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1、1,2,前言,第 八 章 晶體的能帶結(jié)構(gòu),從STM得到的硅晶體 表面的原子結(jié)構(gòu)圖,物理學(xué)前言之一,材料的性質(zhì),大規(guī)模集成電路,半導(dǎo)體激光器,超導(dǎo),人工微結(jié)構(gòu),3,8.1 晶體的能帶,一. 電子共有化,晶體具有大量分子、原子或離子有規(guī)則 排列的點陣結(jié)構(gòu)。,電子受到周期性勢場的作用。,按量子力學(xué)須解定態(tài)薛定格方程。,4,解定態(tài)薛定格方程(略), 可以得出兩點重要結(jié)論:,1.電子的能量是分立的能級;,2.電子的運動有隧道效應(yīng)。,原子的外層電子(高能級), 勢壘穿透概率 較大, 電子可以在整個晶體中運動, 稱為 共有化電子。,原子的內(nèi)層電子與原子核結(jié)合較緊,一般 不是 共有化電子。,5,二. 能帶 (
2、energy band),量子力學(xué)計算表明,晶體中若有N個 原子,由于各原子間的相互作用,對應(yīng)于 原來孤立原子的每一個能級,在晶體中變 成了N條靠得很近的能級,稱為能帶。,晶體中的電子能級 有什么特點?,6,能帶的寬度記作E ,數(shù)量級為 EeV。,若N1023,則能帶中兩能級的間距約10-23eV。,一般規(guī)律:,1. 越是外層電子,能帶越寬,E越大。,2. 點陣間距越小,能帶越寬,E越大。,3. 兩個能帶有可能重疊。,7,離子間距,a,2P,2S,1S,E,0,能帶重疊示意圖,8,三 . 能帶中電子的排布,晶體中的一個電子只能處在某個能帶中的 某一能級上。,排布原則:,1. 服從泡里不相容原理
3、(費米子),2. 服從能量最小原理,設(shè)孤立原子的一個能級 Enl ,它最多能容納 2 (2 +1)個電子。,這一能級分裂成由 N條能級組成的能帶后, 能帶最多能容納 2N(2l +1)個電子。,9,電子排布時,應(yīng)從最低的能級排起。,有關(guān)能帶被占據(jù)情況的幾個名詞:,1滿帶(排滿電子),2價帶(能帶中一部分能級排滿電子) 亦稱導(dǎo)帶,3空帶(未排電子) 亦稱導(dǎo)帶,4禁帶(不能排電子),2、3能帶,最多容納 6N個電子。,例如,1、2能帶,最多容納 2N個電子。,2N(2l+1),10,一. 布洛赫定理,一個在周期場中運動的電子的波函數(shù)應(yīng) 具有哪些基本特點?,在量子力學(xué)建立以后,布洛赫(F.Bloch
4、) 和布里淵(Brillouin)等人就致力于研究 周期場中電子的運動問題。他們的工作為 晶體中電子的能帶理論奠定了基礎(chǔ)。,布洛赫定理指出了在周期場中運動的電子 波函數(shù)的特點。,8.2(補充) 布洛赫定理 空間,11,在一維情形下,周期場中運動的電子能量E(k) 和波函數(shù) 必須滿足定態(tài)薛定諤方程,k -表示電子狀態(tài)的角波數(shù) V( x ) -周期性的勢能函數(shù),它滿足 V( x ) = V( x + n a ) a - 晶格常數(shù) n -任意整數(shù),12,布洛赫定理:,式中 也是以a為周期的周期函數(shù),即 *,注*:關(guān)于布洛赫定理的證明,有興趣的讀者 可以查閱固體物理學(xué)黃昆原著 韓汝琦改編 (1988)
5、P154,具有(2)式形式的波函數(shù)稱為布洛赫波函數(shù), 或布洛赫函數(shù)。,滿足(1)式的定態(tài)波函數(shù)必定具有如下的特殊形式,13,布洛赫定理說明了一個在周期場中運動的電子 波函數(shù)為:一個自由電子波函數(shù) 與一個具有 晶體結(jié)構(gòu)周期性的函數(shù) 的乘積。, 只有在 等于常數(shù)時,在周期場中運動的 電子的波函數(shù)才完全變?yōu)樽杂呻娮拥牟ê瘮?shù)。, 這在物理上反映了晶體中的電子既有共有化的 傾向,又有受到周期地排列的離子的束縛的特點。, 因此,布洛赫函數(shù)是比自由電子波函數(shù) 更接近實際情況的波函數(shù)。, 它是按照晶格的周期 a 調(diào)幅的行波。,14,實際的晶體體積總是有限的。因此必須 考慮邊界條件。,設(shè)一維晶體的原子數(shù)為N,它
6、的線度為 L=Na,則布洛赫波函數(shù) 應(yīng)滿足如下條件,此式稱為周期性邊界條件。,二 . 周期性邊界條件,采用周期性邊界條件以后,具有 N 個晶格點的 晶體就相當(dāng)于首尾銜接起來的圓環(huán):,在固體問題中,為了既考慮 到晶體勢場的周期性,又考慮到晶體是有限 的,我們經(jīng)常合理地采用周期性邊界條件:,15,由周期性邊界條件可以推出:布洛赫波函數(shù) 的 波數(shù) k 只能取一些特定的分立值。,周期性邊界條件對波函數(shù)中的波數(shù)是有影響的。,圖 2 周期性邊界條件示意圖,16,左邊為,右邊為,所以,由周期性邊界條件,即周期性邊界條件使 k 只能取分立值:,證明如下:,按照布洛赫定理:,17,k 是代表電子狀態(tài)的角波數(shù),
7、n 是代表電子狀態(tài)的量子數(shù)。,對于三維情形, 電子狀態(tài)由一組量子數(shù)(nx、 ny、nz)來代表。 它對應(yīng)一組狀態(tài)角波數(shù)(kx、 ky、 kz)。,一個 對應(yīng)電子的一個狀態(tài)。,18,在 空間中,電子的每個狀態(tài)可以用 一個狀態(tài)點來表示,這個點的坐標(biāo)是,三. 空間,19,上式告訴我們,沿 空間的每個坐標(biāo)軸方向, 電子的相鄰兩個狀態(tài)點之間的距離都是 。,圖 3 表示二維 空間每個點所占的面積是 。,因此, 空間中每個狀態(tài)點所占的體積為 。,圖 3 二維 空間 示意圖,20, 8.3 克朗尼格- 朋奈模型 能帶中的能級數(shù)目,一 . 克朗尼格- 朋奈模型,能帶理論是單電子近似理論。,布洛赫定理指出,一個在
8、周期場中運動的電子, 其波函數(shù)一定是布洛赫函數(shù)。,下面我們通過一個最簡單的一維周期場- 克朗尼格- 朋奈(Kroning-Penney)模型來說明 晶體中電子的能量特點。,周期性邊界條件的 引入,說明了電子的狀態(tài)是分立的。,它把每個電子的 運動看成是獨立地在一個等效勢場中的運動。,現(xiàn)在再來說明電子的能量有什么特點?,回顧:,21,克朗尼格- 朋奈模型是把圖1的周期場簡化為 圖 4 所示的周期性方勢阱。假設(shè)電子是在這樣的 周期勢場中運動。,在 0 x a 一個周期的區(qū)域中,電子的勢能為,22,按照布洛赫定理,波函數(shù)應(yīng)有以下形式,式中,即可得到 滿足的方程,將波函數(shù) 代入定態(tài)薛定諤方程,23,利用
9、波函數(shù)應(yīng)滿足的有限、單值、連續(xù)等物理 (自然)條件,進(jìn)行一些必要的推導(dǎo)和簡化, 最后可以得出下式,注*:有興趣的讀者可參閱固體物理基礎(chǔ) 蔡伯熏編(1990)P 268。,式中,而 是電子波的角波數(shù)*。,(4)式就是電子的能量 E 應(yīng)滿足的方程,也是電子 能量 E與角波數(shù) k 之間的關(guān)系式。,24,(4)式的左邊是 能量E 的一個較復(fù)雜的函數(shù),記作 f(E);,由于 , 所以使 的 E 值 都不滿足方程。,下圖5 為 給出了一定的 a、b、U0 數(shù)值后的 f(E):,右邊是角波數(shù) k 的函數(shù)。,25,由圖看出,在允許取的 E值(暫且稱為能級)之間, 有一些不允許取的 E值(暫且稱為能隙)。,下面
10、 的圖 6 為E k 曲線的某種表達(dá)圖式。,26,27,兩個相鄰能帶之 間的能量區(qū)域稱 為禁帶。,晶體中電子的能量 只能取能帶中的數(shù) 值,而不能取禁帶 中的數(shù)值。,28,E k 曲線與 a 有關(guān)、與 U0b 乘積有關(guān)。,乘積 U0b 反映了勢壘的強弱。,由于原子的內(nèi)層電子受到原子核的束縛較大, 與外層電子相比,它們的勢壘強度較大。, 計算表明: U0b 的數(shù)值越大所得到的能帶越窄。,所以,內(nèi)層電子的能帶較窄。 外層電子的能帶較寬。,29, 從 E k 曲線還可以 看出: k 值越大, 相應(yīng)的能帶越寬。,由于晶體點陣常數(shù) a 越小,相應(yīng)于 k 值越大。,因此,晶體點陣常數(shù) a 越小,能帶的寬度就
11、越大。 有的能帶甚至可能出現(xiàn)重疊的現(xiàn)象。,這些都與 8.1 節(jié)“概述”中介紹的結(jié)論是一致的。,30,二 . 能帶中的能級數(shù),晶體中電子的能量不能取禁帶中的數(shù)值, 只能取能帶中的數(shù)值。由 圖 5 可以看出:,第一能帶 k 的取值范圍為,第二能帶 k 的取值范圍為,第三能帶 k 的取值范圍為,每個能帶所對應(yīng)的 k 的取值范圍都是 * 。,注* :我們把以原點為中心的第一能帶所處的 k 值 范圍稱為第一布里淵區(qū);第二、第三能帶所處的 k值范圍稱為第二、第三布里淵區(qū),并以此類推。,31,所以,晶體中電子的能帶中有 N 個能級。,電子在晶體中按能級是如何排布的呢?,電子是費密子,它的排布原則有以下兩條:
12、,(1) 服從泡里不相容原理 (2) 服從能量最小原理,而在 空間每個狀態(tài)點所占有的長度為 , 因此,每一能帶中所包含的(狀態(tài)數(shù))能級數(shù)為,每個能帶所對應(yīng)的 k 的取值范圍都是 。,32,對于孤立原子的一個能級 Enl 按照泡里不相容原理,最多能容納 2(2 l +1)個電子。,在形成固體后,這一能級分裂成 由 N 條能級組成 的能帶了,它最多能容納的電子數(shù)為 2N(2l+1)個。,例如,對孤立原子的1S、2S能級,在形成固體后相應(yīng) 地成為兩個能帶。它們最多能容納的電子數(shù)為 2N個。,對孤立原子的 2P、3P能級, 在形成固體后也相應(yīng)地 成為兩個能帶。它們最多能容納的電子數(shù)為 6N個。,電子排
13、布時還得按照能量最小原理 從最低的能級排起。,33,孤立原子的最外層電子能級可能填滿了電子也可能未填滿了電子。若原來填滿電子的, 在形成固體時,其相應(yīng)的能帶也填滿了電子。,若孤立原子中較高的電子能級上沒有電子, 在形成固體時,其相應(yīng)的能帶上也沒有電子。,若原來未填滿電子的, 在形成固體時,其相應(yīng)的能帶也未填滿電子。,孤立原子的內(nèi)層電子能級一般都是填滿的, 在形成固體時,其相應(yīng)的能帶也填滿了電子。,34,排滿電子的能帶稱為滿帶;,排了電子但未排滿的稱為未滿帶(或?qū)В?未排電子的稱為空帶;,(有時也稱為導(dǎo)帶);,兩個能帶之間的禁帶是不能排電子的。,35,8.4 導(dǎo)體和絕緣體 (conductor insulator),它們的導(dǎo)電性能不同, 是因為它們的能帶結(jié)構(gòu)不同。,晶體按導(dǎo)電性能的高低可以分為,36,導(dǎo)體,導(dǎo)體,導(dǎo)體,半導(dǎo)體,絕緣體,Eg,Eg,Eg,37,在外電場的作用下,大量共有化電子很 易獲得能量,集體定向流動形成電流。,從能級圖上來看,是因為其共有化電子 很易從低能級躍遷到高能級上去。,E,導(dǎo)體,38,從能級
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