《空間角》學案

1、空間角學案知識點歸納 1異面直線所成的角：已知兩條異面直線，經過空間任一點作直線，所成的角的大小與點的選擇無關，把所成的銳角（或直角）叫異面直線所成的角（或夾角）為了簡便，點通常取在異面直線的一條上。異面直線所成的角的范圍：2求異面直線所成的角的方法：（1）幾何法；（2）向量法3直線和平面所成角（1）定義：平面的一條斜線和它在平面上的射影所成的銳角叫做這條斜線和這個平面所成的角一直線垂直于平面，所成的角是直角一直線平行于平面或在平面內，所成角為0角直線和平面所成角范圍： 0，（2）定理：斜線和平面所成角是這條斜線和平面內經過斜足的直線所成的一切角中最小的角4公式：平面a的斜線a與a內一直線b相

2、交成角，且a與a相交成j1角，a在a上的射影c與b相交成j2角，則有5 二面角：平面內的一條直線把平面分為兩個部分，其中的每一部分叫做半平面；從一條直線出發(fā)的兩個半平面所組成的圖形叫做二面角，這條直線叫做二面角的棱，每個半平面叫做二面角的面若棱為，兩個面分別為的二面角記為；6二面角的平面角： （1）過二面角的棱上的一點分別在兩個半平面內作棱的兩條垂線，則叫做二面角的平面角（2）一個平面垂直于二面角的棱，且與兩半平面交線分別為為垂足，則也是的平面角說明：二面角的平面角范圍是；二面角的平面角為直角時，則稱為直二面角，組成直二面角的兩個平面互相垂直7二面角的求法：幾何法；向量法8求二面角的射影公式：

3、，其中各個符號的含義是：是二面角的一個面內圖形F的面積，是圖形F在二面角的另一個面內的射影，是二面角的大小9三種空間角的向量法計算公式：異面直線所成的角：；直線與平面(法向量)所成的角：；銳二面角：，其中為兩個面的法向量題型講解 【例1】（09廣東）如圖，已知正方體的棱長為2，點是正方形的中心，點、分別是棱的中點設點分別是點，在平面內的正投影（1）證明：直線平面；（2）求異面直線所成角的正弦值.【變式】直三棱柱A1B1C1ABC，BCA=90，點D1、F1分別是A1B1、A1C1的中點，BC=CA=CC1，則BD1與AF1所成角的余弦值是（）A B C D【例2】（09北京理）如圖，在三棱錐中

4、，底面，點，分別在棱上，且（）求證：平面；（）當為的中點時，求與平面所成的角的大??；（）是否存在點使得二面角為直二面角？并說明理由.【變式】（2009江西卷理）在四棱錐中，底面是矩形，平面，. 以的中點為球心、為直徑的球面交于點，交于點.（1）求證：平面平面；（2）求直線與平面所成的角的大?。弧纠?】(09湖北) 如圖，四棱錐SABCD的底面是正方形，SD平面ABCD，SD=2a，點E是SD上的點，且（）求證：對任意的，都有（）設二面角CAED的大小為，直線BE與平面ABCD所成的角為，若，求的值【變式】(09全國文）如圖，直三棱柱ABC-A1B1C1中，ABAC,D、E分別為AA1、B1C的

5、中點，DE平面BCC1, （）證明：AB=ACACBA1B1C1DE（）設二面角A-BD-C為60,求B1C與平面BCD所成的角的大小【例4】已知四棱錐P-ABCD的底面為直角梯形，ABDC，底面ABCD，且PA=AD=DC=AB=1，M是PB的中點。（）證明：面PAD面PCD；（）求AC與PB所成的角；（）求面AMC與面BMC所成二面角的大小。【變式】（09天津）如圖，在五面體ABCDEF中，F(xiàn)A 平面ABCD, AD/BC/FE，ABAD，M為EC的中點，AF=AB=BC=FE=AD(I) 求異面直線BF與DE所成的角的大??；(II) 證明平面AMD平面CDE；（III）求二面角A-CD-

6、E的余弦值?！纠?】在直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，ABAD2，DC2，AA1，ADDC，ACBD, 垂足為E， （I）求證：BDA1C； （II）求二面角A 1BDC 1的大小； （III）求異面直線 AD與 BC 1所成角的大小【變式】（09重慶理）如圖，在四棱錐中，ADBC且；平面平面，；為的中點，求：（）點到平面的距離；（）二面角的大小練習 1、（09全國） 已知正四棱柱中，=，為中點，則異面直線與所形成角的余弦值為（ ）（A） (B) (C) (D) 2、（09全國）已知三棱柱的側棱與底面邊長都相等，在底面上的射影為的中點，則異面直線與所成的角的余弦值為（ ）（A） （B） （

7、C） (D) 3、（09浙江卷）在三棱柱中，各棱長相等，側掕垂直于底面，點是側面的中心，則與平面所成角的大小是 ( )A B C D4、二面角的平面角為120，A、B，AC，BD，AC，BD，若ABACBD，則CD的長為 5、（北京理）如圖，在中，斜邊可以通過以直線為軸旋轉得到，且二面角是直二面角動點的斜邊上（I）求證：平面平面；（II）當為的中點時，求異面直線與所成角的大小；（III）求與平面所成角的最大值6、（陜西理）如圖,在底面為直角梯形的四棱錐中，,BC=6。()求證：；()求二面角的大??；AEDPCBF7、（08安徽卷）如圖，在四棱錐中，底面四邊長為1的菱形，, , ,為的中點，為的中點（）證明：直線；（）求異面直線AB與MD所成角的大??；8、