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文檔簡介
1、 24.3 三角形一邊的平行線學習目標:1、通過對三角形中位線的概念與性質(zhì)的分析,從特殊到一般,提出關(guān)于三角 形一邊平行線的研究問題;2、經(jīng)歷運用分類思想針對圖形運動的不同位置分別探究的過程,初步領(lǐng)略運用運動觀點、化歸和分類討論等思想進行數(shù)學地思考的策略;3、掌握三角形一邊的平行線性質(zhì)定理的應(yīng)用.主要概念: 4、了解三角形的重心的意義和性質(zhì)并能應(yīng)用它解題.主要概念:1、平行線分線段成比例定理 兩條直線被三條平行的直線所截,截得的對應(yīng)線段成比例.用符號語言表示:ADBECF,.2、平行線等分線段定理 兩條直線被三條平行的直線所截,如果在一直線上所截得的線段相等,那么在另一直線上所截得的線段也相等
2、.用符號語言表示:. 熟悉定理的幾種變形O井字型 A字型 X字型 倒 A字型 畸形(O無用)3、 三角形一邊的平行線性質(zhì)定理 平行于三角形一邊的直線截其他兩邊所在的直線,截得的對應(yīng)線段成比例4、三角形一邊的平行線性質(zhì)定理推論 平行于三角形一邊的直線截其他兩邊所在的直線,截得的三角形的三邊與原 三角形的三邊對應(yīng)成比例.5、 重心的性質(zhì) 三角形的重心到一個頂點的距離,等于它到對邊中點的距離的兩倍重心要掌握三點:1、定義:三角形三條中線相交于一點,這個交點叫做三角形的重心. 2、作法:兩條中線的交點. 3 、性質(zhì):三角形的重心到一個頂點的距離,等于它到對邊中點的距離的兩倍.6、 三角形一邊平行線判定
3、定理 如果一條直線截三角形的兩邊所得的對應(yīng)線段成比例,那么這條直線平行于三角形的第三邊.7、 三角形一邊的平行線判定定理推論 如果一條直線截三角形兩邊的延長線(這兩邊的延長線在第三邊的同側(cè))所得的對應(yīng)線段成比例,那么這條直線平行于三角形的第三邊.即:如圖,如果 或 或 則.典型例題:【導入】1、同底等高的三角形的面積比是多少? (1:1)2、等底不等高的三角形的面積比是多少?(高之比)3、等高不等底的三角形的面積比是多少?(底之比)4、若,(均不為零)則把這個乘積式化成比例式可以寫成哪幾種形式: , ( 讓學生知道等積式轉(zhuǎn)化到比例式可以有多種形式.)5、三角形的中位線有什么性質(zhì)?(平行于底邊且
4、等于底邊的一半)【例1】如圖若,能否得到?解:由等底同高三角形等積,面積比等于底之比得:;由等底同高三角形等積,面積比等于底之比得:.因為,所以 ,所以=1即 .【例1拓展1】若將向下平行移動能否得到 ?已知:,直線與邊AB、AC分別相交于點D、E,且.求證: .證明:聯(lián)結(jié)EB,CD設(shè)E到BA的距離為h ,則,得,同理可得,,請問:利用比例的性質(zhì),還可以得到哪些成比例線段?今后常用的有三個比例式:【拓展2】若DE截在AB,AC的延長線上,或DE截在BA,CA的延長線上,如上圖,上面的三個比例式還成立嗎?三角形一邊的平行線性質(zhì)定理:平行于三角形一邊的直線截其他兩邊所在的直線,截得的對應(yīng)線段成比例
5、.符號語言:DEBC, ,用符號書寫:DEBC強調(diào)在同一條線段上的比例關(guān)系.【例2】如圖,已知DEBC,AB=15,AC=10,BD=6.求CE.解DEBC,由AB=15,AC=10,BD=6,得 ,CE=4 .【例2拓展練習】1、在ABC中,DEBC,DE與AB相交于D,與AC相交于E.(1)已知,求的長.(2)已知求的長. (3)已知3:2,求的長.2、 如圖, 在ABC中,DEBC, SBCD:SABC=1:4,若AC=2,求EC的長.3、如圖,已知,ABCDEF,OA=14,AC=16,CE=8,BD=12,求OB、DF的長.4、如圖,在ABC, DGEC,EGBC,求證: =AB A
6、D. 【例3】證明三角形一邊的平行線性質(zhì)定理推論 平行于三角形一邊的直線截其他兩邊所在的直線,截得的三角形的三邊與原三角形的三邊對應(yīng)成比例.分析:中的DE不在ABC的邊BC上,但從比例可以看出,除DE外,其它線段都在ABC的邊上,因此我們只要將DE移到BC邊上去得CF=DE,然后再證明就可以了,這只要過D作DFAC交BC于F,CF就是平移DE后所得的線段.已知:,求證.證明:作交于,四邊形DFCE為平行四邊形,得FC=DE,. 得,.如上圖,當結(jié)論同樣成立,得證?!纠?】如圖,線段BD與CE相交于點A, ,已知2BC=3ED,AC=8,求AE的長.【例5】 已知:如圖是的中線,交于點,求證:.
7、(重心的性質(zhì):三角形的重心到一個頂點的距離,等于它到對邊中點的距離的兩倍.)【例6】已知:在Rt中,是中線交于點,求的長.【例7】 已知:在Rt中,是重心,于,求的長.【例7拓展】1.如圖,在ABC中,DEBC,AE=2,EC=3,DE=4,求BC的長.2.如圖:BDAC,CE=3,CD=5,AC=5,求BD的長.3.已知,ABC中,C=,G是三角形的重心,AB=8, 求: GC的長; 過點G的直線MNAB,交AC于M,BC于N, 求MN的長.第4題第3題 4. 已知,ABC中,G是三角形的重心,AGGC,AG=3,GC=4,求BG的長. 【例8】如圖ADBECF,AB=3,AC=8,DF=1
8、0,求DE,EF的長. 【例9】已知線段a,b,c,求作線段x,使a:b=c:x來abcBOACDMNabcx【例10】如圖,在ABC中,DEBC,DFAC,則下列比例式中正確的是( )A.;B.;C.;D.【答案】B【方法總結(jié)】在做一線三角類題目使可以要求學生按照下圖所示,用單雙弧標出(先將分別標為雙弧、單弧,然后根據(jù)平行線定理標出其他線段)然后對各個選項進行判斷.【例10拓展】如圖,在ABC中,DEBC,EFAB,,則DE= ?!敬鸢浮?【提示】【例11】如圖,四邊形ABCD是菱形,且AB=14,BC=12,AC=10,則BE等于()A.5;B.6;C.7;D.8.【答案】5【提示】 【方
9、法總結(jié)】往往設(shè)平行四邊形(特殊的平行四邊形)的邊長為,然后列比例關(guān)系求解即可【例11拓展】如圖,若DEBA,DFBC,AB=9,BC=6,則BEDF周長= ?!敬鸢浮俊咎崾尽?【例12】 如圖,在ABC中,E是AC中點,延長BC到D,使DC=BC,連接DE,并延長交AB于F,則DE:EF= ?!敬鸢浮?:1【提示】【方法總結(jié)】以下圖為例,當與的交點為或中點時,通常以過該點的某一線段為中位線,構(gòu)造三角形的第三邊,然后通過比例求解即可.【例12拓展1】1如圖,G為AF的中點,則_。【答案】7:1【例13】(變式)如圖,已知BD=DC,求證:EAFB=ECFA.【答案】略【提示】【方法總結(jié)】如下圖,
10、遇到此基本圖形,通常過A作DF的平行線或過D作AC的平行線【例13拓展】如圖,D、E分別為ABC的AB和AC上的點,且BC的延長線交DE的延長線于F點,且.求證:DB=EC?!敬鸢浮柯浴咎崾尽?【例14】(變式)如圖,在ABC中,D為BC邊的中點,延長AD到E,延長AB交CE于P。若AD=2DE。求證AP=3AB.【答案】略【提示】根據(jù)AD=2DE,標出圖中AB,BG,BD,DC,GE;然后根據(jù),標出PG,最后得證【說明】實際是例4一類題目的基本圖形的變形【例14拓展】 如圖,在ABC的邊BC,CA上各取一點P和Q,若BP:PC=CQ:QA=2:3,設(shè)AP,BQ的交點為K。求BK:KQ的值?!?/p>
11、答案】【提示】由BP:PC=CQ:QA=2:3標出PB,BP,CG,GQ,BQ;由,標出KQ,BK【隨堂練習1】1如圖,ABC中,點P在BC上,四邊形ADPE為平行四邊形,則_。【答案】12如圖,DEBC,DFAC,AD4 cm,BD8 cm,DE5 cm,求線段BF的長【答案】103ABC中,DEBC,EFAB,F(xiàn)C2,AC6,求DE和CE長【答案】3;4如圖,AM是ABC中BC邊上的中線,過點B作直線交AM于點P,交AC于點Q。求證:AP:PM=2AQ:QC?!敬鸢浮柯浴咎崾尽窟^M作BQ的平行線5如圖,E為AC的中點,點F在AB上,且AF:AB=2:5,F(xiàn)E與BC的延長線相交于D,求EF:
12、ED的值?!咎崾尽窟^C作CGFE,設(shè)FE=k,則CG=2k,FD=6k,EF:ED=1:5【答案】1:5【課堂總結(jié)】【說明】本節(jié)課講解的一線三角和后面的基本圖形的解題技巧的再次講解6. 如圖,在ABC中,點D、E分別在AB、AC上,已知AD=3,AB=5,AE=2,EC=,由此判斷DE與BC的位置關(guān)系是 .7. 如圖,AMMB=ANNC=13,則MNBC= .8.如圖, PMN中, 點A、B分別在MP和NP的延長線上, 則 (3題圖)(2題圖)(1題圖) 9.ADE中,點B和點C分別在AD、AE上,且AB=2BD,AC=2CE,則BCDE= .10.如圖,四邊形ABCD中,AC、BD相交于O,
13、若,AO=8,CO=12,BC=15,則AD= .11.如圖,AC、BD相交于點O,且AO=2,OC=3,BO=10,OD=15,求證:A=C. 12.已知在ABC中,點D、E、F分別在AB、BC、CA上,且,CF=CE,求證:四邊形CFDE是菱形. 13.(拓展題)如圖,已知點D、E在ABC的邊AB、AC上,且DEBC,以DE為一邊作平行四邊形DEFG,延長BG、CF交于點H,連接AH,求證:AHEF. 【隨堂練習2】1.在ABC中,D、E分別在AB、AC的反向延長線上,DEBC,若ADAB=34,EC=14厘米,則AC= .(4題圖)(2題圖)(3題圖) 2.如圖,已知AEBC,AC、BE
14、交于點D,若,則= .3.如圖,L1L2L3 ,AB=3,BC=2,CD=1,那么下列式子中不成立的是( )(A) ECCG=51 (B) EFFG=11 (C) EFFC=32 (D) EFEG=354.在梯形ABCD中,ADBC,EFBC,且AE:EB=5:3,DC=16cm,求FC的長.5如圖,已知ADEBFC,AC=12,DB=3,BF=7,求EC的長.6.已知線段AB,在線段AB上求作點C,使ACCB=32 .7. 如圖,梯形ABCD中,ADBC,BECD交CA的延長線于點E.求證:FC2=FAFE.8.(拓展題)如圖,P為平行四邊形ABCD的對角線BD上任意一點,過點P的直線交AD
15、于點M,交BC于點N,交BA的延長線于點E,交DC的延長線于點F,求證:PEPM=PFPN. 一、基礎(chǔ)鞏固練習:選擇題:1如圖,ABC中,D為BC中點,E為AD的中點,BE的延長線交AC于F,則為()A、15B、14C、13D、12【答案】D2如圖,在ABC中,DEBC,DFAB,那么下列比例式中正確的是( )(A);(B);(C);(D)【答案】A3如圖,ABC中,D、E、F分別是AB、BC、AC上的點,四邊形ADEF是菱形,AB15,AC10,則菱形的周長是( )。A. 6;(B)16;(C)24;(D)32?!敬鸢浮緾4. 如圖,在ABC中,AD是BC邊上的中線,F(xiàn)是AD上一點,且AF:
16、FD=1:5,連接CF并延長交AB于E,則AE:BE等于( )A.1:6; B.1:8; C.1:9; D.1:10.【答案】D【提示】過點D作CE的平行線5.如圖,AD是ABC的中線,E是CA邊上的三等分點,BE交AD于F,則AF:FD等于( )A.1:1;B.2:1;C.3:1;D.4:1.【答案】A填空題:1. 如圖,在ABC中,AD是邊BC上的中線,F(xiàn)是AD上一點,CF的延長線交AB于點E,若AF:FD=1:3,則AE:EB= ?!敬鸢浮?:6【提示】過D作CE的平行線2如圖,DEBC,DFAC,AD5.5cm,BD=11cm,DE5cm,那么BF_cm?!敬鸢浮?03如圖,ABC中,
17、點P在BC上,四邊形ADPE為平行四邊形,則_?!敬鸢浮?解答題:1如圖,ABC中,EFBC,F(xiàn)DAB,AE18,BE12,CD14,求線段EF的長?!敬鸢浮?12如圖,ABC中,AD2DC,G是BD中點,AC延長線交BC于E,求的值?!敬鸢浮?:33. 如圖,ABC中,點D是AC的中點,3BE=2EC,AE與BD相交于點F。求DF:BF的值.【答案】4如圖,BG:BE14:16,G為AF中點,求BF:FC的值?!敬鸢浮?:35已知:BE是等腰三角形ABC的角平分線,ACB=90o ,延長BC到點D,使CD=CE,連結(jié)AD與BE的延長線交于點F,說明:AEAC=2AF2。(8分)231233比
18、例線段單元測試班級_姓名_學號_分數(shù)_一、填空(3分1545分):1已知線段b是線段a、c的比例中項,且a9,c4,則b 2線段AB6cm,點P在線段AB上,且AP是是AB與BP的比例中項,則PB_cm3ABC與A1B1C1中,若ABACBC40cm,則A1B1C1的周長是_4在比例尺為11000000的地圖上,AB兩地的圖上距離是34厘米,則AB兩地的實際距離是_千米5已知,則6已知:在中,點D、E分別在AB、AC上,且DEBC,AB6,AD2,EC3,則AE 7已知:點D、E分別在ABC的邊AB、AC的反向延長線上,且DEBC,則DE 8如圖,在梯形ABCD中,ADBC,AC、BD相交于點O若SAOD4,SAOB6,則SBOC_9如圖,l1l2l3 , AB2,AC5,DF10,則DE 10如圖,AMMBANNC=13,則MNBC= 11如圖,在ABC中,AM是中線,G是重心,GDBC,交AC于D若BC6,則GD 12如圖,ADEFBC,AD13厘米、BC18厘米,AEEB23,則EF 第12題第9題第11題第10題13如圖,ABC中有菱形ANPN,如果,則_14如圖,在ABCD中,EFAB,EF4,則CD的長為_第13題第14題第16題第15題15已知平行四邊形ABCD中,E為AD的中點,AFBF=
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