必修一第三章函數(shù)和零點

1、高一必修一人教A版 學校 姓名 函數(shù)和方程【學習目標】(1)重點理解函數(shù)零點的概念，判定二次函數(shù)零點的個數(shù)，會求函數(shù)的零點；(2)結(jié)合二次函數(shù)的圖象，判斷一元二次方程根的存在性及根的個數(shù)，從而了解函數(shù)零點與方程根的聯(lián)系；(3)根據(jù)具體函數(shù)的圖象，能夠借助計算器用二分法求函數(shù)零點的近似解，了解這種方法是求函數(shù)零點近似解的常用方法.【要點梳理】要點一：函數(shù)的零點1.函數(shù)的零點（1）一般地，如果函數(shù)在實數(shù)處的值等于零，即，則叫做這個函數(shù)的零點.要點詮釋：函數(shù)的零點是一個實數(shù)，當函數(shù)的自變量取這個實數(shù)時，其函數(shù)值等于零；函數(shù)的零點也就是函數(shù)的圖象與軸交點的橫坐標；函數(shù)的零點就是方程的實數(shù)根歸納：方程有

2、實數(shù)根函數(shù)的圖象與軸有交點函數(shù)有零點（2）二次函數(shù)的零點二次函數(shù)的零點個數(shù)，方程的實根個數(shù)見下表.判別式方程的根函數(shù)的零點兩個不相等的實根兩個零點兩個相等的實根一個二重零點無實根無零點（3）二次函數(shù)零點的性質(zhì)二次函數(shù)的圖象是連續(xù)的，當它通過零點時（不是二重零點），函數(shù)值變號.相鄰兩個零點之間的所有的函數(shù)值保持同號.引伸：對任意函數(shù)，只要它的圖象是連續(xù)不間斷的，上述性質(zhì)同樣成立.2函數(shù)零點的判定（1）利用函數(shù)零點存在性的判定定理如果函數(shù)在一個區(qū)間上的圖象不間斷，并且在它的兩個端點處的函數(shù)值異號，即，則這個函數(shù)在這個區(qū)間上，至少有一個零點，即存在一點，使，這個也就是方程的根.要點詮釋：滿足上述條件

3、，我們只能判定區(qū)間內(nèi)有零點，但不能確定有幾個若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)，則只有一個；若不單調(diào)，則個數(shù)不確定若函數(shù)在區(qū)間上有，在內(nèi)也可能有零點，例如在上，在區(qū)間上就是這樣的故在內(nèi)有零點，不一定有若函數(shù)在區(qū)間上的圖象不是連續(xù)不斷的曲線，在內(nèi)也可能是有零點，例如函數(shù)在上就是這樣的（2）利用方程求解法求函數(shù)的零點時，先考慮解方程，方程無實根則函數(shù)無零點，方程有實根則函數(shù)有零點（3）利用數(shù)形結(jié)合法函數(shù)的零點就是方程的實數(shù)根，也就是函數(shù)的圖象與的圖象交點的橫坐標要點二：一元二次方程根的分布與方程系數(shù)的關(guān)系（1）設(shè)x1、x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a0）的兩實根，則x1、x2的分布范圍與一元二次方程的系

4、數(shù)之間的關(guān)系是：當x1x2k時，有；當kx1x2時，有；當x1kx2時，；當x1，x2（k1，k2）時，有；當x1、x2有且僅有一個在（k1，k2）時，有要點詮釋：討論二次函數(shù)的根在區(qū)間的分布情況一般需從三方面考慮：判別式；區(qū)間端點的函數(shù)值的符號；對稱軸與區(qū)間的相對位置當k=0時，也就是一元二次方程根的零分布（2）所謂一元二次方程根的零分布，是指方程的根相對于零的關(guān)系比如一元二次方程有一正根，有一負根，其實就是指這個二次方程一個根比零大，一個根比零小，或者說這兩個根分布在零的兩側(cè)設(shè)一元二次方程ax2+bx+c=0（a0）的兩個實根為x1，x2，且x1x2；x1=0，x20c=0，且；x10，x

5、2=0c=0，且要點三：二分法1.二分法所謂二分法就是通過不斷地把函數(shù)的零點所在的區(qū)間一分為二，使區(qū)間的兩個端點逐步逼近零點，進而得到零點近似值的方法.2.用二分法求函數(shù)零點的一般步驟：已知函數(shù)定義在區(qū)間D上，求它在D上的一個零點x0的近似值x，使它滿足給定的精確度.第一步：在D內(nèi)取一個閉區(qū)間，使與異號，即，零點位于區(qū)間中.第二步：取區(qū)間的中點，則此中點對應的坐標為.計算和，并判斷：如果，則就是的零點，計算終止；如果，則零點位于區(qū)間中，令；如果，則零點位于區(qū)間中，令第三步：取區(qū)間的中點，則此中點對應的坐標為 .計算和，并判斷：如果，則就是的零點，計算終止；如果，則零點位于區(qū)間中，令；如果，則零

6、點位于區(qū)間中，令；繼續(xù)實施上述步驟，直到區(qū)間，函數(shù)的零點總位于區(qū)間上，當和按照給定的精確度所取的近似值相同時，這個相同的近似值就是函數(shù)的近似零點，計算終止.這時函數(shù)的近似零點滿足給定的精確度.要點詮釋：（1）第一步中要使：區(qū)間長度盡量小；、的值比較容易計算且（2）根據(jù)函數(shù)的零點與相應方程的根的關(guān)系，求函數(shù)的零點和求相應方程的根式等價的對于求方程的根，可以構(gòu)造函數(shù)，函數(shù)的零點即為方程的根【經(jīng)典例題】類型一、求函數(shù)的零點例1. 求下列函數(shù)的零點.(1) ；(2)；（3）【答案】（1）-3，1；（2）-1，1；（3）-2，0，2【解析】根據(jù)函數(shù)零點與方程的根之間的關(guān)系，要求函數(shù)的零點，就是求相應方程

7、的實數(shù)根. (1) 由，令，得，故函數(shù)零點是-3，1；(2)由，令得x=1，-1，故函數(shù)的零點是-1，1；(3)令，即，即，得，故函數(shù)的零點是-2，0，2【總結(jié)升華】求函數(shù)的零點就是求相應方程的實數(shù)根，一般可以借助求根公式或因式分解等方法，求出方程的根，從而得到函數(shù)的零點.舉一反三：【變式1】求函數(shù)：(1)；(2)的零點.【答案】（1）；（2）-3，1，2【解析】(1) 令，即，得(2)方程可化為由知所以函數(shù)的零點為；函數(shù)的零點為-3，1，2.【總結(jié)升華】三次因式分解的關(guān)鍵是，裂項后的兩組分別要有公因式可提取，函數(shù)求零點的題目和解方程的題目可相互轉(zhuǎn)化.類型二、函數(shù)零點的存在性定理例2與分別是實

8、系數(shù)一元二次方程和的一個根，且，。求證：方程有且僅有一根介于與之間。證明：令與分別是實系數(shù)一元二次方程和的一個根， ，故，方程有且僅有一根介于與之間【總結(jié)升華】這是最基本的題型，所用的方法也是基本方法：只要判斷區(qū)間a，b的端點值的乘積是否滿足，還要看函數(shù)的圖象在a，b上是否是連續(xù)曲線即可解答這類判斷函數(shù)零點的大致區(qū)間的選擇題，只需用函數(shù)零點的存在性定理依次檢驗所提供的區(qū)間，即可得到答案舉一反三：【變式1】若函數(shù)，則下列判斷正確的是（ ）A方程f（x）=0在區(qū)間0，1內(nèi)一定有解B方程f（x）=0在區(qū)間0，1內(nèi)一定無解C函數(shù)f（x）是奇函數(shù)D函數(shù)f（x）是偶函數(shù)【答案】A【變式2】若方程在（0，1

9、）恰好有一解，求a的取值范圍【答案】【解析】（1）當時，方程為，不滿足題意舍去（2）當時，令，分情況討論：，不滿足題意舍去，若且即，滿足題意若且即時，的另一解是綜上所述，滿足條件的的取值范圍是類型三、利用函數(shù)圖象求函數(shù)的零點個數(shù)例3試討論函數(shù)的零點個數(shù)【解析】由得，令的圖象如圖所示，當即時，與無公共點當或，即或時，與有兩個交點當即時，與有四個交點當，即時，與有三個交點所以，當時，函數(shù)無零點當或時，函數(shù)有兩個零點當時，函數(shù)有四個零點當時，函數(shù)有三個零點【總結(jié)升華】體現(xiàn)了函數(shù)與方程的互相轉(zhuǎn)化，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合思想的應用，它對于解決有更多限制條件的問題提供了一種新的途徑舉一反三：【變式1】關(guān)于x的方程

10、(x21)2|x21|+k=0，給出下列四個命題：存在實數(shù)k，使得方程恰有2個不等的實根；存在實數(shù)k，使得方程恰有4個不等的實根；存在實數(shù)k，使得方程恰有5個不等的實根；存在實數(shù)k，使得方程恰有8個不等的實根 其中假命題的個數(shù)是（ ）A0 B1 C2 D3【答案】A【解析】 據(jù)題意令|x21|=t（t0） ，則原方程化為 t2t+k=0 ，作出函數(shù)y=|x21|的圖象如圖，結(jié)合函數(shù)的圖象可知：當t=0或t1時，方程有2個不等的實根；當0t1時，方程有4個不等的實根；當t=1時，方程有3個不等的實根（1）當時，方程t2t+k=0存在2個不等的小于1的正實根，原方程就存在8個不等的實根；（2）當k

11、=0時，t=0或t=1，原方程存在0，1，1，共5個不等的實根；（3）當時，原方程存在共4個不等的實根；（4）當k0時，一元二次方程t2t+k=0的根為一正一負，且兩根之和為1，可知方程t2t+k=0的正根t1，故原方程只有2個不等的實根；（5）當時，方程無實根，故原方程無實根故選A類型四、一元二次方程根的分布例4已知關(guān)于x的二次方程x2+2mx+2m+1=0 （1）若方程有兩根，其中一根在區(qū)間（1，0）內(nèi)，另一根在區(qū)間（1,2）內(nèi)，求的取值范圍（2）若方程兩根均在區(qū)間（0,1）內(nèi)，求的取值范圍【答案】（1）；（2）【解析】（1）條件說明函數(shù)的零點在區(qū)間（-1,0）和（1,2）內(nèi)，由圖1可知，

12、 （2）函數(shù)的零點在區(qū)間（0，1）內(nèi)，由圖2知必有【總結(jié)升華】本例兩個小題均可以用解方程的方法求解，但很繁瑣，而利用函數(shù)的性質(zhì)和圖象求解就變得非常直觀簡捷“方程與函數(shù)思想”“數(shù)形結(jié)合思想”是數(shù)學中的兩個重要思想，解題中要注意應用探究 本例中若方程的二次項系數(shù)含有參數(shù)（mx2+2x+m+2=0，m0），如何求解？可以用分類討論方法求解，即討論m0和m0，結(jié)合圖象求解；注意討論過程中，函數(shù)端點值的符號與m的正負有關(guān)，因此也可用下面方法求解即設(shè)，則在（1）中有，在（2）中有例5若二次函數(shù)y=x2+mx1的圖象與兩端點為A（0，3），B（3，0）的線段AB有兩個不同的交點，求m的取值范圍【答案】 【解

13、析】 先求出線段AB的方程，之后將圖象交點問題轉(zhuǎn)化為方程組解的問題，再將方程組解的問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)在區(qū)間上有零點的問題，最后通過不等式組求得m范圍 線段AB的方程為x+y=3（0x3），由題意得方程組有兩組實解代入得x2(m+1)x+4=0（0x3）有兩個實根，令因此問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)在x0，3上有兩個不同的實根，故有，解得故m的取值范圍是【總結(jié)升華】本題解法體現(xiàn)了函數(shù)與方程的思想：從列方程（組）開始，通過消元得到一元二次方程，對這個方程實根的研究轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)f(x)在0，3的實根，又轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)f(x)在0，3上與x軸有兩個交點的問題，最后建立m的不等式組求出m的取值范圍，整個解題過程

14、充滿了對函數(shù)、方程和不等式的研究和轉(zhuǎn)化，充分體現(xiàn)了函數(shù)方程思想的應用舉一反三：【變式1】 關(guān)于x的方程ax22(a+1)x+a1=0，求a為何值時：（1）方程有一根；（2）方程有一正一負根；（3）方程兩根都大于1；（4）方程有一根大于1，一根小于1【答案】（1）或（2）（3）不存在實數(shù)（4）【解析】（1）當a=0時，方程變?yōu)?x1=0，即，符合題意；當時，方程為二次方程，因為方程有一根，所以，解得綜上可知，當或時，關(guān)于的方程ax22(a+1)x+a1=0有一根（2）因為方程有一正一負根，所以由根與系數(shù)的關(guān)系得又解得（3）方程兩根都大于1，圖象大致如圖所以必須滿足或兩不等式組均無解所以不存在實數(shù)

15、，使方程兩根都大于1（4）因為方程有一根大于1，一根小于1，圖象大致如圖所以必須滿足或解得類型五、用二分法求函數(shù)的零點的近似值例6.求函數(shù)的一個正數(shù)零點(精確到0.1).【答案】1.7【解析】由于，可取區(qū)間作為計算的初始區(qū)間，用二分法逐步計算，列表如下：區(qū)間中點中點函數(shù)值1，21.5-2.6251.5，21.750.23441.5，1.751.625-1.30271.625，1.751.6875-0.56181.6875，1.751.71875-0.1709由上表計算可知，區(qū)間1.6875，1.75的長度1.75-1.6875=0.06250.1，所以可以將1.6875的近似值1.7作為函數(shù)零

16、點的近似值.【總結(jié)升華】應首先判斷x的取正整數(shù)時，函數(shù)值的正負，使正整數(shù)所對應的區(qū)間盡量小，便于利用二分法求其近似值.舉一反三：【變式1】用二分法求函數(shù)的一個正零點（精確到）【答案】2.24【解析】由，可知函數(shù)的一個正零點在區(qū)間中；取的區(qū)間中點；計算；由于，則有零點的新區(qū)間為取的區(qū)間中點；計算；由于，則有零點的新區(qū)間為；取的區(qū)間中點；計算；由于，則有零點的新區(qū)間為；取的區(qū)間中點；計算；由于，則有零點的新區(qū)間為；取的區(qū)間中點計算；由于，則有零點的新區(qū)間為；取的區(qū)間中點；計算；由于，由于，則有零點的新區(qū)間為；又因為零點要求精確到，而區(qū)間兩端點近似值相同都是2.24，所以函數(shù)的一個正零點為：2.24

17、.類型六、用二分法解決實際問題例7 學校請了30名木工制作200把椅子和100張課桌已知制作一張課桌和一把椅子的工時之比為107，問30名工人如何分組（一組制作課桌，一組制作椅子）能使任務完成最快？【答案】 13人 、17人【解析】 設(shè)x（1x29，xN）名工人制作課桌，（30x）名工人制作椅子一名工人在一個單位時間里可制作7張桌子或10把椅子，所以制作100張課桌所需的時間，制作200把椅子所需要的時間要想任務完成最快，則應求y=maxP(x)，Q(x)的最小值，該函數(shù)圖象如圖3-1-2-5中實線部分所示，則x0即為y取最小值時的x的值此時P(x)=Q(x)，下面用二分法的知識求x0的整數(shù)值

18、令，則，所以x0（1，29）；取中點，f(15)0.380，所以x0（1，15）；同理可得x0（8，15），x0（11.5，15），x0（11.5，13.25），x0（12.375，13.25），x0（12.375，12.8125），又因為x0N，所以x0=12或x0=13當x0=12時，y=maxP(x)，Q(x)1.19；當x0=13時，y=maxP(x)，Q(x)1.181.19，所以取x0=13，即用13名工人制作課桌，17名工人制作椅子，可使任務完成最快【總結(jié)升華】首先將問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問題，然后用二分法求方程的解本題也可以直接求方程的解舉一反三：【變式1】 某電腦公司生產(chǎn)A種型號的筆記本電腦，2006年平均每臺電腦生產(chǎn)成本5000元，并以純利潤20%標定出廠價從2007年開始，公司更新設(shè)備，加強管理，逐步推行股份制，從而使生產(chǎn)成本逐年降低，2010年平均每臺A種型號的筆記本電腦盡管出廠價僅是2006年出廠價的80%，但卻實現(xiàn)了純利潤50%的高效益 （1）求2010年每臺電腦的生產(chǎn)成本；（2）以20