隨機(jī)時(shí)間序列分析模型講義(PPT 69頁(yè)).ppt

1、9.2 隨機(jī)時(shí)間序列分析模型,一、時(shí)間序列模型的基本概念及其適用性 二、隨機(jī)時(shí)間序列模型的平穩(wěn)性條件 三、隨機(jī)時(shí)間序列模型的識(shí)別 四、隨機(jī)時(shí)間序列模型的估計(jì) 五、隨機(jī)時(shí)間序列模型的檢驗(yàn),經(jīng)典計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)模型與時(shí)間序列模型 確定性時(shí)間序列模型與隨機(jī)性時(shí)間序列模型,一、時(shí)間序列模型的基本概念及其適用性,1、時(shí)間序列模型的基本概念,隨機(jī)時(shí)間序列模型（time series modeling）是指僅用它的過去值及隨機(jī)擾動(dòng)項(xiàng)所建立起來的模型，其一般形式為 Xt=F(Xt-1, Xt-2, , t) 建立具體的時(shí)間序列模型，需解決如下三個(gè)問題： (1)模型的具體形式 (2)時(shí)序變量的滯后期 (3)隨機(jī)擾動(dòng)項(xiàng)

2、的結(jié)構(gòu) 例如，取線性方程、一期滯后以及白噪聲隨機(jī)擾動(dòng)項(xiàng)（ t =t），模型將是一個(gè)1階自回歸過程AR(1)： Xt=Xt-1+ t 這里， t特指一白噪聲。,一般的p階自回歸過程AR(p)是 Xt=1Xt-1+ 2Xt-2 + + pXt-p + t (*),(1)如果隨機(jī)擾動(dòng)項(xiàng)是一個(gè)白噪聲(t=t)，則稱(*)式為一純AR(p)過程（pure AR(p) process），記為 Xt=1Xt-1+ 2Xt-2 + + pXt-p +t (2)如果t不是一個(gè)白噪聲，通常認(rèn)為它是一個(gè)q階的移動(dòng)平均（moving average）過程MA(q)： t=t - 1t-1 - 2t-2 - - qt-

3、q 該式給出了一個(gè)純MA(q)過程（pure MA(p) process）。,將純AR(p)與純MA(q)結(jié)合，得到一個(gè)一般的自回歸移動(dòng)平均（autoregressive moving average）過程ARMA（p,q）：,Xt=1Xt-1+ 2Xt-2 + + pXt-p + t - 1t-1 - 2t-2 - - qt-q,該式表明： （1）一個(gè)隨機(jī)時(shí)間序列可以通過一個(gè)自回歸移動(dòng)平均過程生成，即該序列可以由其自身的過去或滯后值以及隨機(jī)擾動(dòng)項(xiàng)來解釋。 （2）如果該序列是平穩(wěn)的，即它的行為并不會(huì)隨著時(shí)間的推移而變化，那么我們就可以通過該序列過去的行為來預(yù)測(cè)未來。 這也正是隨機(jī)時(shí)間序列分析模

4、型的優(yōu)勢(shì)所在。,經(jīng)典回歸模型的問題： 迄今為止，對(duì)一個(gè)時(shí)間序列Xt的變動(dòng)進(jìn)行解釋或預(yù)測(cè)，是通過某個(gè)單方程回歸模型或聯(lián)立方程回歸模型進(jìn)行的，由于它們以因果關(guān)系為基礎(chǔ)，且具有一定的模型結(jié)構(gòu)，因此也常稱為結(jié)構(gòu)式模型（structural model）。 然而，如果Xt波動(dòng)的主要原因可能是我們無法解釋的因素，如氣候、消費(fèi)者偏好的變化等，則利用結(jié)構(gòu)式模型來解釋Xt的變動(dòng)就比較困難或不可能，因?yàn)橐〉孟鄳?yīng)的量化數(shù)據(jù)，并建立令人滿意的回歸模型是很困難的。 有時(shí)，即使能估計(jì)出一個(gè)較為滿意的因果關(guān)系回歸方程，但由于對(duì)某些解釋變量未來值的預(yù)測(cè)本身就非常困難，甚至比預(yù)測(cè)被解釋變量的未來值更困難，這時(shí)因果關(guān)系的回歸模

5、型及其預(yù)測(cè)技術(shù)就不適用了。,2、時(shí)間序列分析模型的適用性,例如，時(shí)間序列過去是否有明顯的增長(zhǎng)趨勢(shì)，如果增長(zhǎng)趨勢(shì)在過去的行為中占主導(dǎo)地位，能否認(rèn)為它也會(huì)在未來的行為里占主導(dǎo)地位呢？ 或者時(shí)間序列顯示出循環(huán)周期性行為，我們能否利用過去的這種行為來外推它的未來走向？ 隨機(jī)時(shí)間序列分析模型，就是要通過序列過去的變化特征來預(yù)測(cè)未來的變化趨勢(shì)。 使用時(shí)間序列分析模型的另一個(gè)原因在于： 如果經(jīng)濟(jì)理論正確地闡釋了現(xiàn)實(shí)經(jīng)濟(jì)結(jié)構(gòu)，則這一結(jié)構(gòu)可以寫成類似于ARMA(p,q)式的時(shí)間序列分析模型的形式。,在這些情況下，我們采用另一條預(yù)測(cè)途徑：通過時(shí)間序列的歷史數(shù)據(jù)，得出關(guān)于其過去行為的有關(guān)結(jié)論，進(jìn)而對(duì)時(shí)間序列未來行為

6、進(jìn)行推斷。,例如，對(duì)于如下最簡(jiǎn)單的宏觀經(jīng)濟(jì)模型：,這里，Ct、It、Yt分別表示消費(fèi)、投資與國(guó)民收入。 Ct與Yt作為內(nèi)生變量，它們的運(yùn)動(dòng)是由作為外生變量的投資It的運(yùn)動(dòng)及隨機(jī)擾動(dòng)項(xiàng)t的變化決定的。,上述模型可作變形如下：,兩個(gè)方程等式右邊除去第一項(xiàng)外的剩余部分可看成一個(gè)綜合性的隨機(jī)擾動(dòng)項(xiàng)，其特征依賴于投資項(xiàng)It的行為。 如果It是一個(gè)白噪聲，則消費(fèi)序列Ct就成為一個(gè)1階自回歸過程AR(1)，而收入序列Yt就成為一個(gè)(1,1)階的自回歸移動(dòng)平均過程ARMA(1,1)。,二、隨機(jī)時(shí)間序列模型的平穩(wěn)性條件,自回歸移動(dòng)平均模型（ARMA）是隨機(jī)時(shí)間序列分析模型的普遍形式，自回歸模型（AR）和移動(dòng)平均

7、模型（MA）是它的特殊情況。 關(guān)于這幾類模型的研究，是時(shí)間序列分析的重點(diǎn)內(nèi)容：主要包括模型的平穩(wěn)性分析、模型的識(shí)別和模型的估計(jì)。,1、AR(p)模型的平穩(wěn)性條件,隨機(jī)時(shí)間序列模型的平穩(wěn)性，可通過它所生成的隨機(jī)時(shí)間序列的平穩(wěn)性來判斷。 如果一個(gè)p階自回歸模型AR(p)生成的時(shí)間序列是平穩(wěn)的，就說該AR(p)模型是平穩(wěn)的， 否則，就說該AR(p)模型是非平穩(wěn)的。,考慮p階自回歸模型AR(p) Xt=1Xt-1+ 2Xt-2 + + pXt-p +t (*),引入滯后算子（lag operator ）L： LXt=Xt-1, L2Xt=Xt-2, , LpXt=Xt-p (*)式變換為 (1-1L-

8、 2L2-pLp)Xt=t,記(L)= (1-1L- 2L2-pLp),則稱多項(xiàng)式方程 (z)= (1-1z- 2z2-pzp)=0 為AR(p)的特征方程(characteristic equation)。 可以證明，如果該特征方程的所有根在單位圓外（根的模大于1），則AR(p)模型是平穩(wěn)的。,例9.2.1 AR(1)模型的平穩(wěn)性條件。,對(duì)1階自回歸模型AR(1),方程兩邊平方再求數(shù)學(xué)期望，得到Xt的方差,由于Xt僅與t相關(guān)，因此，E(Xt-1t)=0。如果該模型穩(wěn)定，則有E(Xt2)=E(Xt-12)，從而上式可變換為：,在穩(wěn)定條件下，該方差是一非負(fù)的常數(shù)，從而有 |1。,而AR(1)的特

9、征方程,的根為 z=1/ AR(1)穩(wěn)定，即 | 1，意味著特征根大于1。,例9.2.2 AR(2)模型的平穩(wěn)性。 對(duì)AR(2)模型,方程兩邊同乘以Xt，再取期望得：,又由于,于是,同樣地，由原式還可得到,于是方差為,由平穩(wěn)性的定義，該方差必須是一不變的正數(shù)，于是有 1+21, 2-11, |2|1,這就是AR(2)的平穩(wěn)性條件，或稱為平穩(wěn)域。它是一頂點(diǎn)分別為（-2,-1），（2,-1），（0,1）的三角形。,對(duì)應(yīng)的特征方程1-1z-2z2=0 的兩個(gè)根z1、z2滿足： z1z2=-1/2 , z1+z2 =-1/2,AR(2)模型,解出1，2,由AR(2)的平穩(wěn)性，|2|=1/|z1|z2|

10、1，有,于是| z2 |1。由 2 - 1 1可推出同樣的結(jié)果。,對(duì)高階自回模型AR(p)來說，多數(shù)情況下沒有必要直接計(jì)算其特征方程的特征根，但有一些有用的規(guī)則可用來檢驗(yàn)高階自回歸模型的穩(wěn)定性：,(1)AR(p)模型穩(wěn)定的必要條件是： 1+2+p1 (2)由于i(i=1,2,p)可正可負(fù)，AR(p)模型穩(wěn)定的充分條件是： |1|+|2|+|p|1,對(duì)于移動(dòng)平均模型MR(q)： Xt=t - 1t-1 - 2t-2 - - qt-q 其中t是一個(gè)白噪聲，于是,2、MA(q)模型的平穩(wěn)性,當(dāng)滯后期大于q時(shí)，Xt的自協(xié)方差系數(shù)為0。 因此:有限階移動(dòng)平均模型總是平穩(wěn)的。,由于ARMA (p,q)模型

11、是AR(p)模型與MA(q)模型的組合： Xt=1Xt-1+ 2Xt-2 + + pXt-p + t - 1t-1 - 2t-2 - - qt-q,3、ARMA(p,q)模型的平穩(wěn)性,而MA(q)模型總是平穩(wěn)的，因此ARMA (p,q)模型的平穩(wěn)性取決于AR(p)部分的平穩(wěn)性。 當(dāng)AR(p)部分平穩(wěn)時(shí)，則該ARMA(p,q)模型是平穩(wěn)的，否則，不是平穩(wěn)的。,最后,（1）一個(gè)平穩(wěn)的時(shí)間序列總可以找到生成它的平穩(wěn)的隨機(jī)過程或模型； （2）一個(gè)非平穩(wěn)的隨機(jī)時(shí)間序列通?？梢酝ㄟ^差分的方法將它變換為平穩(wěn)的，對(duì)差分后平穩(wěn)的時(shí)間序列也可找出對(duì)應(yīng)的平穩(wěn)隨機(jī)過程或模型。 因此，如果我們將一個(gè)非平穩(wěn)時(shí)間序列通過d

12、次差分，將它變?yōu)槠椒€(wěn)的，然后用一個(gè)平穩(wěn)的ARMA(p,q)模型作為它的生成模型，則我們就說該原始時(shí)間序列是一個(gè)自回歸單整移動(dòng)平均（autoregressive integrated moving average）時(shí)間序列，記為ARIMA(p,d,q)。 例如，一個(gè)ARIMA(2,1,2)時(shí)間序列在它成為平穩(wěn)序列之前先得差分一次，然后用一個(gè)ARMA(2,2)模型作為它的生成模型的。 當(dāng)然，一個(gè)ARIMA(p,0,0)過程表示了一個(gè)純AR(p)平穩(wěn)過程；一個(gè)ARIMA(0,0,q)表示一個(gè)純MA(q)平穩(wěn)過程。,三、隨機(jī)時(shí)間序列模型的識(shí)別,所謂隨機(jī)時(shí)間序列模型的識(shí)別，就是對(duì)于一個(gè)平穩(wěn)的隨機(jī)時(shí)間序列

13、，找出生成它的合適的隨機(jī)過程或模型，即判斷該時(shí)間序列是遵循一純AR過程、還是遵循一純MA過程或ARMA過程。 所使用的工具主要是時(shí)間序列的自相關(guān)函數(shù)（autocorrelation function，ACF）及偏自相關(guān)函數(shù)（partial autocorrelation function， PACF ）。,1、AR(p)過程,(1)自相關(guān)函數(shù)ACF 1階自回歸模型AR(1) Xt=Xt-1+ t 的k階滯后自協(xié)方差為：,=1,2,因此，AR(1)模型的自相關(guān)函數(shù)為,=1,2,由AR(1)的穩(wěn)定性知|1，因此，k時(shí)，呈指數(shù)形衰減，直到零。這種現(xiàn)象稱為拖尾或稱AR(1)有無窮記憶（infinite

14、 memory）。 注意， 0時(shí)，呈振蕩衰減狀。,Xt=1Xt-1+ 2Xt-2 + t 該模型的方差0以及滯后1期與2期的自協(xié)方差1, 2分別為,階自回歸模型AR(2),類似地,可寫出一般的k期滯后自協(xié)方差：,(K=2,3,),于是,AR(2)的k 階自相關(guān)函數(shù)為：,(K=2,3,),其中 :1=1/(1-2), 0=1,如果AR(2)穩(wěn)定，則由1+21知|k|衰減趨于零，呈拖尾狀。 至于衰減的形式，要看AR(2)特征根的實(shí)虛性，若為實(shí)根，則呈單調(diào)或振蕩型衰減，若為虛根，則呈正弦波型衰減。,一般地，p階自回歸模型AR(p) Xt=1Xt-1+ 2Xt-2 + pXt-p + t,k期滯后協(xié)方

15、差為:,從而有自相關(guān)函數(shù) :,可見，無論k有多大， k的計(jì)算均與其到p階滯后的自相關(guān)函數(shù)有關(guān)，因此呈拖尾狀。 如果AR(p)是穩(wěn)定的，則|k|遞減且趨于零。,其中：1/zi是AR(p)特征方程(z)=0的特征根，由AR(p)平穩(wěn)的條件知，|zi|1; 因此，當(dāng)1/zi均為實(shí)數(shù)根時(shí)，k呈幾何型衰減（單調(diào)或振蕩）； 當(dāng)存在虛數(shù)根時(shí)，則一對(duì)共扼復(fù)根構(gòu)成通解中的一個(gè)阻尼正弦波項(xiàng)， k呈正弦波衰減。,事實(shí)上，自相關(guān)函數(shù),是一p階差分方程，其通解為,（2）偏自相關(guān)函數(shù),自相關(guān)函數(shù)ACF(k)給出了Xt與Xt-1的總體相關(guān)性，但總體相關(guān)性可能掩蓋了變量間完全不同的隱含關(guān)系。 例如，在AR(1)隨機(jī)過程中，X

16、t與Xt-2間有相關(guān)性可能主要是由于它們各自與Xt-1間的相關(guān)性帶來的:,即自相關(guān)函數(shù)中包含了這種所有的“間接”相關(guān)。 與之相反，Xt與Xt-k間的偏自相關(guān)函數(shù)(partial autocorrelation，簡(jiǎn)記為PACF)則是消除了中間變量Xt-1，Xt-k+1 帶來的間接相關(guān)后的直接相關(guān)性，它是在已知序列值Xt-1，Xt-k+1的條件下，Xt與Xt-k間關(guān)系的度量。,從Xt中去掉Xt-1的影響，則只剩下隨機(jī)擾動(dòng)項(xiàng)t，顯然它與Xt-2無關(guān)，因此我們說Xt與Xt-2的偏自相關(guān)系數(shù)為零，記為,在AR(1)中，,同樣地，在AR(p)過程中，對(duì)所有的kp，Xt與Xt-k間的偏自相關(guān)系數(shù)為零。 AR

17、(p)的一個(gè)主要特征是:kp時(shí)，k*=Corr(Xt,Xt-k)=0 即k*在p以后是截尾的。,一隨機(jī)時(shí)間序列的識(shí)別原則： 若Xt的偏自相關(guān)函數(shù)在p以后截尾，即kp時(shí)，k*=0，而它的自相關(guān)函數(shù)k是拖尾的，則此序列是自回歸AR(p)序列。,在實(shí)際識(shí)別時(shí)，由于樣本偏自相關(guān)函數(shù)rk*是總體偏自相關(guān)函數(shù)k*的一個(gè)估計(jì)，由于樣本的隨機(jī)性，當(dāng)kp時(shí)，rk*不會(huì)全為0，而是在0的上下波動(dòng)。但可以證明，當(dāng)kp時(shí)，rk*服從如下漸近正態(tài)分布: rk*N(0,1/n) 式中n表示樣本容量。 因此，如果計(jì)算的rk*滿足,需指出的是，,我們就有95.5%的把握判斷原時(shí)間序列在p之后截尾。,對(duì)MA(1)過程,2、MA

18、(q)過程,可容易地寫出它的自協(xié)方差系數(shù)：,于是，MA(1)過程的自相關(guān)函數(shù)為：,可見，當(dāng)k1時(shí)，k0，即Xt與Xt-k不相關(guān)，MA(1)自相關(guān)函數(shù)是截尾的。,MA(1)過程可以等價(jià)地寫成t關(guān)于無窮序列Xt，Xt-1，的線性組合的形式：,或,（*）,(*)是一個(gè)AR()過程，它的偏自相關(guān)函數(shù)非截尾但卻趨于零，因此MA(1)的偏自相關(guān)函數(shù)是非截尾但卻趨于零的。,注意: (*)式只有當(dāng)|1時(shí)才有意義，否則意味著距Xt越遠(yuǎn)的X值，對(duì)Xt的影響越大，顯然不符合常理。 因此，我們把|1稱為MA(1)的可逆性條件（invertibility condition）或可逆域。,其自協(xié)方差系數(shù)為,一般地，q階移

19、動(dòng)平均過程MA(q),相應(yīng)的自相關(guān)函數(shù)為,可見，當(dāng)kq時(shí)， Xt與Xt-k不相關(guān)，即存在截尾現(xiàn)象，因此，當(dāng)kq時(shí)， k=0是MA(q)的一個(gè)特征。 于是：可以根據(jù)自相關(guān)系數(shù)是否從某一點(diǎn)開始一直為0來判斷MA(q)模型的階。,與MA(1)相仿，可以驗(yàn)證MA(q)過程的偏自相關(guān)函數(shù)是非截尾但趨于零的。,MA(q)模型的識(shí)別規(guī)則：若隨機(jī)序列的自相關(guān)函數(shù)截尾，即自q以后，k=0（ kq）；而它的偏自相關(guān)函數(shù)是拖尾的，則此序列是滑動(dòng)平均MA(q)序列。,同樣需要注意的是：在實(shí)際識(shí)別時(shí)，由于樣本自相關(guān)函數(shù)rk是總體自相關(guān)函數(shù)k的一個(gè)估計(jì)，由于樣本的隨機(jī)性，當(dāng)kq時(shí)，rk不會(huì)全為0，而是在0的上下波動(dòng)。但可

20、以證明，當(dāng)kq時(shí)，rk服從如下漸近正態(tài)分布: rkN(0,1/n) 式中n表示樣本容量。 因此，如果計(jì)算的rk滿足：,我們就有95.5%的把握判斷原時(shí)間序列在q之后截尾。,ARMA(p,q)的自相關(guān)函數(shù)，可以看作MA(q)的自相關(guān)函數(shù)和AR(p)的自相關(guān)函數(shù)的混合物。 當(dāng)p=0時(shí)，它具有截尾性質(zhì)； 當(dāng)q=0時(shí)，它具有拖尾性質(zhì)； 當(dāng)p、q都不為0時(shí)，它具有拖尾性質(zhì) 從識(shí)別上看，通常： ARMA(p，q)過程的偏自相關(guān)函數(shù)（PACF）可能在p階滯后前有幾項(xiàng)明顯的尖柱（spikes），但從p階滯后項(xiàng)開始逐漸趨向于零； 而它的自相關(guān)函數(shù)（ACF）則是在q階滯后前有幾項(xiàng)明顯的尖柱，從q階滯后項(xiàng)開始逐漸趨

21、向于零。,3、ARMA(p, q)過程,四、隨機(jī)時(shí)間序列模型的估計(jì),AR(p)、MA(q)、ARMA(p,q)模型的估計(jì)方法較多，大體上分為3類： （1）最小二乘估計(jì)； （2）矩估計(jì)； （3）利用自相關(guān)函數(shù)的直接估計(jì)。 下面有選擇地加以介紹。,結(jié)構(gòu) 階數(shù),模型 識(shí)別,確定,估計(jì),參數(shù), AR(p)模型的Yule Walker方程估計(jì),在AR(p)模型的識(shí)別中，曾得到,利用k=-k，得到如下方程組：,此方程組被稱為Yule Walker方程組。該方程組建立了AR(p)模型的模型參數(shù)1,2,p與自相關(guān)函數(shù)1,2,p的關(guān)系，,利用實(shí)際時(shí)間序列提供的信息，首先求得自相關(guān)函數(shù)的估計(jì)值,然后利用Yule

22、Walker方程組，求解模型參數(shù)的估計(jì)值,由于,于是,從而可得2的估計(jì)值,在具體計(jì)算時(shí)，,可用樣本自相關(guān)函數(shù)rk替代。, MA(q)模型的矩估計(jì),將MA(q)模型的自協(xié)方差函數(shù)中的各個(gè)量用估計(jì)量代替，得到：,首先求得自協(xié)方差函數(shù)的估計(jì)值，(*)是一個(gè)包含(q+1)個(gè)待估參數(shù),(*),的非線性方程組，可以用直接法或迭代法求解。,常用的迭代方法有線性迭代法和Newton-Raphsan迭代法。,（1）MA(1)模型的直接算法,對(duì)于MA(1)模型，（*）式相應(yīng)地寫成,于是,或,有,于是有解,由于參數(shù)估計(jì)有兩組解，可根據(jù)可逆性條件|1|1來判斷選取一組。,（2）MA(q)模型的迭代算法,對(duì)于q1的MA

23、(q)模型，一般用迭代算法估計(jì)參數(shù)： 由（*）式得,第一步，給出,的一組初值，比如,代入（*）式，計(jì)算出第一次迭代值,（*）,第二步，將第一次迭代值代入（*）式，計(jì)算出第二次迭代值,按此反復(fù)迭代下去，直到第m步的迭代值與第m-1步的迭代值相差不大時(shí)（滿足一定的精度），便停止迭代，并用第m步的迭代結(jié)果作為（*）的近似解。, ARMA(p,q)模型的矩估計(jì),在ARMA(p,q)中共有(p+q+1)個(gè)待估參數(shù)1,2,p與1,2,q以及2，其估計(jì)量計(jì)算步驟及公式如下： 第一步，估計(jì)1,2,p,是總體自相關(guān)函數(shù)的估計(jì)值，可用樣本自相關(guān)函數(shù)rk代替。,第二步，改寫模型，求1,2,q以及2的估計(jì)值,將模型,

24、改寫為：,令,于是(*)可以寫成：,(*),構(gòu)成一個(gè)MA模型。按照估計(jì)MA模型參數(shù)的方法，可以得到1,2,q以及2的估計(jì)值。, AR(p)的最小二乘估計(jì),假設(shè)模型AR(p)的參數(shù)估計(jì)值已經(jīng)得到，即有,殘差的平方和為：,(*),根據(jù)最小二乘原理，所要求的參數(shù)估計(jì)值是下列方程組的解：,即,j=1,2,p (*),解該方程組，就可得到待估參數(shù)的估計(jì)值。,為了與AR(p)模型的Yule Walker方程估計(jì)進(jìn)行比較，將(*)改寫成：,j=1,2,p,由自協(xié)方差函數(shù)的定義，并用自協(xié)方差函數(shù)的估計(jì)值,代入，上式表示的方程組即為：,或,j=1,2,p,j=1,2,p,解該方程組，得到：,即為參數(shù)的最小二乘估

25、計(jì)。 Yule Walker方程組的解,比較發(fā)現(xiàn)，當(dāng)n足夠大時(shí)，二者是相似的。 2的估計(jì)值為：,需要說明的是，在上述模型的平穩(wěn)性、識(shí)別與估計(jì)的討論中，ARMA(p,q)模型中均未包含常數(shù)項(xiàng)。,如果包含常數(shù)項(xiàng)，該常數(shù)項(xiàng)并不影響模型的原有性質(zhì)，因?yàn)橥ㄟ^適當(dāng)?shù)淖冃?，可將包含常?shù)項(xiàng)的模型轉(zhuǎn)換為不含常數(shù)項(xiàng)的模型。 下面以一般的ARMA(p,q)模型為例說明。 對(duì)含有常數(shù)項(xiàng)的模型,方程兩邊同減/(1-1-p)，則可得到,其中,五、模型的檢驗(yàn),由于ARMA(p,q)模型的識(shí)別與估計(jì)是在假設(shè)隨機(jī)擾動(dòng)項(xiàng)是一白噪聲的基礎(chǔ)上進(jìn)行的，因此，如果估計(jì)的模型確認(rèn)正確的話，殘差應(yīng)代表一白噪聲序列。 如果通過所估計(jì)的模型計(jì)算

26、的樣本殘差不代表一白噪聲，則說明模型的識(shí)別與估計(jì)有誤，需重新識(shí)別與估計(jì)。 在實(shí)際檢驗(yàn)時(shí)，主要檢驗(yàn)殘差序列是否存在自相關(guān)。,1、殘差項(xiàng)的白噪聲檢驗(yàn),可用QLB的統(tǒng)計(jì)量進(jìn)行2檢驗(yàn)：在給定顯著性水平下，可計(jì)算不同滯后期的QLB值，通過與2分布表中的相應(yīng)臨界值比較，來檢驗(yàn)是否拒絕殘差序列為白噪聲的假設(shè)。 若大于相應(yīng)臨界值，則應(yīng)拒絕所估計(jì)的模型，需重新識(shí)別與估計(jì)。,2、AIC與SBC模型選擇標(biāo)準(zhǔn) 另外一個(gè)遇到的問題是，在實(shí)際識(shí)別ARMA(p,q)模型時(shí)，需多次反復(fù)償試，有可能存在不止一組（p,q）值都能通過識(shí)別檢驗(yàn)。 顯然，增加p與q的階數(shù)，可增加擬合優(yōu)度，但卻同時(shí)降低了自由度。 因此，對(duì)可能的適當(dāng)?shù)哪?/p>

27、型，存在著模型的“簡(jiǎn)潔性”與模型的擬合優(yōu)度的權(quán)衡選擇問題。,其中，n為待估參數(shù)個(gè)數(shù)（p+q+可能存在的常數(shù)項(xiàng)），T為可使用的觀測(cè)值，RSS為殘差平方和（Residual sum of squares）。 在選擇可能的模型時(shí)，AIC與SBC越小越好 顯然，如果添加的滯后項(xiàng)沒有解釋能力，則對(duì)RSS值的減小沒有多大幫助，卻增加待估參數(shù)的個(gè)數(shù)，因此使得AIC或SBC的值增加。 需注意的是：在不同模型間進(jìn)行比較時(shí)，必須選取相同的時(shí)間段。,常用的模型選擇的判別標(biāo)準(zhǔn)有：赤池信息法（Akaike information criterion，簡(jiǎn)記為AIC）與施瓦茲貝葉斯法（Schwartz Bayesian c

28、riterion，簡(jiǎn)記為SBC）：,由第一節(jié)知：中國(guó)支出法GDP是非平穩(wěn)的，但它的一階差分是平穩(wěn)的，即支出法GDP是I(1)時(shí)間序列。 可以對(duì)經(jīng)過一階差分后的GDP建立適當(dāng)?shù)腁RMA(p,q)模型。 記GDP經(jīng)一階差分后的新序列為GDPD1，該新序列的樣本自相關(guān)函數(shù)圖與偏自相關(guān)函數(shù)圖如下：,例9.2.3 中國(guó)支出法GDP的ARMA(p,q)模型估計(jì)。,圖形：樣本自相關(guān)函數(shù)圖形呈正弦線型衰減波，而偏自相關(guān)函數(shù)圖形則在滯后兩期后迅速趨于0。因此可初步判斷該序列滿足2階自回歸過程AR(2)。,自相關(guān)函數(shù)與偏自相關(guān)函數(shù)的函數(shù)值： 相關(guān)函數(shù)具有明顯的拖尾性； 偏自相關(guān)函數(shù)值在k2以后，,可認(rèn)為：偏自相關(guān)函數(shù)是截尾的。再次驗(yàn)證了一階差分后的GDP滿足AR(2)隨機(jī)過程。,設(shè)序列GDPD1的模型形式為,有如下Yule Walker 方程：,解為：,用OLS法回歸的結(jié)果為：,（7.91) (-3.60) r2=0.8469 R2=0.8385 DW=1.15,有時(shí)，在用回歸法時(shí)，也可加入常數(shù)項(xiàng)。 本例中加入常數(shù)項(xiàng)的回歸為：,（1.99） （7.74）