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,一、羅爾(Rolle)定理,例如,物理解釋:,變速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)在折返點(diǎn)處,瞬時(shí)速度等于零.,幾何解釋:,證,注意:若羅爾定理的三個(gè)條件中有一個(gè)不滿(mǎn)足,其結(jié)論可能不成立.,例如,又例如,例1,證,由介值定理,即為方程的小于1的正實(shí)根.,矛盾,二、拉格朗日(Lagrange)中值定理,幾何解釋:,證,分析:,弦AB方程為,作輔助函數(shù),拉格朗日中值公式,注意:拉氏公式精確地表達(dá)了函數(shù)在一個(gè)區(qū)間上的增量與函數(shù)在這區(qū)間內(nèi)某點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系.,拉格朗日中值定理又稱(chēng)有限增量定理.,拉格朗日中值公式又稱(chēng)有限增量公式.,微分中值定理,推論,例2,證,例3,證,由上式得,三、柯西(Cauchy)中值定理,幾何解釋:,證,作輔助函數(shù),例4,證,分析:,結(jié)論可變形為,四、小結(jié),Rolle 定理,Lagrange 中值定理,Cauchy 中值定理,羅爾定理、拉格朗日中值定理及柯西中值定理之間的關(guān)系；,注意定理成立的條件；,注意利用中值定理證明等式與不等式的步驟.,思考題,試舉例說(shuō)明拉格朗日中值定理的條件缺一不可.,思考題解答,不滿(mǎn)足在閉區(qū)間上連續(xù)的條件；,且,不滿(mǎn)足在開(kāi)區(qū)間內(nèi)可微的條件；

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