清華大學(xué)幾代期末考試試卷及答案

1、.清華大學(xué)大學(xué)幾何與代數(shù)期末考試題一、填空題（將正確答案填在題中橫線(xiàn)上。每小題2 分，共 10 分）1311. 若 05x0 ，則_。122x1x2x302若齊次線(xiàn)性方程組x1x2x30 只有零解，則應(yīng)滿(mǎn)足。x1x2x303已知矩陣 a，b， c(cij ) s n ，滿(mǎn)足 accb ，則 a 與 b 分別是階矩陣。a11a124矩陣 aa21a22的行向量組線(xiàn)性。a31a325 n 階方陣 a 滿(mǎn)足 a23a e0 ，則 a 1。二、判斷正誤（正確的在括號(hào)內(nèi)填“”，錯(cuò)誤的在括號(hào)內(nèi)填“”。每小題 2 分，共 10 分）1.若行列式 d 中每個(gè)元素都大于零，則d 0 。（）2.零向量一定可以表示

2、成任意一組向量的線(xiàn)性組合。（）3.向量組 a1， a2， ， am 中，如果 a1 與 am 對(duì)應(yīng)的分量成比例，則向量組a1， a2， ， as 線(xiàn)性相關(guān)。（）01004.1000，則 a 1a 。（a001）000105.若 為可逆矩陣 a 的特征值，則 a1 的特征值為。 ( )三、單項(xiàng)選擇題 (每小題僅有一個(gè)正確答案，將正確答案題號(hào)填入括號(hào)內(nèi)。每小題2 分，共 10 分 )1.設(shè) a 為 n 階矩陣，且a2 ，則 a at（）。 2n2 n 1 2n 1 42.n 維向量組1，2， ，s （3sn ）線(xiàn)性無(wú)關(guān)的充要條件是（）。 1， 2， ， s 中任意兩個(gè)向量都線(xiàn)性無(wú)關(guān) 1， 2， ，

3、 s 中存在一個(gè)向量不能用其余向量線(xiàn)性表示 1， 2， ， s 中任一個(gè)向量都不能用其余向量線(xiàn)性表示. 1， 2， ， s 中不含零向量3. 下列命題中正確的是 ( )。 任意 n 個(gè) n 1 維向量線(xiàn)性相關(guān) 任意 n 個(gè) n 1 維向量線(xiàn)性無(wú)關(guān) 任意 n 1個(gè) n 維向量線(xiàn)性相關(guān) 任意 n 1個(gè) n 維向量線(xiàn)性無(wú)關(guān)4. 設(shè) a ， b 均為 n階方陣，下面結(jié)論正確的是 ( )。若 a ， b 均可逆，則 ab 可逆 若 a， b 均可逆，則a b 可逆若 a b 可逆，則ab 可逆 若 ab 可逆，則a ， b 均可逆5. 若1，2，3，4 是線(xiàn)性方程組 a0 的基礎(chǔ)解系，則 1 234 是

4、 a0 的（）解向量 基礎(chǔ)解系 通解 a 的行向量四、計(jì)算題(每小題 9 分，共 63 分 )xabcd1. 計(jì)算行列式axbcd。abx cdabcx d3012. 設(shè) aba 2b ，且 a 110, 求 b 。014110021343. 設(shè) b0110,c0213且矩陣滿(mǎn)足關(guān)系式 x (c b)e, 求 。0011002100010002a11224. 問(wèn) a 取何值時(shí)，下列向量組線(xiàn)性相關(guān)？111,2a , 3。2121a22x1x2x335.為何值時(shí)，線(xiàn)性方程組x1x2x32有唯一解，無(wú)解和有無(wú)窮多解？當(dāng)方程組有無(wú)窮多x1x2x32解時(shí)求其通解。.12136. 設(shè) 14, 29, 30

5、1011,4. 求此向量組的秩和一個(gè)極大無(wú)關(guān)組，并將其余向370317量用該極大無(wú)關(guān)組線(xiàn)性表示。1007.設(shè) a010 ，求 a 的特征值及對(duì)應(yīng)的特征向量。021五、證明題(7分 )若a是n階方陣，且aai，證明a i 0。其中i為單位矩陣。a1，.試題答案一、填空題1. 52.13.ss， nn4.相關(guān)5. a 3e二、判斷正誤1.2.3.4.5.三、單項(xiàng)選擇題1.2.3.4.5.四、計(jì)算題1.x abcdx a b c dbcdax bcdx a b c d x bcdabx cdxabcdbx cdabcx d xabcdbcx d1bcd1bcd1x bcd0x003( x a b c

6、 d )bx cd( x a b c d )0x(x a b c d ) x1001bcx d000x2.211522( a 2e)b a( a 2e) 1221， b ( a 2e) 1 a4321112233.123410000123，b )2100c b012(c3210000014321c b 1000100012 100 ， x e c b 12 1001210121001210121.4.a1122a1， a2，a31a11 ( 2a 1)2 (2a2) 當(dāng) a1或 a1 時(shí)，向量組 a1， a2， a3 線(xiàn)性相212821a22關(guān)。5. 當(dāng)1且2 時(shí)，方程組有唯一解；當(dāng)2時(shí)方程組無(wú)解211當(dāng)1時(shí)，有無(wú)窮多組解，通解為0c11c200016.121312131213( a1， a2， a3， a4 )4901001420142113703410001616031703170013131002010200110000則 ra1， a2， a3， a43 ，其中 a1， a2， a3 構(gòu)成極大無(wú)關(guān)組， a4