得A也成立不一定成立的是OE=BE故選C,O,C,D,A,B,E,1.如圖所示,AB是O的直徑,CD是弦,CDAB于點(diǎn)E,則下列結(jié)論不一定成立的是( ) A.COEDOE B.CEDE C.OEBE D.,C,2.如圖,已知O的半徑為13,弦AB長為24,則點(diǎn)O到AB的距離是( ) A.6 B.5 C.4 D.3,B,解析:過O作OCAB于C,OC過O, AC=BC= AB=12,在RtAOC中,
6、由勾股定理得: 故選B.,3.如圖所示,P為O內(nèi)一點(diǎn),OP=3cm,O半徑為5cm,則經(jīng)過P點(diǎn)的最短弦長為_;最長弦長為_,8cm,10cm,解析:當(dāng)弦與OP垂直時(shí),弦最短,連接OA,由勾股定理可得,AP= =4,OPAB,AB=2AP=8,最短弦為8cm.過P點(diǎn)經(jīng)過圓心的弦最長為直徑,最長弦為10cm故填8cm,10cm.,4.如圖,AB是O的弦,半徑OCAB于點(diǎn)D. (1)若AB=8cm,OC=5cm,求CD的長; (2)若OC=5cm,OD=3cm,求AB的長; (3)若AB=8cm,CD=2cm,求O的半徑.,(3)設(shè)O的半徑為r,則OD=r-2,OCAB,AD= AB=4cm,在RtOAD中,OA2=DO2+AD2,r2=(r-2)2+42,解得r=5,O的半徑為5cm.,解:連接OA
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