傅立葉變換及其應(yīng)用.ppt

1、傅立葉變換及其應(yīng)用,為什么要使用傅立葉變換,頻譜分析是信號處理的核心 沒學(xué)微積分就不了解極限的概念，而沒學(xué)傅立葉變換可能就不清楚世界上還有所謂的“頻譜” 傅立葉變換對于問題的簡化特別有用，使我們可以從另一個角度處理問題 FFT的出現(xiàn)，使科學(xué)分析的許多方面大為改觀,背景知識,1、線性系統(tǒng)的基本概念 2、二維卷積 3、傅立葉變換的實質(zhì),1. 線性系統(tǒng),線性系統(tǒng)理論是數(shù)字信號分析與處理（當(dāng)然包括數(shù)字圖象處理）的理論基礎(chǔ) 線性系統(tǒng)可用傳遞函數(shù)來刻畫，將其看作黑箱（Black Box），線性系統(tǒng)的輸入信號和輸出信號之間的關(guān)系，在時域可用卷積運算來表達，在頻域可直接用乘積來確定：,1.1 線性系統(tǒng)的輸入輸

2、出關(guān)系,時域用卷積運算來表達 頻域用乘積表達,2. 二維卷積,對于二維信號，二維卷積定義為,3.傅立葉變換的實質(zhì),簡單的說，一個波形的傅立葉變換的實質(zhì)是：把這個波形分解成許多不同頻率正弦波之和，且這些正弦波加起來可成為原來的波形。 方程表示為：,t為時間，f為頻率。s(t)是被分解的波形，S(f)是其傅立葉變換。,作變換,進行傅立葉變換,t,分解,-T/2,T/2,做一張顯示各正弦波振幅 和頻率的圖,傅立葉變換,頻率,傅立葉變換,“任意”的函數(shù)通過一定的分解，都能夠表示為正弦函數(shù)的線性組合的形式，而正弦函數(shù)在物理上是被充分研究而相對簡單的函數(shù)類，這一想法跟化學(xué)上的原子論想法很相似。 如減速機故

3、障時，通過傅里葉變換做頻譜分析，根據(jù)各級齒輪轉(zhuǎn)速、齒數(shù)與雜音頻譜中振幅大的對比，可以快速判斷哪級齒輪損傷。 在數(shù)字圖像處理中，周期性的噪聲會在傅立葉變換后的頻譜圖像中產(chǎn)生尖峰信號，由此可快速取得圖像中的噪聲信息，便于進一步處理。 傅立葉變換應(yīng)用很廣，以上僅僅是其在信號處理系統(tǒng)中的基本應(yīng)用。,傅立葉變換,1.傅立葉積分： 若對參量f的每一個值，積分都是存在的，則該方程就定義了h(t)的傅立葉變換H(f)。 t代表時間，f代表頻率。則該變換實現(xiàn)了將以時間為變量的函數(shù)h(t)轉(zhuǎn)換為以頻率為變量的函數(shù)H(f)，且二者所包含的信息是一致的。（這即為使人們可以從另一個角度研究一個函數(shù)的根本依據(jù)）,傅立葉變

4、換是頻率變量f的一個復(fù)函數(shù)： R(f)是傅立葉變換的實部，I(f)是傅立葉變換的虛部。 |H(f)|稱作h(t)的振幅譜或者傅立葉譜，它由 給出。 (f)是傅立葉變換的相角，由 給出。,2. 傅立葉逆變換 逆變換定義為： 該公式使我們可以從一個時間函數(shù)的傅立葉變換確定這個時間函數(shù)。 （即一個時間函數(shù)和其頻譜互為傅立葉變換，二者被稱為“傅立葉變換對”）,3 傅立葉積分的存在條件 具體的數(shù)學(xué)證明意義不大，故在此省略。 在工程應(yīng)用中，只需要知道：對于已經(jīng)存在的、實際生活中已經(jīng)有的時間序列（大部分為物理現(xiàn)象），其傅立葉變換和傅立葉逆變換都存在。,傅立葉變換的性質(zhì),1. 線性性 很重要，表明其在所有線性

5、系統(tǒng)中都可用。說明了其適用的廣泛性。 2.對稱性 3.時間尺度和頻率尺度的改變 4.實、虛函數(shù)和奇、偶函數(shù)的特性 5.傅立葉級數(shù)是傅立葉積分的一種特例 6.注意：時間一般是實的，而頻率一般是復(fù)的。即逆變換時要對實部、虛部均進行變換。,重要性：,1.傅立葉變換是線性算子 2.傅立葉變換的逆變換容易求出,而且形式與正變換非常類似; 3.在線性時不變的物理系統(tǒng)內(nèi),頻率是個不變的性質(zhì),從而系統(tǒng)對于復(fù)雜激勵的響應(yīng)可以通過組合其對不同頻率正弦信號的響應(yīng)來獲取; 4. 卷積定理指出:傅立葉變換可以化復(fù)雜的卷積運算為簡單的乘積運算,從而提供了計算卷積的一種簡單手段; 5.離散形式的傅立葉變換可以利用數(shù)字計算機

6、快速的算出(其算法稱為快速傅立葉變換算法(FFT). 是由于上述的良好性質(zhì),傅里葉變換在物理學(xué)、數(shù)論、組合數(shù)學(xué)、信號處理、概率、統(tǒng)計、密碼學(xué)、聲學(xué)、光學(xué)等領(lǐng)域都有著廣泛的應(yīng)用。,DFT和FFT的基礎(chǔ)：波形抽樣和差值,1.所借助工具：卷積和差值（包括線性差值、拋物線差值等，用來提高精度） 2.主要定理：Shannon采樣定理。 3.原理：把函數(shù)x(t)在0,T區(qū)間上表示為：,Ak稱為k次諧波的復(fù)振幅， Ak是其幅值。k是其相位，ak和bk分別是第k次正弦波的余弦系數(shù)和正弦系數(shù)。,上式其實很簡單，就是把一個時間函數(shù)用傅立葉級數(shù)的方式表示出來。 所謂頻譜分析，就是求出各次諧波對應(yīng)的Ak。 在采樣時，

7、要分為兩種情況： （1）若x(t)本身在t上并不連續(xù)，而是基于給定的時間序列函數(shù)x (0),x (1), x (2), , x(N-1)，則稍加修改即可直接進行計算。,（2）x(t)是在t上的連續(xù)函數(shù)： 取t為很小的時間間隔，令T=N t，x(t)在tn=n t時的采樣值為xn。則可以用各個xn代替上式中的x(t)，再用求和代替積分，就實現(xiàn)了對Ak的離散化。這也是DFT和FFT運算的基礎(chǔ)。如下所示：,注意：DFT和FFT的計算基礎(chǔ)是基于AkF的。而AkF只是簡單求和，相對于Ak必然存在誤差。,DFT,1.目的：將連續(xù)傅立葉變換進行改造，使其適用于機器運算。 2.DFT可以理解為是連續(xù)傅立葉變換

8、的特殊情況。即給定的h(t)在t上并不是連續(xù)的，而是基于給定的時間序列函數(shù)h(0)、 h(1)、 h(2)、 h(N-1)，（或者是以t為間隔對其抽樣，最后求和 ）計算其傅立葉積分。,定義： 對于一個物理數(shù)據(jù)f(x),其定義域為-XX時全為零。則有和式：,可分解為實部： 和虛部：,DFT的性質(zhì),1. 線性性 同樣在所有線性系統(tǒng)中都可用。 2.對稱性 3.時間尺度和頻率尺度的改變 4.實、虛函數(shù)和奇、偶函數(shù)的特性 5.注意其相關(guān)基礎(chǔ)是離散卷積，連續(xù)卷積與離散卷積有所不同，若DFT使用連續(xù)卷積（再離散化）會增加誤差。,FFT（Fast Fourier Transformation）,所謂FFT，只不過是計算離散傅立葉變換的一種特殊方法，目的是使計算DFT的速度加快。所以在算法方面，其意義并不大。 但是需要注意的是，正是FFT的出現(xiàn)（出現(xiàn)于1965年，由Cooley-Tukey首次發(fā)表，IBM的Garwin首次實現(xiàn)計算機程序） 又稱為Cooley-Tukey算法。,FFT的優(yōu)點,對于給定時間序列f(0),f(1),f(2),f(N-1),對其進行傅立葉變換:,可知，計算每一個F(k)都需要進行N次乘法和N-1次加法。若把全部F(k)都計算出來，需要進行N2次乘法和N(N-1)次加法，運算量很大。用FFT可以大大減少計算量，以“