橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程講義

1、橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程一、知識(shí)點(diǎn)分析橢圓的定義和標(biāo)準(zhǔn)方程，是整個(gè)解析幾何圓錐曲線部分的重要基礎(chǔ)知識(shí)，在天津的高考中占用重要的地位。這一節(jié)課是在圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程的基礎(chǔ)上，將研究曲線的方法拓展到橢圓，同時(shí)也為雙曲線和拋物線的學(xué)習(xí)打下基礎(chǔ)。二、教學(xué)過程1. 認(rèn)識(shí)橢圓1）引入問題：衛(wèi)星運(yùn)行的軌跡是什么形狀？周圍有哪些類似橢圓的東西？學(xué)生思考：橢圓是滿足什么條件的點(diǎn)的軌跡（集合）呢？2）實(shí)驗(yàn)探究：固定一條細(xì)繩的兩端，用筆尖將細(xì)繩拉緊并運(yùn)動(dòng)，在紙上你得到了怎樣的圖形（如圖1）？思考：根據(jù)上面探究實(shí)踐回答，橢圓是滿足什么條件的點(diǎn)的軌跡？圖1 筆尖繪制示意圖橢圓定義：平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)、距離的和等于常數(shù)（大于）的點(diǎn)的軌

2、跡叫橢圓。兩個(gè)定點(diǎn)叫橢圓的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)的距離叫橢圓的焦距。2. 橢圓的方程1）類比探究：以圓為例介紹建立曲線方程的方法：a）求曲線方程的一般步驟是什么？b）建立坐標(biāo)系的一般原則有哪些？注：求曲線方程的一般步驟建系設(shè)點(diǎn)、寫出點(diǎn)集、列出方程、化簡方程；建系的一般原則為：使已知點(diǎn)的坐標(biāo)和曲線的方程盡可能簡單，即原點(diǎn)取在定點(diǎn)或定線段的中點(diǎn)，坐標(biāo)軸取在定直線上或圖形的對(duì)稱軸上，充分利用圖形的對(duì)稱性。2）推導(dǎo)方程：如圖已知焦點(diǎn)為、的橢圓，且，對(duì)橢圓上任一點(diǎn)M，有，嘗試推導(dǎo)橢圓的方程。a）建系設(shè)點(diǎn)思考：怎樣建立坐標(biāo)系，才能使求出的橢圓方程最為簡單？ 圖2 焦點(diǎn)在x軸上的橢圓 圖3 焦點(diǎn)在y軸上的橢圓 （注：

3、圖2與圖3為兩種常用的坐標(biāo)系。）先以圖2的坐標(biāo)系為例，進(jìn)行橢圓方程的推導(dǎo)。以兩定點(diǎn)F1、F2的連線為x軸，以線段F1F2的垂直平分線為y軸，建立坐標(biāo)系如圖2所示。設(shè)M (x，y)為橢圓上任意一點(diǎn)，| F1F2 |=2c(c0) ，則有F1（c、0）、F2 (c、0)，又設(shè)M與F1、M與F2的距離的和等于常數(shù)2a(a0)。（注：因?yàn)檎_選取坐標(biāo)系是解析幾何解題的基本技巧之一，應(yīng)著重培養(yǎng)學(xué)生這方面的能力。）b）寫出點(diǎn)集：利用兩點(diǎn)間的距離公式，然后根據(jù)橢圓的定義可以列出：。c）列出方程：。（注：到此為止，橢圓的方程已求出，只需簡化。）d）化簡方程：首先讓學(xué)生明確，含根號(hào)的等式化簡的目的就是要去掉根號(hào)

4、，變無理式為有理式；其次復(fù)習(xí)含有一個(gè)根式的等式的化簡方法將根式放在等式的一邊，其它項(xiàng)移到等式另一邊，兩邊平方可去掉根號(hào)；有了這一基礎(chǔ)，可啟發(fā)學(xué)生，化簡含兩個(gè)根式之和的等式，只要將兩個(gè)根式分別放在等號(hào)兩邊，其中一邊只含一個(gè)根式，平方一次后即可轉(zhuǎn)化為只含一個(gè)根式的化簡問題。引導(dǎo)學(xué)生化簡到，指出：此方程形式還不夠簡捷，還有變形的必要。先簡化。令則方程變?yōu)?，?lián)想到直線截距式方程，兩邊同時(shí)除以得，便得到了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程。此時(shí)橢圓的焦點(diǎn)在軸上， 、，這里。接下來，引導(dǎo)學(xué)生對(duì)圖3所示的坐標(biāo)系進(jìn)行橢圓方程的推導(dǎo)。此時(shí)橢圓的焦點(diǎn)在y軸上，焦點(diǎn)是、，可推導(dǎo)出方程綜上，我們所得的兩個(gè)方程和都是橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程。（注：

5、橢圓是不是只有這兩種方程？）3. 橢圓的幾何性質(zhì)通過觀察橢圓的圖形與方程，可以得出下列性質(zhì)：1）對(duì)稱性：關(guān)于x軸對(duì)稱，y軸對(duì)稱，關(guān)于原點(diǎn)中心對(duì)稱。2）橢圓焦點(diǎn)的位置由標(biāo)準(zhǔn)方程中分母的大小確定；3）范圍：焦點(diǎn)在x軸上-axa -byb；焦點(diǎn)在y軸上-bx-b -aya；4）橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程中三個(gè)參數(shù)關(guān)系：；5）離心率e=c/a: 離心率范圍：0e1。離心率越大越接近于圓，越小則橢圓就越扁。（注：當(dāng)e=0時(shí)，曲線變?yōu)榱?？?dāng)e=1時(shí)，曲線變?yōu)榱?？?. 課后習(xí)題1）設(shè)橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，是上的點(diǎn)，則的離心率為（ ）2）已知中心在原點(diǎn)的橢圓C的右焦點(diǎn)為，離心率等于，則C的方程是（ ）3）已知橢圓的左焦點(diǎn)為，與過原點(diǎn)的直線相交于兩點(diǎn)，連接若，則的離心率4）已知橢圓的左焦點(diǎn)為F,C與過原點(diǎn)的直線相交于A,B兩點(diǎn),連接AF,BF. 若|AB|=10,|BF|=8,cosABF=,則C的離心率為()5）已知?jiǎng)狱c(diǎn)M(x,y)到直線l:x=4的距離是它到點(diǎn)N(1,0)的距離的2倍. (1) 求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡C的方程; (2) 過點(diǎn)P(0,3)的直線m與軌跡C交于A, B兩點(diǎn). 若A是PB的中點(diǎn), 求直線m的斜率. 三、總結(jié)通