05第五章 立體及其表面的交線

1、第七章立體及其表面的交線7.1 平面立體7.2 曲面立體7.3 立體與立體相交7.1 平面立體一、平面立體的投影及其表面上的點(diǎn)1. 棱柱(a)(b)2. 棱錐一個(gè)投影為多邊形，另外兩個(gè)投影輪廓線為三角形。三棱錐表面上取點(diǎn)r11rRI1s，s，22s三棱錐表面上取點(diǎn)2夕丁/b，b.a _ABa2二、平面與平面立體相交的投影側(cè)垂面棱線例1:補(bǔ)全切口三棱錐的投影.22”111I2例2：求立體截切后的投影2（4）1（2）310（5）19（6）214396510771 87）56（4）2113）19810例3：求四棱錐被截切后的俯視圖和左視圖。1(4)234 1 3 24 31

2、2 空間分析 投影分析 求截交線 分析棱線的投影 檢查尤其注意檢查截交線投影的類似性例4：求四棱錐被截切后的俯視圖和左視圖。1(2)21注意：2要逐個(gè)截平面分析和繪制截交線。當(dāng)平面體只有局部被截切時(shí)，先 假想為整體被截切，求出截交線1后再取局部。a習(xí)戶(K)I IR Vt- -1 jI |k ，-Ib(d)門gII /II I|II 一vll eIIp VIC IIla(c) I例5：被三棱柱穿孔的四棱柱1，4(8)581(5)42| 3(7; I67I 2(6,) I387 酰125643 ej | 1. 圓柱體7.2 曲面立體門3（1） 圓柱體的投影、勹I -I Cl ( d )bda-C

3、0k1/ 1|II/|口 1 （d1)b 1d1a1 (U) 1C 7、(b 1)/Ya (a 1).I _, /、 丿 （ 廠 1 )-1-b(b1) | （2） 圓柱體的投影特點(diǎn)例1：分析圓柱輪廓素線的投影（3） 圓柱體表面上取點(diǎn) ()()。(D).-AC一一一Bz2. 圓錐體s（1） 圓錐體的投影ac I d盧daI(U)Cy/ya S | （2） 圓錐體的投影特點(diǎn)（3） 圓錐體表面上取點(diǎn)3. 圓球wv（1） 圓球的投影(a)(b) | （2） 圓球的投影特點(diǎn)3f）（2圓球體表面上取點(diǎn)(3) (3)(3”),.2”I2| 4. 圓環(huán),b , I (a)b，(a)IYb(a)二三、y(b)

4、 |二、平面與圓柱面的交線1. 平面截切圓柱截平面位置與軸線平行與軸線垂直與軸線傾斜立體圖投影圖交線平行于軸線的直線圓橢圓例1：求左視圖例1：求左視圖例2：圓柱截交線_例3：空心圓柱開(kāi)槽后的投影l(fā)l l_l-,lt- 一一例4：求左視圖1、找特殊點(diǎn)2、補(bǔ)充中間點(diǎn)3、光連接各點(diǎn)4、分析輪廓素線的投影例4：求左視圖1、找特殊點(diǎn)2、補(bǔ)充中間點(diǎn)3、光連接各點(diǎn)4、分析輪廓素線的投影例5：求左視圖虛實(shí)分界點(diǎn)例6：作被穿孔圓柱的側(cè)面投影o (C):Qve (f)|（巴）。- / 口1/I|口）|/Pv h, l lIl lg盧(d)（門）|fjdIb巴門r-J | 2. 平面截切圓錐截平面位置投影圖立體圖交

5、線垂直于軸線圓傾斜于軸線且橢圓傾斜于軸線且 拋物線傾斜于軸線平行于軸線 雙曲線通過(guò)錐頂兩條相交直線求圓錐截交線的作圖方法1. 素線法2. 緯圓法作圖步驟1) 投影分析2) 求特殊位置點(diǎn)3) 求一般位置點(diǎn)4) 光滑連接各點(diǎn)5) 判斷可見(jiàn)性6) 整理輪廓線J| 4）C|JoJ4| f了)O4| f|3O-例1：圓錐截交線| J勹J/ 05 O-f4 i ! ！三例2：圓錐截交線b9/ 。bcO/cJ。c- z 。| 例3：圓錐被兩個(gè)平面截切的投影dig已fl/II 門 I IblCb IIa | 3. 平面截切圓球平面與圓球相交所得截交線為圓或圓弧。截交線的投影可能為圓或橢圓或直線。 求圓球截交線

6、的方法用緯圓法。作圖步驟1. 投影分析2. 求特殊位置點(diǎn)3. 求一般位置點(diǎn)4. 連接各點(diǎn)5. 判斷可見(jiàn)性6. 整理輪廓線例1：求圓球截交線解題步驟1. 分析 截平面為正垂面，4ab17 834566428cdd2c6ba1截交線為圓；截交線的水平投影和側(cè)面投影均為橢圓；72求出截交線上的特殊點(diǎn)3、 、5、 ；3. 求出若干個(gè)一般點(diǎn)A、B、C、D；4. 光滑且順次地連接各點(diǎn)，作出截交線，并且判別可見(jiàn)性；5. 整理輪廓線。bd812ac753例2：求圓球截交線1，22“1“JI 一 ，J| 例3：求被截圓球的水平投影-/）；I/d（f（尸/1/II 二/ ,(_)|L, 1/ /oI) J_|/-

7、十二1|-1/7廠I/十nII |二 千I /g1/(a)(b)(c)(d) | 例4：求圓球截交線例5：分析并想象出圓球穿孔后的投影4. 平面截切一般回轉(zhuǎn)體平面P截回轉(zhuǎn)體的截交線是一平面曲線，它的水平投影積聚在PH上，只需求出其正面投影。求截交線上的各點(diǎn)，可取一系列水平截平面，找出它們與截平面P的交點(diǎn)即可。5. 平面截切復(fù)合回轉(zhuǎn)體例1：求作頂尖的俯視圖 首先分析復(fù)合回轉(zhuǎn)體由哪些基本回轉(zhuǎn)體組成以及它們的連接關(guān)系， 然后分別求出這些基本回轉(zhuǎn)體的截交線，并依次將其連接。例2：求作拉桿頭部截交線的正面投影。I4 -I-IP2wP1wI|尸廠-（I|/ / l|I廠II|di|， I/I I | /I

8、I JI!圓 柱 I 圓環(huán)圓柱圓環(huán)圓球， | 截交線小結(jié)F平面體的截交線一般情況下是由直線組成 的封閉的平面多邊形，多邊形的邊是截平面與棱面的交線。F求截交線的方法：棱線法 棱面法F平面截切回轉(zhuǎn)體，截交線的形狀取決于截平面與被截立體軸線的相對(duì)位置。F截交線是截平面與回轉(zhuǎn)體表面的共有線。解題方法與步驟： 空間及投影分析 分析截平面與被截立體的相對(duì)位置，以確定截交線的形狀。 分析截平面與被截立體對(duì)投影面的相對(duì)位置，以確定截交線的投影特性。 求截交線當(dāng)截交線的投影為非圓曲線時(shí)，要先找特殊點(diǎn)，再補(bǔ)充中間點(diǎn)，最后光滑連接各點(diǎn)。注意分析平面體的棱線和回轉(zhuǎn)體輪廓素線的投影。 當(dāng)單體被多個(gè)截平面截切時(shí)，要逐個(gè)

9、截平面進(jìn)行截交線的分析與作圖。當(dāng)只有局部被截切時(shí)，先按整體被截切求出截交線，然后再取局部。 求復(fù)合回轉(zhuǎn)體的截交線，應(yīng)首先分析復(fù)合回轉(zhuǎn)體由哪些基本回轉(zhuǎn)體組成以及它們的連接關(guān)系，然后分別求出這些基本回轉(zhuǎn)體的截交線，并依次將其連接。7.4直線與立體相交7.6平面立體與平面立體相貫7.7平面立體與曲面立體相貫7.8兩曲面立體相貫7.4直線和立體相交直線和立體相交所得的交點(diǎn)也叫貫穿點(diǎn)。求作直線和立體的貫穿點(diǎn)，如同求直線與平面立體的貫穿點(diǎn)一樣，一般也采用輔助平面法。步驟如下：（1） 過(guò)已知直線作一個(gè)輔助平面（特殊位置平面）；（2） 求輔助平面與曲面立體的截交線；（3） 確定截交線與已知直線的交點(diǎn)，該交點(diǎn)即

10、為所求點(diǎn)。在特殊情況下，如曲面的投影具有積聚性，或直線的投影積聚，則可直接求出貫穿點(diǎn)。求貫穿點(diǎn)即求線面交點(diǎn)，完成直線投影一、求棱柱表面上的貫穿點(diǎn)兩貫穿點(diǎn)可見(jiàn) 兩段線也可見(jiàn)aklbAlbak 利用積聚性 求線面交點(diǎn) 內(nèi)部無(wú)線KLB求貫穿點(diǎn)即求線面交點(diǎn)，完成直線投影一、求棱柱表面上的貫穿點(diǎn)貫穿點(diǎn)不可見(jiàn)該a(k) 段直線也不可見(jiàn) 貫穿點(diǎn)的位置 有兩種可能性Al(K)b利用積聚性求線面交點(diǎn)aLklBb一、求棱錐表面上的貫穿點(diǎn)直線與三棱錐表面相交過(guò)直線作輔助平面mkl (n)n(n)lkb(c)mNC(L)lKMk作輔助平面在立體表面產(chǎn)生的截交線m一、求回轉(zhuǎn)體表面上的貫穿點(diǎn)過(guò)直線作輔助平面a12bc(d

11、)db2作輔助平面在立體表面產(chǎn)生的截交線a1c一、求回轉(zhuǎn)體表面上的貫穿點(diǎn)過(guò)直線作輔助平面 作截交線7.6 平面立體與平面立體相交一 兩平面立體相交例1：兩個(gè)三棱柱相交，求作相貫線兩平面立體的相貫線是閉合的空間折線或平面多邊形。各段折線是兩立體相應(yīng)棱面的交線，折線的各個(gè)頂點(diǎn)是一個(gè)平面立體的棱線與另一個(gè)平面立體的交點(diǎn)。因此，求兩平面立體相貫線的問(wèn)題，可轉(zhuǎn)化為求兩平面的交線、直線與平面的交點(diǎn)。一、概述1. 相貫線的性質(zhì)相貫線是兩立體表面的共有線，相貫線上的點(diǎn)是兩立體表面的共有點(diǎn);不同的立體以及不同的相貫位置,相貫線的形狀也不同;2. 相貫線的形狀兩平面立體的相貫線由折線組成。折線的每一段都是甲形體的

12、一個(gè)側(cè)面與乙形體的一個(gè)側(cè)面的交線，折線的轉(zhuǎn)折點(diǎn)就是一個(gè)形 體的側(cè)棱與另一形體的側(cè)面的交點(diǎn)。3. 求相貫線的方法 求兩平面立體相貫線的方法通常有兩種：一種是求各側(cè)棱對(duì)另一形體表面的交點(diǎn)，然后把位于甲形體同一側(cè)面又位于乙形體 同一側(cè)面上的兩點(diǎn)，依次連接起來(lái)。另一種是求一形體各側(cè)面與另一形 體各側(cè)面的交線。4. 判別相貫線可見(jiàn)性的原則只有位于兩形體都可見(jiàn)的側(cè)面上的交線，是可見(jiàn)的。只要有一個(gè)側(cè)面不可見(jiàn)，面上的交線就不可見(jiàn)。例2：兩平面立體相貫，完成相貫線的投影解題步驟1. 分析相貫線為一組閉合折線，相貫線的正面投影未知，水平投影已知2；相貫線的投影前后、左右對(duì)稱。12求出相貫線上的折點(diǎn)、3等；3. 順

13、次地連接各點(diǎn)，作出相貫線， 并且判別可見(jiàn)性；4. 整理輪廓線。123例題1兩平面立體相貫，完成相貫線的投影412334312yy解題步驟1. 分析 相貫線的正面投影已知，水平投影和側(cè)面投影未知；2. 求出相貫線上的折點(diǎn)、 、 ；3. 順次地連接各點(diǎn)， 作出相貫線，并且判別可見(jiàn)性；4. 整理輪廓線。y1y42例題2兩平面立體相貫，完成相貫線的投影解題步驟1. 分析 相貫線為左右兩組折線；相貫線的正面投影已知，水平投影未知；相貫線的投影前后、左右對(duì)稱2. 求出相貫線上的折點(diǎn)、 、 、 、 ；3. 順次地連接各點(diǎn)，作出相貫線，并且判別可見(jiàn)性；4. 整理輪廓線。2435163245167.7 平面立體

14、與回轉(zhuǎn)體相交平面立體與回轉(zhuǎn)體表面相交，其相貫線一般是由若干段平面曲線（有時(shí)為直線）組合而成的空間封閉折線。每段平面曲線是平面立體的一個(gè)棱面與曲面立體的截交線，因此，求平面立體和回轉(zhuǎn)體的相貫線，可以歸結(jié)為求截交線問(wèn)題。例：三棱柱與圓球相交，求作相貫線一、概述1 十相貫線的性質(zhì)相貫線是平面立體和曲面立體表面的共有線，相貫線上 的點(diǎn)是兩立體表面的共有點(diǎn)；不同的立體以及不同的相貫位置勹相貫線的形狀也不同；2十 相貫線的形狀 平面立體與曲面立體相交時(shí)，相貫線是由若干段平面曲線或平面曲線和直線所組成。各段平面曲線或直線，就是平面體上各側(cè) 面截割曲面體所得的截交線。每一段平面曲線或直線的轉(zhuǎn)折點(diǎn)，就是平 面體

15、的側(cè)棱與曲面體表面的交點(diǎn)；3十 求相 貫線的方法 求平面立體與曲面立體的相貫線，就是求平面與曲面體的截交線和直線與曲面回轉(zhuǎn)體表面的交點(diǎn)。作圖時(shí)，先求出這些轉(zhuǎn)折點(diǎn)，再根據(jù)求曲面體上截交線的方法，求出每段曲線或直線。可見(jiàn)的。生判別相貫線可見(jiàn)性的原則只有位于兩形體都可見(jiàn)的表面上的交線是例題4平面立體與曲面立體相貫，完成相貫線的投影6 4815 7解題步驟1. 分析 相貫線為三段圓弧的組合；相貫線的水平投影已知，可利用表面取點(diǎn)法求共有點(diǎn)；2. 求出相貫線上的特殊點(diǎn)、 、 ；3. 求出若干個(gè)一般點(diǎn)、；4. 光滑且順次地連接各點(diǎn)，作出相貫線，并且判別可見(jiàn)性；5. 整理輪廓線。93212PH765QH489

16、SH3TH觀看動(dòng)畫(huà)例題5平面立體與曲面立體相貫，完成相貫線的投影解題步驟1. 分析 相貫線為圓弧和雙曲線的組合；相貫線的側(cè)面投影已知，可利用表面取點(diǎn)法求共有點(diǎn)；2. 求出相貫線上的特殊點(diǎn)、 、 ；3. 求出一般點(diǎn) ；4. 光滑且順次地連接各點(diǎn)，作出相貫線，并且判別可見(jiàn)性；5. 整理輪廓線。廠OOI廠7.8兩曲面立體相交兩回轉(zhuǎn)體表面相交時(shí)所產(chǎn)生的交線稱為相貫線 。相貫線的性質(zhì)：1. 一般情況下，相貫線為封閉的空間曲線，特殊情況下也可成 為平面曲線或直線。2. 相貫線是兩立體表面的共有線，相貫線上的點(diǎn)是兩立體表面的 共有點(diǎn)。求共有點(diǎn)的方法一般有：表面取點(diǎn)法，輔助平面法和輔助球面法。相貫線相貫線一、

17、相貫線的性質(zhì)封閉空間曲線封閉空間曲線圓直線和圓的組合曲面立體相貫的三種基本形式兩外表面相交外表面與內(nèi)表面相交兩內(nèi)表面相交三、求曲面立體相貫線的方法1. 表面取點(diǎn)法2. 輔助平面法3. 輔助球面法1. 表面取點(diǎn)法12（2”）1”表面取點(diǎn)法原理 當(dāng)相貫體中有一567”5”3”個(gè)是軸線垂直于投（7）3（8）4”（6”）影面圓柱體時(shí)，先（4）74812653（8”）利用圓柱表面的積聚性，得到相貫線的至少一個(gè)投影； 再通過(guò)回轉(zhuǎn)體表面取點(diǎn)，作出相貫線的未知投影。圓柱體直徑變化相貫線的變化交線為兩條平面曲線（橢圓）交線總向大圓柱的軸線彎曲例1：求兩偏交圓柱的相貫線|- - - -, - ,一| -1-|5，

18、盧） 一 氣 | 例2.利用表面取點(diǎn)法或由二求三的方法求相貫線6”4”8212”10”解題步驟1 分析相貫線的水平投影和側(cè)面投影已知，可利用表面取點(diǎn)法求共有點(diǎn)；2 求出相貫線上的特殊點(diǎn)；3 求出若干個(gè)一般點(diǎn)；4 光滑且順次地連接各 點(diǎn)，作出相貫線，并且判別可見(jiàn)性；5 整理輪廓線。1”12”375”9”3”11”4（5）2（3）16（7）8（9）10（11）122. 輔助平面法常用的輔助平面是投影面的平行面和垂直面，要使輔助平面與兩立體表面的交線的投影為直線或圓。相貫體可選截平面截交線圓柱平行于軸線兩條直線垂直于軸線圓圓錐過(guò)錐頂兩條直線垂直于軸線圓圓球平行于投影面圓圓環(huán)垂直于軸線圓過(guò)回轉(zhuǎn)軸且平行

19、于投影面兩素線圓回轉(zhuǎn)面垂直于軸線圓輔助平面的選擇例1：求圓柱與圓錐的相貫線11最右點(diǎn)解題步驟1 分析相貫線的側(cè)面投影已知，可4PV13PV25PV321y24 PW1PW23PW325yy利用輔助平面法求共有點(diǎn)；2 求出相貫線上的特殊點(diǎn) 、 、；3 求出若干個(gè)一般點(diǎn) 、；4 光滑且順次地連接各點(diǎn)，作出相貫線，并且判別可見(jiàn)性；y54 35 整理輪廓線。例2：求圓球與圓錐的相貫線PV1解題步驟1. 分析相貫y1345212534PV2PV312y y y4PW23PW35線的三個(gè)投影均未知，可利用輔助平面法求共有點(diǎn)；2. 求出相貫線上特殊點(diǎn) 、；3. 求出若干個(gè)一般點(diǎn) 、；4. 光滑且順次地連接各點(diǎn)，作出相貫線，并且判別可見(jiàn)性；5. 整理輪廓素線。3. 相貫線的特殊情況兩軸線平行的柱面相交， 相貫線是與軸線平行的兩條直線兩共錐頂?shù)腻F面相交， 相貫線是過(guò)錐頂?shù)囊粚?duì)相交直線/IIOL兩共軸回轉(zhuǎn)體相交相貫線是垂直于軸線的圓| 具有內(nèi)公切球的兩回轉(zhuǎn)體相交兩圓柱軸線垂直相交，且直徑相等， 相貫線為兩個(gè)相等橢圓兩圓柱軸線斜交,且直徑相等,相貫線為兩個(gè)不等橢圓具有公共內(nèi)切球的兩回轉(zhuǎn)面相交,相貫線為兩相交橢圓4. 影響相貫線形狀的因素圓柱大小變化相貫線的變化趨勢(shì)當(dāng)圓柱的相對(duì)大小發(fā)生變化時(shí)，相貫線的變化趨勢(shì)._, , , , % ，, 1I,