367-其他資源-學生作品7-傳輸現(xiàn)時域終端響應格林函數(shù)法與nilt法對比研究_W

1、指導教師評語：陳甜妹（學號：1081230103）和彭茂蘭（學號：1081170912）對比研究了格林函數(shù)分析法與數(shù)值拉普拉斯反變換方法在傳輸線時域響應分析的不同特性。通過該研究，兩位同學對工程電磁場課程中的傳輸線和電路理論中拉斯反變換理論有了更新一層的認識，達到了理論聯(lián)系實際的目的，提高了科學研究的興趣。指導教師：盧斌先， 2013年8月10日該篇論文已在 2011 年 10 月現(xiàn)代電力28 卷第 5 期上發(fā)表。傳輸線時域響應格林函數(shù)分析法與數(shù)值拉普拉斯反變換方法的對比研究陳甜妹，盧斌先，彭茂蘭（華北電力大學高壓與電磁兼容北京市重點實驗室）Comparison of Green Functi

2、on Method and Numerical Laplace Inverse Transformation forAnalyzing Transient Response of TransmissionLineChen TianmeiLu BinxianPeng Maonan摘要: 本文推導了用格林函數(shù)法求解傳輸線終端響應的節(jié)點導納方程，并介紹了數(shù)值拉普拉斯反變換方法（NILT）求解傳輸線終端響應的基本理論?；谶@兩種方法，分別對無損終端匹配及有損終端不匹配傳輸線瞬態(tài)電壓響應進行了仿真。將兩種方法與解析解進行對比分析可知，格林函數(shù)方法仿真結(jié)果吻合度非常好，誤差較小，波形穩(wěn)定；而數(shù)值拉普拉斯反

3、變換的方法，在零點附近有很大的沖擊及微弱振蕩，在仿真結(jié)果后期有明顯的衰減，中期的誤差近似呈正弦變化，后期誤差明顯增大，難以反映實際終端響應。通過與解析解比較，不僅驗證了基于格林函數(shù)方法的正確性，也體現(xiàn)出該方法其更能反映真實值，效果更好。關(guān)鍵詞：格林函數(shù)；NILT；有損傳輸線 ；無損傳輸線zero. Besides, its wave is stabler. But the NILT method has a great impulse and some oscillation near zero point. The error in the middle area seems like as

4、ine wave, but during the later stage, it will risedramaticallyhard to reflect the practical situation.Through the comparison, we prove the correctness and superiority of the Green Function method overNILT method.0. 引言隨著電磁頻譜的不斷擴大，高頻的電磁干擾與電磁兼容越來越受到重視。為了更準確分析電磁干擾特征，許多實際電磁兼容問題不得不用傳輸線模型分析。格林函數(shù)1-4、快速傅立葉反變

5、換5和數(shù)值拉普拉斯反變換方法（NILT）6-7是兩種被頻繁使用的暫態(tài)響應分析方法。兩種方各有優(yōu)缺點，合理利用這兩方方法對正確分析暫態(tài)響應和高效分析電磁暫態(tài)問題有著重要的影響。本文針對簡單的傳輸線，詳細研究了兩種分析方法的不同及誤差。Abstract: A Green Function method is derived to analyze the terminal response of simple transmission lines. And we also introduce the basic theory of the NILT method. By using the abov

6、e methods, we study two different simple situations: the lossless terminal matched transmission line and the lossy terminal not matched transmission line. The simulation results have good agreement with the analytical solutions. Compared with NILT, the Green Function method ismore accurate and its s

7、imulation error almost tends to格林函數(shù)法的公式推導無源的傳輸線（如圖 1 所示）的頻域方程為：1.學生作品 7-傳輸線時域響應格林函數(shù)分析法與數(shù)值拉普拉斯反變換方法的對比研究dU&u(x,t) = u+ (t) *G- (x, t) + u- (t) *G+ (x, t) （9）&+ ZI = 0dx(1)i(x,t) = 1 u+ (t) *G- (x,t) + u- (t) *G+ (x,t)（10） dI&dx&+ YU= 0Zc其 中 G- (x,t) 為e-g x 對應于時域中的函數(shù)，G+R sd = 3 m(x,t) 為eg x 對應于時域中的函數(shù)，

8、 G- (x, t) 和G+ (x,t) 即為傳輸線的格林函數(shù)。 x = 0 時得傳輸線始端電壓、電流為：+V o u t ( t )V s ( t )R L-u(0,t) = u+ (t)*G- (0,t) +u- (t)*G+ (0,t)圖 1 簡單傳輸線電路模型 1 （11）i(0,t) =u (t)*G (0,t) +u (t)*G (0,t)+-+根據(jù)信號理論，時域方程為：Zcu + z(t)*i(x, t) = 0x = d 時得傳輸線末端電壓、電流為： x(2)i u(d,t) =u (t)*G (d,t) +u (t)*G (d,t)+-+ y(t)*u(x, t) = 0x（

9、12）1i(d,t) =u (t)*G (d,t) +u (t)*G (d,t)+-+Zc“*”表示兩函數(shù)的卷積。方程（1）頻域解為：其中d 表示傳輸線的長度。簡單傳輸線模型如圖1 所示，其端接條件為：U& = 1 (U& +1&-g xg xZ I )e+ (U -Z I )e(3)1c 11c 122i(0, t) = vs (t) - u(0, t)U&1U&111&（13）-g xg xI =(+ I )e-(- I )e（4）R112 Zc2 Zcsi(d ,t) = u(d ,t)R L取基函數(shù)T (t) 為單位脈沖函數(shù)，則（5）、（6）可變?yōu)椋? 1 (U& + Z I &)(1

10、4)V +（5）1c 12V - = 1 (U& - Z I& )（6）1c 12u+u +Nt上述中（3），（4）可以變?yōu)椋海?5）=T (t - iDt)-uuiU& 1Zci=1= V +e-g x +V -eg x（7）其中t = Nt Dt 。傳輸線各處電壓的表達式為：u(x, t)= u+ (t) * G- (x, t) + u- (t) * G+ ( x, t)NtI& =(V + e-g x -V -eg x )（8）特性阻抗為 Z =Z / Y ，傳播常數(shù)為c。其中 Z = R + jwL ,(16)g =ZYY = G +-= Dt (u (iDt)G (x, t - iD

11、t)jwC 。 R, G, L, C 分別為傳輸i=1+u- (iDt)G+ (x, t - iDt)x = 0, x = d ,得到傳輸線始末兩端電壓，寫成矩陣形式為：線單位長度電阻，電導，電感，電容。對應的時域解為：2學生作品 7-傳輸線時域響應格林函數(shù)分析法與數(shù)值拉普拉斯反變換方法的對比研究u(0, t)12p jtV (z)e zdztc + j- v(t) =（21）u(d ,t) （17）對上式中的函數(shù)ez 進行Pade 逼近，得到有理函數(shù)形式如下：NtG- (0,t - iDt)G+ (0,t - iDt) u+ - i=1 G(d,t -iDt)G (d, t - iDt)u+

12、PN (z)e(z) =（22）進一步整理得：N ,MQ (z)M其中PN（z）和QM（z）分別是 N，M 階多項式。對上式取其前 M+N+1 階的泰勒展開G- (0,G+ (0, 0) u(lDt)+Dt -G+D(d ,G (d , 0)u(l t)= u(0, lDt) 式來近似 e ，則可得下式：-z(18)u(d , lDt)N N N+ (M +N - 2)!G (0,lDt - iDt)-G (0,lDt - iDt) u+l -1(M + N)!+ (M + N -1)!2LM ! -N1 - e (z) = i=1 G(d, lDt - iDt)G (d ,lDt - iDt

13、)u+N ,MMMM(M + N)!- (M + N -1)! z + (M + N - 2)! z2 +L+ (-1)M12M 根據(jù)式（9）、（10）、（11）、（12）、（18）可得到最終求解電壓的矩陣形式:（23） 式(23)中，在 M 和 N 差值很大的情況下，所有的極點均為簡單的，為右半平面的數(shù)，而左半平面的極點不改變下面的結(jié)果。將式（23）帶入到式（21）中得到：-1 0 1 0 Dt G- (0,0)DtG+ (0,0)+Dt 1G (0+, 0)ZcDt G (d+,0)Dt G- (d,0)-1 u(lDt)+ 1 u-0Dt G (0,0)Ru(0,lcZs1 1 1 -

14、u(d,lDt)L G+ (0,lDt - iDt) G+(d,lDt -iDt)Dt G-(d,0) c012p jtc + jzV ( )e N ,M (z)dzZZRv(t) =（24）c(19tc - jG- (0,lDt - iDt)G (d,lDt - iDt)0對式（24）利用閉合路徑積分的留數(shù)定理進行積分計算，為了使圓弧路徑不對積分結(jié)果有影響， 選取下式中 M 和 N 的值時，要求極點數(shù)至少比零點數(shù)多兩個，且差值為有限個。0 u+l-1 1=-D- G (0+,lDt - iD t) v (lDt)t)t ZG (0,lDt -iDsZ-u R i=1 ccs01ZcG (d,

15、lDt - iDt)+ G-(d,lDt -iDt)-)F (z) = V ( z)et則積分結(jié)果為：(z)（25）N ,M通過矩陣求逆，即可求解出傳輸線始末端電壓在各個時刻的值。2.NILT 方法數(shù)值拉普拉斯變換方法（即 NILT 法）是采用預先計算的數(shù)值方法來得到時域響應6。拉普拉斯反變換的積分公式為：F(z)dz = 2pj (Ki)（26）Ki 為極點對應的留數(shù)。上式中，取是正號時， 采用左半平面逆時針閉合路徑，負號時用相 反的方法，這種方法的重點在于要求交替的產(chǎn)生包圍兩個平面的閉合路徑。對 NM 時有：v(t) = 1c+ j V (s)esdt s2p jt c- j（20）M K

16、 e N ,M (z) =i（27）其中 s 是拉普拉斯算子，c 是任意正常數(shù)，對每一個 V（s）的極點 si 都有 Re(si)C。令 z=st，帶入（20）式得z - zi=1i其中 z 是e(z) 的極點， K 是對應于極點的留iN ,Mi數(shù)。在右半平面圍繞 e N ,M (z) 的極點做閉合路徑3學生作品 7-傳輸線時域響應格林函數(shù)分析法與數(shù)值拉普拉斯反變換方法的對比研究圖 3 NILT 仿真結(jié)果積分得，1Mzi表 1 格林函數(shù)法和 NILT 方法仿真結(jié)果與解析解的比較單位：Vv(t) = -KiV ( t )（28）ti=1時域函數(shù)的解可利用上半平面的極點來求解：M 1ziv(t)

17、= -ReK V ()t t（29）ii=13. 實例仿真分析3.1 無損終端匹配傳輸線終端響應如圖 1 所示，傳輸線各參數(shù)值： Rs= 50 ，因為該傳輸線屬于無損終端匹配傳輸線終端匹配情況，所以傳輸線始末端電壓相等。從仿真結(jié)果看，格林函數(shù)法和 NILT 法與解析值偏差很小。由于NILT 方法有其明顯的弊端，在零時刻附近， 其有很大的沖擊值如圖 4 所示，并且初期有明顯的振蕩如圖 5 所示。為了便于比較，圖 3 的結(jié)果是從第 10 個離散點取起的，下面 NILT 方法仿真 結(jié)果將按照從第 10 個離散點開始。RL = 50 ，d = 3m ， R = 0/m , G = 0S/m ，C =

18、83.9419 10-12 F/m ，L = 0.20985510-6 H/m，R, G, L, C 表示單位長度電阻、電導、電感、電容。電源為 vs (t) = 100 sin(2p ft)V ， f = 106 HZ 。圖 2 和圖 3 分別為格林函數(shù)法和NILT 方法的仿真結(jié)果。取圖 2 和圖 3 中第三個周波的幅值，并與解析解進行比較，如表 1 所示。85x 102NILT:u20-2-460Green:u1 Green:u2-640-820-100-120123t/s456-6x 10-20圖 4 NILT 終端仿真圖-40-600123t/s456-6x 10NILT:u254圖

19、2 Green 函數(shù)法仿真結(jié)果5352605121NILT:u2 NILT:u150404948204746045440246t/s81012-20-8x 10-40圖 5 圖 3 中 1 處的放大圖-600123t/s456-6x 104u2/Vu/Vu2/Vu2/V求解方法始端電壓幅值終端電壓幅值解析法5050格林函數(shù)法5050.04NILT50.0449.94學生作品 7-傳輸線時域響應格林函數(shù)分析法與數(shù)值拉普拉斯反變換方法的對比研究兩種方法的仿真結(jié)果其始末端在中期電壓幾乎重疊，但實際兩者之間有很小的相位差， 如圖6 所示。Rs = 75W設 圖 1 中傳 輸 線 參數(shù) 為 ：,RL =

20、 120 , d = 3m ,單位電阻、電導、電感、電G = 0.05S/m ，容為：R = 12/m,L = 0.20985510-6 s/m C = 83.9419 10-12 F/m，電源電壓和 2.1 中所加的一樣。仿真結(jié)果如圖 8所示：5352512502549Green:u1 Green:u2 NILT:u1 NILT:u22048154746104551.81.85 1.91.9522.05 2.12.15 2.2t/sx 10-60-5圖 6 圖 3 中 2 處放大圖-10誤差分析：用表示偏差值，用 si 表示解du-15析理論值， u i 表示各個時刻的仿真終端電壓值。du

21、= ui - si ，Green 函數(shù)法及 NILT 法誤差見圖7。從圖中可以可以看出，NILT 在泰勒展開過程的近似會造成很大的誤差，在零點附近有很大的沖擊，在仿真到四個波頭后，誤差明顯增大。中間的仿真誤差分布近似呈正弦，所以NILT 方法在中期的仿真結(jié)果較為準確。格林函數(shù)的誤差非常小，接近于零。所以從仿真結(jié)果的波形及誤差上來看，格林函數(shù)法有其很大的優(yōu)越性。-200123t/s456-6x 10圖 8 Green 法和 NILT 法響應對比圖從圖 8 可以看出，格林函數(shù)法與 NILT 法的仿真結(jié)果在中間的三個波頭吻合的非常好。如 3.1 中所述一樣，NILT 終端響應在零點附近有大的沖擊，在

22、第四個波頭后誤差明顯增大。這里不再重復。取第三個波頭的峰值數(shù)據(jù)及數(shù)值計算結(jié)果， 見表 2。從表中數(shù)據(jù)可以看出三種方法的仿真結(jié)果相差值非常小。60表 2 格林函數(shù)法和 NILT 方法仿真結(jié)果與解析解的比 Green:duNILT:du較單位：V40200-20-40-60誤差分析的方法同 2.1，誤差曲線如圖 9 所示，從波形上看，圖 7 和圖 9 很相似，NILT 誤差明顯要大于格林函數(shù)法，且在第四個波頭后誤差明顯增大。但圖 9 中NILT 方法的誤差最大值要遠小于圖 7 中的誤差最大值。FFT 方法誤差很小， 基本趨于零。-800123t/s456-6x 10圖 7 Green 函數(shù)法及 N

23、ILT 法誤差對比圖3.2 有損耗終端不匹配傳輸線終端響應3.1 的例子是最理想的情況，實際情況下， 傳輸線一般都是有損耗，而且往往終端是不匹配的，所以本部分將用該方法分析了有損耗終端不匹配傳輸線的終端響應。5u2/Vdu/Vu/V仿真方法始端電壓幅值末端電壓幅值解析法17.36542.9812格林函數(shù)法17.332.984NILT 法17.392.982學生作品 7-傳輸線時域響應格林函數(shù)分析法與數(shù)值拉普拉斯反變換方法的對比研究3 Maio and F.G. Canavero. Transient field coupling and crosstalk in lossy lines wit

24、h arbitrary loadsJ. IEEE Transactions On Electromagnetic Compatibility. 1995,37(4): 599-606.3 NILT Green214 Patric S.Yeung. Lossy transmission lines: time domainformulation and simulation modelJ.IEEE Transaction On Microwave Theory And Techniques. 1993,41(8):1275-1279.0-1-25 盧斌先，衣斌，王澤忠.基于 FFT 的傳輸線串擾

25、時域相應分析與實驗研究J.電波科學學報,2008,23(1).6 Kishore Singhal and Jiri Vlach. Computation of Time Domain Response by Numerical Inversion of the Laplace TransformJ. Journal of The Franklin Institute, 1975, 299(2): 109-112.-3-40123t/s456-6x 10圖 9 Green 函數(shù)法與 NILT 法誤差對比圖4.結(jié)論本文對格林函數(shù)求解終端響應方法進行了推 導，并介紹了數(shù)值拉普拉斯反變換法（NILT）。 最后基于以上兩種方法對簡單無損終端匹配傳輸 線及有損終端不匹配傳輸線的終端的響應。從仿 真結(jié)果來看，格林函數(shù)法與解析解的吻合非常好， 波形穩(wěn)定，能始終很好地反映實際電壓。NILT 方法中期仿真值波形較穩(wěn)定，與解