數(shù)學(xué)九年級(jí)資料三角形一邊的平行線（很好很全很詳細(xì)）

1、 24.3 三角形一邊的平行線學(xué)習(xí)目標(biāo)：1、通過對(duì)三角形中位線的概念與性質(zhì)的分析,從特殊到一般，提出關(guān)于三角 形一邊平行線的研究問題；2、經(jīng)歷運(yùn)用分類思想針對(duì)圖形運(yùn)動(dòng)的不同位置分別探究的過程,初步領(lǐng)略運(yùn)用運(yùn)動(dòng)觀點(diǎn)、化歸和分類討論等思想進(jìn)行數(shù)學(xué)地思考的策略；3、掌握三角形一邊的平行線性質(zhì)定理的應(yīng)用.主要概念： 4、了解三角形的重心的意義和性質(zhì)并能應(yīng)用它解題.主要概念：1、平行線分線段成比例定理 兩條直線被三條平行的直線所截，截得的對(duì)應(yīng)線段成比例.用符號(hào)語言表示：ADBECF,.2、平行線等分線段定理 兩條直線被三條平行的直線所截，如果在一直線上所截得的線段相等，那么在另一直線上所截得的線段也相等

2、.用符號(hào)語言表示：. 熟悉定理的幾種變形O井字型 A字型 X字型 倒 A字型 畸形(O無用)3、 三角形一邊的平行線性質(zhì)定理 平行于三角形一邊的直線截其他兩邊所在的直線，截得的對(duì)應(yīng)線段成比例4、三角形一邊的平行線性質(zhì)定理推論 平行于三角形一邊的直線截其他兩邊所在的直線，截得的三角形的三邊與原 三角形的三邊對(duì)應(yīng)成比例.5、 重心的性質(zhì) 三角形的重心到一個(gè)頂點(diǎn)的距離，等于它到對(duì)邊中點(diǎn)的距離的兩倍重心要掌握三點(diǎn)：1、定義：三角形三條中線相交于一點(diǎn)，這個(gè)交點(diǎn)叫做三角形的重心. 2、作法：兩條中線的交點(diǎn). 3 、性質(zhì)：三角形的重心到一個(gè)頂點(diǎn)的距離，等于它到對(duì)邊中點(diǎn)的距離的兩倍.6、 三角形一邊平行線判定

3、定理 如果一條直線截三角形的兩邊所得的對(duì)應(yīng)線段成比例，那么這條直線平行于三角形的第三邊.7、 三角形一邊的平行線判定定理推論 如果一條直線截三角形兩邊的延長(zhǎng)線（這兩邊的延長(zhǎng)線在第三邊的同側(cè)）所得的對(duì)應(yīng)線段成比例，那么這條直線平行于三角形的第三邊.即：如圖，如果 或 或 則.典型例題：【導(dǎo)入】1、同底等高的三角形的面積比是多少？ （1：1）2、等底不等高的三角形的面積比是多少？（高之比）3、等高不等底的三角形的面積比是多少？（底之比）4、若，（均不為零）則把這個(gè)乘積式化成比例式可以寫成哪幾種形式： ， （ 讓學(xué)生知道等積式轉(zhuǎn)化到比例式可以有多種形式.）5、三角形的中位線有什么性質(zhì)？（平行于底邊且

4、等于底邊的一半）【例1】如圖若，能否得到?解：由等底同高三角形等積，面積比等于底之比得：；由等底同高三角形等積，面積比等于底之比得：.因?yàn)?，所?，所以=1即 .【例1拓展1】若將向下平行移動(dòng)能否得到 ？已知：,直線與邊AB、AC分別相交于點(diǎn)D、E，且.求證： .證明：聯(lián)結(jié)EB,CD設(shè)E到BA的距離為h ，則,得，同理可得，,請(qǐng)問：利用比例的性質(zhì)，還可以得到哪些成比例線段？今后常用的有三個(gè)比例式：【拓展2】若DE截在AB,AC的延長(zhǎng)線上，或DE截在BA,CA的延長(zhǎng)線上，如上圖，上面的三個(gè)比例式還成立嗎？三角形一邊的平行線性質(zhì)定理：平行于三角形一邊的直線截其他兩邊所在的直線，截得的對(duì)應(yīng)線段成比例

5、.符號(hào)語言：DEBC, ,用符號(hào)書寫：DEBC強(qiáng)調(diào)在同一條線段上的比例關(guān)系.【例2】如圖,已知DEBC,AB=15,AC=10,BD=6.求CE.解DEBC,由AB=15,AC=10,BD=6,得 ,CE=4 .【例2拓展練習(xí)】1、在ABC中，DEBC，DE與AB相交于D，與AC相交于E.（1）已知，求的長(zhǎng).（2）已知求的長(zhǎng). （3）已知3：2，求的長(zhǎng).2、 如圖， 在ABC中，DEBC， SBCD：SABC=1：4，若AC=2，求EC的長(zhǎng).3、如圖，已知，ABCDEF，OA=14，AC=16，CE=8，BD=12，求OB、DF的長(zhǎng).4、如圖，在ABC, DGEC,EGBC,求證： =AB A

6、D. 【例3】證明三角形一邊的平行線性質(zhì)定理推論 平行于三角形一邊的直線截其他兩邊所在的直線，截得的三角形的三邊與原三角形的三邊對(duì)應(yīng)成比例.分析：中的DE不在ABC的邊BC上，但從比例可以看出，除DE外，其它線段都在ABC的邊上，因此我們只要將DE移到BC邊上去得CF=DE，然后再證明就可以了，這只要過D作DFAC交BC于F，CF就是平移DE后所得的線段.已知：，求證.證明：作交于,四邊形DFCE為平行四邊形，得FC=DE,. 得,.如上圖，當(dāng)結(jié)論同樣成立，得證?！纠?】如圖，線段BD與CE相交于點(diǎn)A, ,已知2BC=3ED,AC=8,求AE的長(zhǎng).【例5】 已知：如圖是的中線，交于點(diǎn)，求證：.

7、（重心的性質(zhì)：三角形的重心到一個(gè)頂點(diǎn)的距離，等于它到對(duì)邊中點(diǎn)的距離的兩倍.）【例6】已知：在Rt中，是中線交于點(diǎn)，求的長(zhǎng).【例7】 已知：在Rt中，是重心，于，求的長(zhǎng).【例7拓展】1.如圖，在ABC中，DEBC，AE=2，EC=3，DE=4，求BC的長(zhǎng).2.如圖：BDAC，CE=3，CD=5，AC=5，求BD的長(zhǎng).3.已知，ABC中，C=，G是三角形的重心，AB=8， 求： GC的長(zhǎng)； 過點(diǎn)G的直線MNAB，交AC于M，BC于N， 求MN的長(zhǎng).第4題第3題 4. 已知，ABC中，G是三角形的重心，AGGC，AG=3，GC=4，求BG的長(zhǎng). 【例8】如圖ADBECF，AB=3，AC=8，DF=1

8、0，求DE,EF的長(zhǎng). 【例9】已知線段a,b,c,求作線段x,使a:b=c:x來abcBOACDMNabcx【例10】如圖，在ABC中，DEBC，DFAC,則下列比例式中正確的是（ ）A.;B.;C.;D.【答案】B【方法總結(jié)】在做一線三角類題目使可以要求學(xué)生按照下圖所示，用單雙弧標(biāo)出（先將分別標(biāo)為雙弧、單弧，然后根據(jù)平行線定理標(biāo)出其他線段）然后對(duì)各個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行判斷.【例10拓展】如圖，在ABC中，DEBC，EFAB，,則DE= 。【答案】6【提示】【例11】如圖，四邊形ABCD是菱形，且AB=14，BC=12,AC=10,則BE等于（）A.5;B.6;C.7;D.8.【答案】5【提示】 【方

9、法總結(jié)】往往設(shè)平行四邊形（特殊的平行四邊形）的邊長(zhǎng)為，然后列比例關(guān)系求解即可【例11拓展】如圖，若DEBA，DFBC，AB=9，BC=6,則BEDF周長(zhǎng)= ?！敬鸢浮俊咎崾尽?【例12】 如圖，在ABC中，E是AC中點(diǎn)，延長(zhǎng)BC到D，使DC=BC，連接DE，并延長(zhǎng)交AB于F，則DE：EF= ?！敬鸢浮?:1【提示】【方法總結(jié)】以下圖為例，當(dāng)與的交點(diǎn)為或中點(diǎn)時(shí)，通常以過該點(diǎn)的某一線段為中位線，構(gòu)造三角形的第三邊，然后通過比例求解即可.【例12拓展1】1如圖，G為AF的中點(diǎn)，則_。【答案】7:1【例13】（變式）如圖，已知BD=DC,求證：EAFB=ECFA.【答案】略【提示】【方法總結(jié)】如下圖，

10、遇到此基本圖形，通常過A作DF的平行線或過D作AC的平行線【例13拓展】如圖，D、E分別為ABC的AB和AC上的點(diǎn)，且BC的延長(zhǎng)線交DE的延長(zhǎng)線于F點(diǎn)，且.求證：DB=EC?！敬鸢浮柯浴咎崾尽?【例14】（變式）如圖，在ABC中，D為BC邊的中點(diǎn)，延長(zhǎng)AD到E，延長(zhǎng)AB交CE于P。若AD=2DE。求證AP=3AB.【答案】略【提示】根據(jù)AD=2DE，標(biāo)出圖中AB,BG,BD,DC,GE;然后根據(jù)，標(biāo)出PG，最后得證【說明】實(shí)際是例4一類題目的基本圖形的變形【例14拓展】 如圖，在ABC的邊BC，CA上各取一點(diǎn)P和Q，若BP：PC=CQ：QA=2：3，設(shè)AP，BQ的交點(diǎn)為K。求BK：KQ的值?！?/p>

11、答案】【提示】由BP：PC=CQ：QA=2：3標(biāo)出PB,BP,CG,GQ,BQ;由,標(biāo)出KQ,BK【隨堂練習(xí)1】1如圖，ABC中，點(diǎn)P在BC上，四邊形ADPE為平行四邊形，則_?！敬鸢浮?2如圖，DEBC，DFAC，AD4 cm，BD8 cm，DE5 cm，求線段BF的長(zhǎng)【答案】103ABC中，DEBC，EFAB，F(xiàn)C2，AC6，求DE和CE長(zhǎng)【答案】3；4如圖，AM是ABC中BC邊上的中線，過點(diǎn)B作直線交AM于點(diǎn)P，交AC于點(diǎn)Q。求證：AP：PM=2AQ：QC?！敬鸢浮柯浴咎崾尽窟^M作BQ的平行線5如圖，E為AC的中點(diǎn)，點(diǎn)F在AB上，且AF:AB=2:5，F(xiàn)E與BC的延長(zhǎng)線相交于D，求EF：

12、ED的值。【提示】過C作CGFE，設(shè)FE=k,則CG=2k,FD=6k,EF:ED=1:5【答案】1:5【課堂總結(jié)】【說明】本節(jié)課講解的一線三角和后面的基本圖形的解題技巧的再次講解6. 如圖,在ABC中，點(diǎn)D、E分別在AB、AC上,已知AD=3，AB=5，AE=2，EC=,由此判斷DE與BC的位置關(guān)系是 .7. 如圖,AMMB=ANNC=13，則MNBC= .8.如圖, PMN中, 點(diǎn)A、B分別在MP和NP的延長(zhǎng)線上, 則 （3題圖）（2題圖）（1題圖） 9.ADE中,點(diǎn)B和點(diǎn)C分別在AD、AE上,且AB=2BD，AC=2CE，則BCDE= .10.如圖,四邊形ABCD中,AC、BD相交于O,

13、若，AO=8，CO=12，BC=15，則AD= .11.如圖,AC、BD相交于點(diǎn)O,且AO=2,OC=3，BO=10，OD=15，求證：A=C. 12.已知在ABC中,點(diǎn)D、E、F分別在AB、BC、CA上,且,CF=CE，求證：四邊形CFDE是菱形. 13.（拓展題）如圖,已知點(diǎn)D、E在ABC的邊AB、AC上,且DEBC,以DE為一邊作平行四邊形DEFG,延長(zhǎng)BG、CF交于點(diǎn)H,連接AH,求證：AHEF. 【隨堂練習(xí)2】1.在ABC中，D、E分別在AB、AC的反向延長(zhǎng)線上,DEBC，若ADAB=34，EC=14厘米,則AC= .（4題圖）（2題圖）(3題圖) 2.如圖，已知AEBC，AC、BE

14、交于點(diǎn)D，若，則= .3.如圖，L1L2L3 ,AB=3，BC=2，CD=1，那么下列式子中不成立的是( )(A) ECCG=51 (B) EFFG=11 (C) EFFC=32 (D) EFEG=354.在梯形ABCD中，ADBC，EFBC，且AE：EB=5：3，DC=16cm，求FC的長(zhǎng).5如圖，已知ADEBFC，AC=12，DB=3，BF=7，求EC的長(zhǎng).6.已知線段AB,在線段AB上求作點(diǎn)C,使ACCB=32 .7. 如圖,梯形ABCD中,ADBC,BECD交CA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E.求證:FC2=FAFE.8.（拓展題）如圖,P為平行四邊形ABCD的對(duì)角線BD上任意一點(diǎn),過點(diǎn)P的直線交AD

15、于點(diǎn)M,交BC于點(diǎn)N,交BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E,交DC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F,求證:PEPM=PFPN. 一、基礎(chǔ)鞏固練習(xí)：選擇題：1如圖，ABC中，D為BC中點(diǎn)，E為AD的中點(diǎn)，BE的延長(zhǎng)線交AC于F，則為（）A、15B、14C、13D、12【答案】D2如圖，在ABC中，DEBC，DFAB，那么下列比例式中正確的是（ ）（A）；（B）；（C）；（D）【答案】A3如圖，ABC中，D、E、F分別是AB、BC、AC上的點(diǎn)，四邊形ADEF是菱形，AB15，AC10，則菱形的周長(zhǎng)是（ ）。A. 6；（B）16；（C）24；（D）32?！敬鸢浮緾4. 如圖，在ABC中，AD是BC邊上的中線，F(xiàn)是AD上一點(diǎn)，且AF：

16、FD=1：5，連接CF并延長(zhǎng)交AB于E，則AE：BE等于（ ）A.1:6; B.1:8; C.1:9; D.1:10.【答案】D【提示】過點(diǎn)D作CE的平行線5.如圖，AD是ABC的中線，E是CA邊上的三等分點(diǎn)，BE交AD于F，則AF：FD等于（ ）A.1：1;B.2：1;C.3：1;D.4：1.【答案】A填空題：1. 如圖，在ABC中，AD是邊BC上的中線，F(xiàn)是AD上一點(diǎn)，CF的延長(zhǎng)線交AB于點(diǎn)E，若AF：FD=1：3，則AE：EB= 。【答案】1:6【提示】過D作CE的平行線2如圖，DEBC，DFAC，AD5.5cm，BD=11cm，DE5cm，那么BF_cm?！敬鸢浮?03如圖，ABC中，

17、點(diǎn)P在BC上，四邊形ADPE為平行四邊形，則_。【答案】1解答題：1如圖，ABC中，EFBC，F(xiàn)DAB，AE18，BE12，CD14，求線段EF的長(zhǎng)。【答案】212如圖，ABC中，AD2DC，G是BD中點(diǎn)，AC延長(zhǎng)線交BC于E，求的值?！敬鸢浮?:33. 如圖，ABC中，點(diǎn)D是AC的中點(diǎn)，3BE=2EC，AE與BD相交于點(diǎn)F。求DF：BF的值.【答案】4如圖，BG:BE14:16，G為AF中點(diǎn)，求BF:FC的值?！敬鸢浮?:35已知：BE是等腰三角形ABC的角平分線，ACB=90o ,延長(zhǎng)BC到點(diǎn)D，使CD=CE，連結(jié)AD與BE的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)F，說明：AEAC=2AF2。（8分）231233比

18、例線段單元測(cè)試班級(jí)_姓名_學(xué)號(hào)_分?jǐn)?shù)_一、填空（3分1545分）：1已知線段b是線段a、c的比例中項(xiàng)，且a9，c4，則b 2線段AB6cm，點(diǎn)P在線段AB上，且AP是是AB與BP的比例中項(xiàng)，則PB_cm3ABC與A1B1C1中，若ABACBC40cm，則A1B1C1的周長(zhǎng)是_4在比例尺為11000000的地圖上，AB兩地的圖上距離是34厘米，則AB兩地的實(shí)際距離是_千米5已知，則6已知：在中，點(diǎn)D、E分別在AB、AC上，且DEBC，AB6，AD2，EC3，則AE 7已知：點(diǎn)D、E分別在ABC的邊AB、AC的反向延長(zhǎng)線上，且DEBC，則DE 8如圖，在梯形ABCD中，ADBC，AC、BD相交于點(diǎn)O若SAOD4，SAOB6，則SBOC_9如圖，l1l2l3 ， AB2，AC5，DF10，則DE 10如圖,AMMBANNC=13，則MNBC= 11如圖，在ABC中，AM是中線，G是重心，GDBC，交AC于D若BC6，則GD 12如圖，ADEFBC，AD13厘米、BC18厘米，AEEB23，則EF 第12題第9題第11題第10題13如圖，ABC中有菱形ANPN，如果，則_14如圖，在ABCD中，EFAB，EF4，則CD的長(zhǎng)為_第13題第14題第16題第15題15已知平行四邊形ABCD中,E為AD的中點(diǎn),AFBF=