六招破解函數(shù)最值及巧用數(shù)形結(jié)合求參數(shù)問題

1、六招破解函數(shù)最值及巧用數(shù)形結(jié)合求參數(shù)問題一、六招破解函數(shù)最值問題函數(shù)最值問題一直是高考的一個(gè)重要的熱點(diǎn)問題，在高考中占有極其重要的地位為了讓大家能夠更加系統(tǒng)、全面地掌握函數(shù)最值問題的解決方法，下面就其問題的常用解法，分類淺析如下：1配方法配方法是求二次函數(shù)最值的基本方法，如函數(shù)F(x)af(x)2bf(x)c(a0)的最值問題，可以考慮用配方法例1已知函數(shù)y(exa)2(exa)2(aR，a0)，求函數(shù)y的最小值解y(exa)2(exa)2(exex)22a(exex)2a22.令texex，則f(t)t22at2a22.因?yàn)閠2，所以f(t)t22at2a22(ta)2a22的定義域?yàn)?，)

2、因?yàn)閽佄锞€yf(t)的對(duì)稱軸為ta，所以當(dāng)a2且a0時(shí)，yminf(2)2(a1)2；當(dāng)a2時(shí)，yminf(a)a22.點(diǎn)評(píng)利用二次函數(shù)的性質(zhì)求最值，要特別注意自變量的取值范圍，同時(shí)還要注意對(duì)稱軸與區(qū)間的相對(duì)位置關(guān)系如本題化為含參數(shù)的二次函數(shù)后，求解最值時(shí)要注意區(qū)分對(duì)稱軸與定義域的位置關(guān)系，然后再根據(jù)不同情況分類解決2換元法換元法是指通過引入一個(gè)或幾個(gè)新的變量，來替換原來的某些變量(或代數(shù)式)，以便使問題得以解決的一種數(shù)學(xué)方法在學(xué)習(xí)中，常常使用的換元法有兩類，即代數(shù)換元和三角換元，我們可以根據(jù)具體問題及題目形式靈活選擇換元的方法，以便將復(fù)雜的函數(shù)最值問題轉(zhuǎn)化為簡單的函數(shù)最值問題如可用三角換元解

3、決形如a2b21及部分根式函數(shù)形式的最值問題例2設(shè)a，bR，a22b26，則ab的最小值是_解析因?yàn)閍，bR，a22b26，所以令acos ，bsin ，R.則abcos sin 3sin()，所以ab的最小值是3.答案3點(diǎn)評(píng)在用換元法時(shí)，要特別注意換元后新元的取值范圍如本題換元后中間變量R，這是由條件a，bR得到的3不等式法利用不等式法求解函數(shù)最值，主要是指運(yùn)用基本不等式及其變形公式來解決函數(shù)最值問題的一種方法常常使用的基本不等式有以下幾種：a2b22ab(a，b為實(shí)數(shù))，(a0，b0)，ab2(a，b為實(shí)數(shù))例3函數(shù)f(x)(0xt4,00)上的最小值為_解析因?yàn)閒(x)ln x1，所以當(dāng)

4、x時(shí)，f(x)0，f(x)單調(diào)遞增當(dāng)0tt2時(shí)，t無解；當(dāng)0tt2，即0t時(shí)，f(x)minf；當(dāng)tt2，即t時(shí)，f(x)在t，t2上單調(diào)遞增，f(x)minf(t)tln t.所以f(x)min答案f(x)min點(diǎn)評(píng)本題是函數(shù)在不定區(qū)間上的最值問題，因此區(qū)間的位置要全部考慮到，不要遺漏5導(dǎo)數(shù)法設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間a，b上連續(xù)，在區(qū)間(a，b)內(nèi)可導(dǎo)，則f(x)在a，b上的最大值和最小值應(yīng)為f(x)在(a，b)內(nèi)的各極值與f(a)，f(b)中的最大值和最小值利用這種方法求函數(shù)最值的方法就是導(dǎo)數(shù)法例5函數(shù)f(x)x33x1在閉區(qū)間3,0上的最大值，最小值分別是_，_.解析因?yàn)閒(x)3x23，所

5、以令f(x)0，得x1(舍正)又f(3)17，f(1)3，f(0)1，易得，f(x)的最大值為3，最小值為17.答案317點(diǎn)評(píng)(1)利用導(dǎo)數(shù)法求函數(shù)最值的三個(gè)步驟：一是求函數(shù)在(a，b)內(nèi)的極值，二是求函數(shù)在區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值f(a)，f(b)，三是比較上述極值與區(qū)間端點(diǎn)函數(shù)值的大小，即得函數(shù)的最值(2)函數(shù)的最大值點(diǎn)及最小值點(diǎn)必在以下各點(diǎn)中取得，導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)，導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)及區(qū)間端點(diǎn)6數(shù)形結(jié)合法數(shù)形結(jié)合法是指利用函數(shù)所表示的幾何意義，借助幾何方法及函數(shù)的圖象求函數(shù)最值的一種常用的方法這種方法借助幾何意義，以形助數(shù)，不僅可以簡捷地解決問題，還可以避免諸多失誤，是我們開闊思路、正確解題、提高能力的

6、一種重要途徑例6對(duì)a，bR，記max|a，b|函數(shù)f(x)max|x1|，|x2|(xR)的最小值是_解析由|x1|x2|，得(x1)2(x2)2，解得x.所以f(x)其圖象如圖所示由圖形，易知當(dāng)x時(shí)，函數(shù)有最小值，所以f(x)minf.答案點(diǎn)評(píng)用數(shù)形結(jié)合的方法求解函數(shù)最值問題，其關(guān)鍵是發(fā)現(xiàn)條件中所隱含的幾何意義，利用這個(gè)幾何意義，就可以畫出圖形，從而借助圖形直觀地解決問題如將本題化為分段函數(shù)的最值問題后，可以用分段求解函數(shù)最值的方法去解二、巧用數(shù)形結(jié)合妙解3類求參數(shù)問題數(shù)形結(jié)合就是根據(jù)數(shù)學(xué)問題的條件與結(jié)論的內(nèi)在聯(lián)系，既要分析問題的代數(shù)含義，又要揭示其幾何意義，把“數(shù)”與“形”巧妙地結(jié)合起來，

7、并利用“結(jié)合”尋找解題的思路，使問題得到圓滿解決，數(shù)形結(jié)合是根據(jù)數(shù)量與圖形之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，通過數(shù)與形的互相轉(zhuǎn)化來解決問題的一種重要思想方法通過“以形助數(shù)，以數(shù)輔形”把復(fù)雜問題簡單化，抽象問題具體化，充分利用形的直觀性和數(shù)的嚴(yán)謹(jǐn)性來思考問題，拓展了思路，這就是數(shù)形結(jié)合的核心價(jià)值通過以下三個(gè)方面體會(huì)數(shù)形結(jié)合思想的運(yùn)用1通過基本函數(shù)模型及變式的圖象求參數(shù)的取值范圍或值例1已知函數(shù)f(x)若a，b，c互不相等，且f(a)f(b)f(c)，則abc的取值范圍是()A(1,10)B(5,6)C(10,12) D(20,24)解析畫出函數(shù)f(x)的圖象，再畫出直線yd(0d1)，如圖所示，直觀上知0a1,1

8、b10,10c12，再由|lg a|lg b|，得lg alg b，從而得ab1，則10abc12.答案C點(diǎn)評(píng)通過圖形可以發(fā)現(xiàn)a，b，c所在的區(qū)間，再把絕對(duì)值符號(hào)去掉，就能發(fā)現(xiàn)ab1，這樣利用數(shù)形結(jié)合就可把問題化難為易了2.通過函數(shù)的零點(diǎn)與方程的解的相互關(guān)系求函數(shù)零點(diǎn)和方程的解及參數(shù)的范圍例2已知mR，函數(shù)f(x)x22(m21)x7，g(x)(2m2m2)xm.(1)設(shè)函數(shù)p(x)f(x)g(x)如果p(x)0在區(qū)間(1,5)內(nèi)有解但無重根，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；(2)設(shè)函數(shù)h(x)是否存在m，對(duì)于任意非零實(shí)數(shù)a，總存在唯一非零實(shí)數(shù)b(ba)，使得h(a)h(b)成立？若存在，求m的值；若不存

9、在，請(qǐng)說明理由解(1)因?yàn)閜(x)f(x)g(x)x2mx7m，令p(x)0，因?yàn)榉匠淘?1,5)內(nèi)有實(shí)數(shù)解，且沒有重根，由p(x)0，得m2(x1)，因?yàn)?x5，令tx1，則2t6，如圖所示，所以m24.當(dāng)m24時(shí)，p(x)0有兩個(gè)相等的根，所以實(shí)數(shù)m的取值范圍是m24.(2)由題意，得當(dāng)x0時(shí)，h(x)x22(m21)x7，h(x)在區(qū)間0，)上單調(diào)遞增；當(dāng)x0時(shí)，h(x)(2m2m2)xm，h(x)在區(qū)間(，0)上單調(diào)遞減記Ah(x)|x0，Bh(x)|x0時(shí)，如圖(1)知，由于h(x)在(0，)上是增函數(shù)，若存在非零實(shí)數(shù)b(ba)，使得h(a)h(b)，則b0，且AB，即m7；()若a

10、0，且BA，即m7.綜合()()，知所求m7.現(xiàn)在證明充要性：必要性：由求解過程知必要性成立；充分性：當(dāng)m7時(shí)，AB，對(duì)于a0，則b(ba，且ab0)，使得h(a)h(b)點(diǎn)評(píng)第(1)問含有參數(shù)的二次方程或分式方程在區(qū)間(1,5)內(nèi)有解且無重根，純粹從數(shù)的角度去理解是相當(dāng)困難的，通過分離變量，把方程化歸為函數(shù)m(1x0，存在ba，使得h(a)h(b)的條件是m7；反過來，對(duì)于a0，存在ba，使得h(a)h(b)的條件是m7.3通過圓或圓錐曲線的部分圖形與函數(shù)圖象的關(guān)系來求參數(shù)的范圍例3如果函數(shù)y1(|x|2)的圖象與函數(shù)yk(x2)4的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，那么實(shí)數(shù)k的取值范圍是_解析函數(shù)y1的值域?yàn)?,3，將y1兩邊平方，得x2(y1)24，考慮到函數(shù)的值域，函數(shù)y1的圖象是以(0,1)為圓心，2為半徑的上半圓，半圓的端點(diǎn)為點(diǎn)A(2,1)和點(diǎn)B(2,1)