概率論2_3常用的離散型分布

1、23 常用的離散型分布,一、退化分布,二、兩點(diǎn)分布,三、n個(gè)點(diǎn)上的均勻分布,四、二項(xiàng)分布,五、幾何分布,六、超幾何分布,七、泊松(Poisson)分布,一、退化分布,退化分布 一個(gè)隨機(jī)變量X以概率1取某一常數(shù) 即 PXa1 則稱X服從a處的退化分布,退化分布之所以稱為退化分布是因?yàn)槠淙≈祹缀跏谴_定的 即這樣的隨機(jī)變量退化成了一個(gè)確定的常數(shù),說明 由定理23的推論3知 X服從退化分布的充要條件是DX0 且若X服從a處的退化分布 則EXa,說明,二、兩點(diǎn)分布,兩點(diǎn)分布 一個(gè)隨機(jī)變量只有兩個(gè)可能取值 設(shè)其分布為 PXx1p PXx21p 0p1 (236) 則稱X服從x1 x2處參數(shù)為p的兩點(diǎn)分布,

2、兩點(diǎn)分布的期望和方差 EXpx1(1p)x2 (237) DXp(1p)(x1x2)2 (238),說明,二、兩點(diǎn)分布,特殊的兩點(diǎn)分布 如果X只取0 1兩個(gè)值 其概率分布為 PX1p PX01p 0p1 (239) 則稱X服從參數(shù)為p的01分布 也稱X是參數(shù)為p的伯努利隨機(jī)變量 此時(shí) EXp DXp(1p) (240),在一次試驗(yàn)中 觀察A是否發(fā)生 記A發(fā)生的次數(shù)為X 則X要么取值為1 要么取值為0 于是X服從參數(shù)為p的01分布,(1) 0 1 分布,注 其分布律可寫成,常用0 1分布描述，如產(chǎn)品是否格、人口性別統(tǒng),計(jì)、系統(tǒng)是否正常、電力消耗是否超負(fù)荷等等.,三、n個(gè)點(diǎn)上的均勻分布,n個(gè)點(diǎn)上的

3、均勻分布,n個(gè)點(diǎn)上的均勻分布的期望和方差,說明,三、n個(gè)點(diǎn)上的均勻分布,n個(gè)點(diǎn)上的均勻分布,說明,三、n個(gè)點(diǎn)上的均勻分布,n個(gè)點(diǎn)上的均勻分布,說明,四、二項(xiàng)分布,二項(xiàng)分布,設(shè)X為n重伯努利試驗(yàn)中事件A發(fā)生的次數(shù) 事件A發(fā)生的概率為p(0p1) 則Xb(n p),四、二項(xiàng)分布,二項(xiàng)分布,二項(xiàng)分布的期望和方差,設(shè)Xb(n p) 則 EXnp (247) DXnpq (249) 其中q1p,證法二:,設(shè),第i次試驗(yàn)事件A發(fā)生,第i次試驗(yàn)事件A不發(fā)生,則,例218 一個(gè)袋子中裝有N個(gè)球 其中N1個(gè)白球 N2個(gè)黑球(N1N2N)每次從中任取一球 查看完其顏色后再放回去 一共取n次 求取到的白球數(shù)X的分布

4、,每次取球看成是一次試驗(yàn) n次取球看成是n重伯努利試驗(yàn),解,例一個(gè)完全不懂英語的人去參加英語考試.假設(shè)此考試有5個(gè)選擇題，每題有n重選擇，其中只有一個(gè)答案正確.試求：他居然能答對3題以上而及格的概率.,解 :由于此人完全是瞎懵，所以每一題，每一個(gè)答案對于他來說都是一樣的，而且他是否正確回答各題也是相互獨(dú)立的.這樣，他答題的過程就是一個(gè)Bernoulli試驗(yàn),說明,五、幾何分布,如果隨機(jī)變量X的概率分布為 PXkq k1p k1 2 (2.50) 其中q1p 則稱隨機(jī)變量X服從參數(shù)為p的幾何分布 記為Xg(k p),幾何分布,在獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中 事件A發(fā)生的概率為p 設(shè)X為直到A發(fā)生為止所進(jìn)行的試

5、驗(yàn)的次數(shù) 則Xg(k p),五、幾何分布,如果隨機(jī)變量X的概率分布為 PXkq k1p k1 2 (2.50) 其中q1p 則稱隨機(jī)變量X服從參數(shù)為p的幾何分布 記為Xg(k p),幾何分布,幾何分布的期望和方差,說明,例219 設(shè)X服從幾何分布 則對任何兩個(gè)正整數(shù)m n 有 PXmn|XmPXn (254),證明,同理 有,于是得,PXnqn,PXmnqmn,式(254)通常稱為幾何分布的無記憶性 意指幾何分布對過去的m次失敗的信息在后面的計(jì)算中被遺忘了,六、超幾何分布,超幾何分布,一個(gè)袋子中共裝有N個(gè)球 其中N1個(gè)白球 N2個(gè)黑球 從中不放回地抽取n個(gè)球 X表示取到白球的數(shù)目 那么X的分布

6、為,以(255)為概率分布的隨機(jī)變量通常稱為服從超幾何分布,在實(shí)際中 當(dāng)N很大時(shí) 且N1和N2均較大 而n相對很小時(shí) 通常將不放回近似地當(dāng)作放回來處理 從而用二項(xiàng)分布作為超幾何分布的近似 即,六、超幾何分布,超幾何分布,一個(gè)袋子中共裝有N個(gè)球 其中N1個(gè)白球 N2個(gè)黑球 從中不放回地抽取n個(gè)球 X表示取到白球的數(shù)目 那么X的分布為,以(255)為概率分布的隨機(jī)變量通常稱為服從超幾何分布,超幾何分布的期望和方差,可以證明超幾何分布的極限分布就是二項(xiàng)分布,N很大，n很小，可用二項(xiàng)分布近似計(jì)算。,n10p=0.9q=0.1,例 一大批種子的發(fā)芽率為90，從中任取10粒，求播種后，(1)恰有8粒發(fā)芽的

7、概率(2)不少于8粒發(fā)芽的概率。,提示,七、泊松分布,泊松分布(Poisson),如果一個(gè)隨機(jī)變量X的概率分布為,其中0為參數(shù) 則稱X服從參數(shù)為的泊松分布 記作XP(),泊松分布的期望和方差,EX (261),DX (262),如果一個(gè)隨機(jī)變量X的概率分布為,其中0為參數(shù) 則稱X服從參數(shù)為的泊松分布 記作XP(),泊松分布的期望和方差,七、泊松分布,泊松分布(Poisson),EX (261),DX (262),泊松分布中只有一個(gè)參數(shù),記k-1=m,則,在一定時(shí)間間隔內(nèi)：,一匹布上的疵點(diǎn)個(gè)數(shù)；,大賣場的顧客數(shù)；,應(yīng)用場合常見于稠密性問題，如：,電話總機(jī)接到的電話次數(shù)；,一個(gè)容器中的細(xì)菌數(shù)；,放

8、射性物質(zhì)發(fā)出的粒子數(shù)；,一本書中每頁印刷錯(cuò)誤的個(gè)數(shù)等等,某一地區(qū)發(fā)生的交通事故的次數(shù),市級醫(yī)院急診病人數(shù)；,例220 某商店根據(jù)過去的銷售記錄知道某種商品每月的銷售量可以用參數(shù)為10的泊松分布來描述 為了以95%以上的概率保證不脫銷 問商店在月底應(yīng)存多少件該種商品(設(shè)只在月底進(jìn)貨)？,設(shè)該商店每月銷售該商品的件數(shù)為X 月底存貨為a件 則當(dāng)Xa時(shí)就不會(huì)脫銷 據(jù)題意 要求a使得 PXa095 由于已知X服從參數(shù)為10的泊松分布 上式即為,由附錄的泊松分布表知,于是 這家商店只要在月底保證存貨不低于15件就能以95%以上的概率保證下個(gè)月該種商品不會(huì)脫銷,定理24(泊松定理) 在n重伯努利試驗(yàn)中 事件A在每次試驗(yàn)中發(fā)生的概率為pn(注意這與試驗(yàn)的次數(shù)n有關(guān)) 如果n時(shí) npn (0為常數(shù)) 則對任意給定的k 有,由該定理 我們可以將二項(xiàng)分布用泊松分布來近似 當(dāng)二項(xiàng)分布b(n p)的參數(shù)n很大 而p很小時(shí) 可以將它用參數(shù)為np的泊松分布來近似 即有,說明,泊松定理表明，泊松分布是二項(xiàng)分布的極限分布， 當(dāng)n很大，p很小時(shí)，二項(xiàng)分布就可近似地看成是參數(shù)=np的泊松分布,產(chǎn)品數(shù)量很大，可用二項(xiàng)分布計(jì)算，n100，,由于n較大，p很小，可用Poisson分布代替二項(xiàng)分布。,誤差不超過10,例221 紡織廠女工照顧800個(gè)紡錠 每一紡錠在某一短時(shí)間內(nèi)發(fā)生斷頭的概率為0005