2013屆高考數(shù)學考點回歸總復習《第四十二講 拋物線》課件 新人教版

1、第四十二講 拋物線,回歸課本 1.拋物線的定義 平面內(nèi)與一個定點F和一條直線l(Fl)的距離相等的點的軌跡叫做拋物線.,2.拋物線的標準方程和幾何意義,考點陪練 1.(2010湖南)設(shè)拋物線y2=8x上一點P到y(tǒng)軸的距離是4,則點P到該拋物線焦點的距離是( ) A.4B.6 C.8D.12 解析:由拋物線的方程得 再根據(jù)拋物線的定義,可知所求距離為4+2=6,故選B. 答案:B,解析:如圖,由直線的斜率為 得AFH=60,FAH=30, PAF=60.又由拋物線的定義知|PA|=|PF|, PAF為等邊三角形,由|HF|=4得|AF|=8, |PF|=8. 答案:B,3.(2010陜西)已知拋

2、物線y2=2px(p0)的準線與圓(x-3)2+y2=16相切,則p的值為( ) 解析:由已知,可知拋物線的準線 與圓(x-3)2+y2=16相切.圓心為(3,0),半徑為4,圓心到準線的距離 解得p=2.故選C. 答案:C,4.若點P到點F(0,2)的距離比它到直線y+4=0的距離小2,則P的軌跡方程為( ) A.y2=8xB.y2=-8x C.x2=8yD.x2=-8y 解析:由題意知,P到F(0,2)的距離比它到y(tǒng)+4=0的距離小2,因此P到F(0,2)的距離與到直線y+2=0的距離相等,故P的軌跡是以F為焦點,y=-2為準線的拋物線,所以P的軌跡方程為x2=8y. 答案:C,答案:A,

3、類型一拋物線的定義 解題準備:利用拋物線定義可將拋物線上的點到拋物線的焦點和準線的距離相互轉(zhuǎn)化.例如若點P0(x0,y0)是拋物線y2=2px(p0)上的任一點,則該點到拋物線的焦點F的距離 (焦半徑公式),這一公式的直接運用會為我們求解有關(guān)到焦點或準線的距離的問題帶來方便. 在求過焦點的一弦長時,經(jīng)常將其轉(zhuǎn)化為兩端點到準線的距離之和,再用根與系數(shù)關(guān)系求解,有時也把點到準線的距離轉(zhuǎn)化為點到焦點的距離進行求解.,【典例1】(1)在拋物線y2=4x上找一點M,使|MA|+|MF|最小,其中A(3,2),F(1,0),求M點的坐標及此時的最小值. (2)已知拋物線y2=2x和定點 拋物線上有動點P,

4、P到點A的距離為d1,P到拋物線準線的距離為d2,求d1+d2的最小值及此時P點的坐標.,解要求最小值問題,可考慮拋物線的定義,通過定義轉(zhuǎn)化為“兩點之間線段最短”及“三角形兩邊之和大于第三邊”這一結(jié)論. (1)如圖,點A在拋物線y2=4x的內(nèi)部,由拋物線的定義可知,|MA|+|MF|=|MA|+|MH|,其中|MH|為M到拋物線的準線的距離.過A作拋物線的準線的垂線交拋物線于M1,垂足為B,則|MA|+|MF|=|MA|+|MH|AB|=4(當且僅當點M在M1的位置時),此時M點的坐標為(1,2).,(2)如圖,點 在拋物線y2=2x的外部,由拋物線的定義可知, (其中F為拋物線的焦點).此時

5、P點的坐標為(2,2).,反思感悟熟練掌握和靈活運用定義是解題的關(guān)鍵.利用拋物線定義可將拋物線上的點到拋物線的焦點和準線的距離相互轉(zhuǎn)化.例如若點P0(x0,y0)是拋物線y2=2px(p0)上的任一點,則該點到拋物線的焦點F的距離 (焦半徑公式),這一公式的直接運用會為我們求解有關(guān)到焦點或準線的距離的問題帶來方便.在求過焦點的一弦長時,經(jīng)常將其轉(zhuǎn)化為兩端點到準線的距離之和,再用韋達定理求解,有時也把點到準線的距離轉(zhuǎn)化為點到焦點的距離進行求解.,類型二求拋物線的方程 解題準備:求拋物線的標準方程常用的方法是待定系數(shù)法.為避免開口方向不確定而設(shè)成多種形式的麻煩,可以將焦點在x軸上的拋物線的標準方程

6、統(tǒng)一設(shè)為y2=ax(a0);焦點在y軸上的拋物線的標準方程統(tǒng)一設(shè)為x2=ay(a0).,【典例2】求下列各拋物線的方程: (1)頂點在坐標原點,對稱軸為坐標軸,且經(jīng)過點M(-2,-4); (2)頂點在坐標原點,焦點在y軸上,拋物線上一點Q(m,-3)到焦點的距離等于5.,解(1)設(shè)拋物線為y2=mx或x2=ny,則 (-4)2=m(-2)m=-8或(-2)2=n(-4)n=-1. 所求的拋物線方程為y2=-8x或x2=-y. (2)依題意,拋物線開口向下,故設(shè)其方程為 x2=-2py. 則準線方程為 又設(shè)焦點為F, 則 故拋物線方程為x2=-8y.,反思感悟這里易犯的錯誤就是缺乏對開口方向的討

7、論,先入為主,設(shè)定一種形式的標準方程后求解,以致失去另一解.,類型三拋物線的幾何性質(zhì) 解題準備:1.以拋物線的標準方程y2=2px(p0)為例,有如下幾何性質(zhì): 范圍:拋物線y2=2px(p0)開口向右,且向右上方和右下方無限延伸;拋物線只有一條對稱軸x軸,沒有對稱中心;頂點:拋物線和它的軸的交點叫做拋物線的頂點,即坐標原點.頂點是焦點向準線所作垂線段的中點;離心率:拋物線上的點M與焦點的距離和它到準線的距離的比,叫拋物線的離心率,e=1.,2.拋物線的每一條過焦點的弦被焦點分成兩段焦半徑,由焦半徑公式可推出拋物線的焦點弦長公式:設(shè)過拋物線y2=2px(p0)的焦點F的弦為AB,設(shè)A(x1,y

8、1),B(x2,y2),則弦長|AB|=|AF1|+|BF1|=x1+x2+p.特別地,當弦AB與拋物線的對稱軸垂直時,這條弦稱為通徑,其長度為2p.,分析考查拋物線的過焦點的弦的性質(zhì).將拋物線的焦點弦的方程設(shè)出,代入拋物線方程,利用韋達定理等解決問題.,類型四直線與拋物線的位置關(guān)系 解題準備:直線和拋物線的位置關(guān)系,可通過直線方程與拋物線方程組成的方程組實數(shù)解的個數(shù)來確定,同時注意過焦點的弦的一些性質(zhì),如: 弦長l=x1+x2+p.,(2)當直線l的斜率不存在時,x=8與拋物線沒有交點,不合題意.當直線l的斜率存在時,設(shè)直線l的斜率為k,則l:y=k(x-8). 設(shè)M(x1,y1),N(x2

9、,y2), 即x1x2+x1+x2+1+k2(x1-8)(x2-8)=97, (1+k2)x1x2+(1-8k2)(x1+x2)+1+64k2=97, 將y=k(x-8)代入y2=-4x得 k2x2+(4-16k2)x+64k2=0, ,代入式得:64(1+k2)+(1-8k2) 整理得 l的方程為: 即x-2y-8=0或x+2y-8=0.,錯源一 對拋物線的定義理解不透而致錯 【典例1】若動點M到定點F(1,0)的距離等于它到定直線l:x-1=0距離,則動點M的軌跡是( ) A.拋物線B.直線 C.圓D.橢圓 錯解由拋物線的定義知動點M的軌跡是拋物線,故選A.,剖析拋物線的定義中隱含一個條件

10、“定點F不在定直線l上”.若“定點F在定直線l上”,那么動點的軌跡就不再是拋物線,而是過定點F且與定直線l垂直的直線. 正解因定點F(1,0)在定直線l:x-1=0上,故動點M的軌跡是直線,應選B. 答案B,錯源二對拋物線的標準方程認識不清而致誤,答案C,錯源三對問題考慮不全面而致錯 【典例3】過點M(1,-2)的拋物線的標準方程為_. 錯解設(shè)拋物線方程為y2=2px,把點M(1,-2)的坐標代入得2p=4,故拋物線的標準方程為y2=4x. 剖析上面的解法漏掉了拋物線的焦點還可以在y軸的負半軸上的情形.,正解當拋物線的焦點在x軸上時,設(shè)方程為y2=mx(m0),把點M(1,-2)的坐標代入得m

11、=4,故拋物線的標準方程為y2=4x; 當拋物線的焦點在y軸上時,設(shè)方程為x2=ny(n0),把點M(1,-2)的坐標代入得 故拋物線的標準方程為 故應填y2=4x和 答案,錯源四對直線與拋物線只有一個公共點認識不清 【典例4】求過點(0,1)且與拋物線y2=2x只有一個公共點的直線l的方程.,剖析事實上,上述解法只考慮了直線l的斜率存在且不為0時解的情形,而忽視了k不存在以及直線l平行于拋物線對稱軸這兩種情形. 正解(1)當直線l的斜率為0時,則l:y=1,此時l平行于拋物線的對稱軸,且于拋物線只有一個公共點 (2)當直線l的斜率k0時,同錯解. (3)當k不存在時,則l:x=0與拋物線y2

12、=2x相切于點(0,0). 綜上可知,所求直線l的方程為:,技法一 拋物線中過定點直線的性質(zhì) 【典例1】已知拋物線y2=2px(p0),過(2p,0)作直線交拋物線于兩點,請寫出你所能得出的不同結(jié)論. 分析設(shè)直線與拋物線交于AB兩點,有以下結(jié)論: 結(jié)論1:OAOB.,證明設(shè)P(2p,0),當AB不垂直于x軸時,OPM為直角三角形,M在以O(shè)P為直徑的圓周上,方程為(x-p)2+y2=p2.當ABx軸時,M點與P點重合,滿足上述方程.所以,M點軌跡方程為(x-p)2+y2=p2(除(0,0)點外). 結(jié)論1和結(jié)論3所對應命題的逆命題也成立,不妨證明之. 思考若將定點(2p,0)改為(p,0)或(3p,0)等等,則又會有一些什么樣的結(jié)論呢?,技法二 焦點弦問題和焦半徑,【典例2】過拋物線焦點F的直線與拋物線相交于A,B兩點,若A,B在拋物線的準線上的射影是A1,B1,求A1FB1的值. 解題切入點由題意先準確畫出圖形,利用拋物線定義可推出AA1F與BB1F都是等腰三角