第五章 小波變換基本原理

1、第五章 小波變換基本原理問題 小波變換如何實現(xiàn)時頻分析？其頻率軸刻度如何標定？ 尺度 小波發(fā)展史1910 Harr小波80年代初興起 Meyer小波解析形式80年代末 Mallat 多分辨率分析WT無須尺度和小波函數(shù)濾波器組實現(xiàn)90年代初 Daubechies 正交小波變換90年代中后期 Sweblews 第二代小波變換小波構(gòu)造？ 小波變換與短時傅里葉變換比較 a適用領域不同 b.STFT 任意窗函數(shù) WT（要容許性條件） 小波相關(guān)概念，數(shù)值實現(xiàn)算法 多分辨率分析（哈爾小波為例） Daubechies正交小波構(gòu)造 MRA的濾波器實現(xiàn) 小波的歷史地位仍不如FT，并不是萬能的5.1 連續(xù)小波變換一

2、CWT與時頻分析 1.概念： 2.小波變換與STFT用于時頻分析的區(qū)別 STFT小波變換基函數(shù)時頻軸平移+調(diào)制（線性頻軸）平移+伸縮 尺度對數(shù)頻軸基函數(shù)特征包絡恒定，振蕩不同振蕩恒定，包絡恒定時頻分辨率，mT,w附近附近適用情況漸變信號突變信號軸spectrogramscalogram結(jié)果復數(shù) 實數(shù) 3.WT與STFT對比舉例（Fig56, Fig57）二WT幾個注意的問題 1.WT與選擇有關(guān) 應用信號分析還是信號復原 2.母小波必須滿足容許性條件 隱含要求 具有帶通特性 利用可推出反變換表達式 3.CWT高度冗余（與CSTFT相似） 4.二進小波變換（對平移量b和尺度進行離散化） 5.小波變

3、換具有時移不變性 6.用小波重構(gòu)信號 中心問題：如何構(gòu)建對偶框架 如何構(gòu)建正交小波？5.2 分段逼近t很顯然采樣率越高，越小，逼近誤差越小，采樣率無誤差學習目的理解MRA一分段逼近的引入 PAM信號近似 ADC 1t1 1.采樣率增大的尺度體現(xiàn) 用平移的版本對S(t)作近似 逼近函數(shù) 尺度 一般式： 11111111 2.兩尺度函數(shù)間關(guān)系 張成空間滿足 兩尺度空間差異在哪？ 3.表征細節(jié)的小波變換的引入表細節(jié) 發(fā)現(xiàn) 尺度 4.推廣m=-1m=0m=1m=2 包含信息量決定 形成最簡單的MRA二分段逼近與小波變換（哈爾小波） 1.信號的尺度逼近與小波表示 尺度逼近 小波表示 Harr小波 2.H

4、arr小波特性 同一尺度平移正交性：同尺度m也滿足 作變量替換即可證明 尺度，平移均正交 分段逼近的推廣MRA一多分辨率分析含義 由內(nèi)空間組成 若空間尺度函數(shù)平移正交： 則為空間尺度函數(shù),任一函數(shù)S(t)可用 平方可積空間即為 問題：Harr小波構(gòu)成最簡單MRA 如何構(gòu)造選其它具體的MRA體系二正交小波函數(shù)的系統(tǒng)構(gòu)造 1.兩尺度方程引入 低通濾波器與尺度關(guān)系 Harr小波滿足 頻域反映 令 含義 a. b根據(jù)MRA， c. 2.QMF的引入 的尺度正交關(guān)系的頻域反映 頻域也正交 兩邊對n求和 利用泊松求和公式 （令） 有 即： QMF正交鏡像濾波器組的導出 利用兩尺度關(guān)系 對k分奇偶討論 含義

5、 a. b.功率互補條件半帶條件 01 3.正交小波濾波器滿足的條件 頻域關(guān)系 根據(jù)可推出 上式的解為 時域關(guān)系 令 易證 小波濾波器同樣滿足兩尺度關(guān)系 4.尺度與小波濾波器頻域關(guān)系的矩陣表示 5. 正交補 例：求Harr小波的頻域尺度函數(shù)和小波函數(shù) 解： 其頻域幅值圖如Fig513所示 可發(fā)現(xiàn)其缺陷在于波紋太大 （原因時域緊支撐） 例：理想LPF也構(gòu)成正交小波 解： 三有關(guān)小波函數(shù)的一些概念 1.小波消失矩 （vanishing moment） 滿足 母小波平滑度由消失矩決定，消失矩越大，則頻域衰減越快越平滑 消失矩越大，小波振蕩程度越高 2.小波正則度（regularity） 定義：小波的

6、連續(xù)可導次數(shù) 正則度為n的小波具有（n+1）階消失矩（必要條件）四問題討論 1.根據(jù)MRA理論 小波和尺度函數(shù)均可由無窮頻域次乘積得出，最終由決定 不關(guān)心其解析表達式濾波器組 2.MRA理論 離散小波的數(shù)值實現(xiàn)5.4 小波變換與數(shù)字濾波器組一時間離散小波變換的實現(xiàn)途徑 1.不能直接對定義式離散化實現(xiàn) 令 當m較小時，不為整數(shù) 2.第一代小波變換：根據(jù)MRA理論，由數(shù)字濾波器組實現(xiàn)（Mallat算法） （根據(jù)尺度函數(shù)和小波函數(shù)） 3.第二代小波變換：Swelden算法 由預測和更新濾波器進行交替提升實現(xiàn)二Mallat算法 1.兩個近似假設 由采樣數(shù)據(jù)直接近似 當分辨率m足夠高時 故可直接用樣本數(shù)

7、據(jù)取代 2.Mallat算法 分解算法 a.推導 同理 b.濾波器組實現(xiàn)（滑動內(nèi)積+下采樣） 重構(gòu)算法 a.推導（由兩尺度關(guān)系，正交關(guān)系，及奇偶討論可導出） b.濾波器組實現(xiàn)（上采樣+濾波）S(i) 5.5 小波變換的應用一小波地位 小波曾火熱一時，但小波不是萬能的，在某些應用場合特別適用 小波無法求解微分方程純數(shù)字和物理地位不如FT 二信號檢測方面應用 發(fā)動機聲音中的撞擊聲檢測 傅里葉分析：時間平均作用模糊了信號局部特性 Gabor變換 ：仍需長窗去包含振蕩波形 小波變換 ： 小波基可任意窄三降噪應用 1.適用場合 經(jīng)典濾波：要求信號與噪聲頻率足夠窄且不重合 高斯類噪聲和脈沖噪聲 寬帶噪聲 小波去噪 2.濾波效果 經(jīng)典濾波：丟失波形尖銳處信息 小波降噪：基本保留波形尖銳處信息（與小波基選擇有關(guān)） 3.濾波手段 傳統(tǒng)方法：Prony參數(shù)建模法 小波降噪小波變換系數(shù)閾值比較反變換信號輸出分解重