4-5模n剩余類環(huán)

1、2020/10/5 23:42,近世代數(shù),第四章 環(huán)與域 4 模n剩余類環(huán),2020/10/5 23:42,定義1（同余）整數(shù)a關(guān)于模正整數(shù)m同余于整數(shù)b，是指 mab, 并寫ab (mod m). 整數(shù)模m同余類共有m個(gè)，他們分別為mk+0, mk+1, mk+2,mk+(m-1); kz，每一個(gè)算一類，每一類都可以選一個(gè)代表元，一般選這一類中的最小的非負(fù)整數(shù)。于是稱0,1,2,m-1為標(biāo)準(zhǔn)完全剩余系。,2020/10/5 23:42,定義2：模 m 的剩余類環(huán)模 m的剩余類，規(guī)定 R中的加法和乘法如下： 如何證明 R 是一個(gè)環(huán)？：首先證明加法和乘法的定義是與代表元的選擇無關(guān)。封閉性是顯然的

2、。然后證明R關(guān)于加法是一個(gè)Abel群，關(guān)于乘法是一個(gè)（含幺，可交換）半群。然后證明分配律成立,2020/10/5 23:42,2. 剩余類環(huán)的性質(zhì),定理1 設(shè),則,為,的零因子,(1),(2),為,的可逆元,證：(1)若,為,的零因子,則存在,使得,故,.若,則,所以,矛盾.于是,.,反之,如果, 設(shè),則,所以,但,于是,是零因子.,2020/10/5 23:42,(2)若,為,的可逆元,則,即,于是,使得,也就是,，所以,反之, 如果,則,因此,故,可逆.,剩余類環(huán)中非零元不是可逆元就是零因子.,2020/10/5 23:42,例 1,解 (1),(2),直接計(jì)算可知,相應(yīng)的逆元為,全部零因

3、子:,全部可逆元:,(3),全部子環(huán):,(4),各子環(huán)特征:,2020/10/5 23:42,定理2,為無零因子環(huán),為素?cái)?shù).,為素?cái)?shù)，若,，則,，,或者,，即,若,不是素?cái)?shù)，則,證：設(shè),為無零因子環(huán).,為有零因子環(huán).,2020/10/5 23:42,推論,為域,為素?cái)?shù).,（有限無零因子環(huán)是除環(huán)）,2020/10/5 23:42,例2 Z5是域，Z6不是域.,定理3 設(shè)m,n是兩個(gè)正整數(shù),則ZmZn當(dāng)且僅當(dāng)nm,證：令,2020/10/5 23:42,定理4 除去零乘環(huán)外，在同構(gòu)意義下，循環(huán)環(huán)有且只有整數(shù)環(huán)及其子環(huán)以及剩余類環(huán)及其子環(huán).,注：整數(shù)環(huán)及其所有非零子環(huán)雖然作為加群他們彼此同構(gòu)，但是作為環(huán)來說，它們彼此并不同構(gòu).,例 Z6的子環(huán),都