知識講解_《圓錐曲線與方程》全章復習與鞏固(提高)(理)

1、圓錐曲線與方程全章復習與鞏固【學習目標】（1）掌握橢圓的定義、標準方程和橢圓的簡單幾何性質(zhì)。數(shù)學探索版權(quán)所有（2）掌握雙曲線的定義、標準方程和雙曲線的簡單幾何性質(zhì)數(shù)學探索版權(quán)所有（3）掌握拋物線的定義、標準方程和拋物線的簡單幾何性質(zhì)（4）掌握直線與圓錐曲線的位置關(guān)系及綜合應用.【知識網(wǎng)絡】直線與圓錐曲線的位置關(guān)系圓錐曲線曲線與方程圓錐曲線與方程橢圓的定義及標準方程橢圓橢圓的幾何性質(zhì)雙曲線的定義及標準方程雙曲線雙曲線的幾何性質(zhì)拋物線的定義及標準方程拋物線拋物線的幾何性質(zhì)【要點梳理】要點一：圓錐曲線的標準方程和幾何性質(zhì)1橢圓：（1）橢圓概念平面內(nèi)與兩

2、個定點、的距離的和等于常數(shù)2（大于）的點的軌跡叫做橢圓。這兩個定點叫做橢圓的焦點，兩焦點的距離2c叫橢圓的焦距。若為橢圓上任意一點，則有。橢圓的標準方程為：（）（焦點在x軸上）或（）（焦點在y軸上）。要點詮釋：上方程中的大小，其中；在和兩個方程中都有的條件，要分清焦點的位置，只要看和的分母的大小。例如橢圓（，）當時表示焦點在軸上的橢圓；當時表示焦點在軸上的橢圓。（2）橢圓的性質(zhì)范圍：由標準方程知，說明橢圓位于直線，所圍成的矩形里；對稱性： 橢圓關(guān)于軸、軸和原點對稱。這時，坐標軸是橢圓的對稱軸，原點是對稱中心，橢圓的對稱中心叫橢圓的中心；頂點： ，是橢圓的四個頂點。同時，線段、分別叫做橢圓的長軸

3、和短軸，它們的長分別為和，和分別叫做橢圓的長半軸長和短半軸長。離心率：橢圓的焦距與長軸的比叫橢圓的離心率。，且越接近，就越接近，從而就越小，對應的橢圓越扁；反之，越接近于，就越接近于，從而越接近于，這時橢圓越接近于圓。當且僅當時，兩焦點重合，圖形變?yōu)閳A，方程為。2雙曲線（1）雙曲線的概念平面內(nèi)與兩個定點的距離的差的絕對值等于常數(shù)（小于且不等于零）的點的軌跡叫做雙曲線.要點詮釋：式中是差的絕對值，在條件下；時為雙曲線的一支；時為雙曲線的另一支（含的一支）；當時，表示兩條射線；當時，不表示任何圖形；兩定點叫做雙曲線的焦點，叫做焦距。（2）雙曲線的性質(zhì)范圍：從標準方程，看出曲線在坐標系中的范圍：雙曲

4、線在兩條直線的外側(cè)。即，即雙曲線在兩條直線的外側(cè)。對稱性：雙曲線關(guān)于每個坐標軸和原點都是對稱的，這時，坐標軸是雙曲線的對稱軸，原點是雙曲線的對稱中心，雙曲線的對稱中心叫做雙曲線的中心。頂點：雙曲線和對稱軸的交點叫做雙曲線的頂點。在雙曲線的方程里，對稱軸是軸，所以令得，因此雙曲線和軸有兩個交點，他們是雙曲線的頂點。令，沒有實根，因此雙曲線和y軸沒有交點。注意：雙曲線的頂點只有兩個，這是與橢圓不同的（橢圓有四個頂點），雙曲線的頂點分別是實軸的兩個端點。實軸：線段叫做雙曲線的實軸，它的長等于叫做雙曲線的實半軸長。虛軸：線段叫做雙曲線的虛軸，它的長等于叫做雙曲線的虛半軸長。漸近線： 漸近線方程：. 這

5、兩條直線即稱為雙曲線的漸近線。從圖上看，雙曲線的各支向外延伸時，與這兩條直線逐漸接近。3拋物線（1）拋物線的概念平面內(nèi)與一定點F和一條定直線l的距離相等的點的軌跡叫做拋物線(定點F不在定直線l上)。定點F叫做拋物線的焦點，定直線l叫做拋物線的準線。方程叫做拋物線的標準方程。注意：它表示的拋物線的焦點在x軸的正半軸上，焦點坐標是F（,0），它的準線方程是 ；（2）拋物線的性質(zhì)一條拋物線，由于它在坐標系的位置不同，方程也不同，有四種不同的情況，所以拋物線的標準方程還有其他幾種形式：，.這四種拋物線的圖形、標準方程、焦點坐標以及準線方程如下表：標準方程圖形焦點坐標準線方程范圍對稱性軸軸軸軸頂點離心率

6、要點詮釋：（1）通徑：過拋物線的焦點且垂直于對稱軸的弦稱為通徑；（2）拋物線的幾何性質(zhì)的特點：有一個頂點，一個焦點，一條準線，一條對稱軸，無對稱中心，沒有漸近線；（3）注意強調(diào)的幾何意義：是焦點到準線的距離。要點二：直線和圓錐曲線的位置關(guān)系直線與圓錐曲線有三種位置關(guān)系：相交，相切，相離。1直線與圓錐曲線C的位置關(guān)系判斷直線與圓錐曲線C的位置關(guān)系時，將直線的方程代入曲線C的方程，消去y（也可消去x）得一個關(guān)于變量x（或y）的一元二次方程ax2+bx+c=0。當a0時，若0，則與C相交；若=0，則與C相切；若0，則有與C相離。當a=0時，即得到一個一次方程，若方程有解，則直線與C相交，此時只有一個

7、公共點若C為雙曲線，則平行于雙曲線的漸近線；若C為拋物線，則平行于拋物線的對稱軸。2直線被圓錐曲線截得的弦長公式：斜率為k的直線被圓錐曲線截得弦AB，設，則弦長公式：當時, 弦長公式還可以寫成：要點詮釋：（1）當直線與雙曲線、拋物線只有一個公共點時，直線和雙曲線、拋物線可能相切，也可能相交。（2）利用弦長公式求弦長時，應注意應用韋達定理。要點三： 有關(guān)圓錐曲線綜合題類型1.求圓錐曲線方程的方法定義法定義法是指先分析、說明動點的軌跡滿足某種特殊曲線（如圓、橢圓、雙曲線、拋物線等）的定義或特征，再求出該曲線的相關(guān)參量，從而得到軌跡方程.一般求已知曲線類型的曲線方程問題，可采用“先定形，后定式，再定

8、量”的步驟：定形指的是二次曲線的焦點位置與對稱軸的位置，如果位置不確定時，考慮是否多解。此時注意數(shù)形結(jié)合，在圖形上標出已知條件，檢查軸上的點、垂直于軸的直線的位置是否準確等。定式根據(jù)“形”設方程的形式，注意曲線系方程的應用，如當橢圓的焦點不確定在哪個坐標軸上時，可設方程為mx2+ny2=1(m0,n0) 定量由題設中的條件找到“式”中特定系數(shù)的等量關(guān)系，通過解方程得到量的大小。此處注意n個未知數(shù)，列夠n個獨立的方程，并注意“點在線上”條件及韋達定理的使用。直接法建系設點點滿足的幾何條件坐標化整理化簡成最簡形式證明（可省略，但必須刪去增加的或者補上丟失的解）代入法當題目中有多個動點時，將其他動點

9、的坐標用所求動點的坐標來表示，再代入到其他動點要滿足的條件或軌跡方程中，整理即得到動點的軌跡方程，稱之代入法，也稱相關(guān)點法、轉(zhuǎn)移法.參數(shù)法 參數(shù)法是指先引入一個中間變量（參數(shù)），使所求動點的橫、縱坐標間建立起聯(lián)系，然后再從所求式子中消去參數(shù)，得到間的直接關(guān)系式，即得到所求軌跡方程.常見的參數(shù)法有：（1）點參數(shù)利用點在某曲線上設點（常設“主動點”），以此點為參數(shù)，依次求出其他相關(guān)量，再列式求解。如x軸上一動點P，常設P（t，0）；直線x-2y+1=0上一動點P。除設P（x1,y1）外，也可直接設P（2y,-1,y1）（2）斜率為參數(shù) 當直線過某一定點P(x0,y0)時，常設此直線為y-y0=k(

10、x-x0)，即以k為參數(shù)，再按命題要求依次列式求解等。（3）角參數(shù)當研究有關(guān)轉(zhuǎn)動的問題時，常設某一個角為參數(shù)，尤其是圓與橢圓上的動點問題。要點詮釋：（1求軌跡方程的一般思路：若曲線的類型已確定，一般用待定系數(shù)法；若曲線的類型未確定，但曲線上動點的運動在題目中有明確的表述，一般采用直接法；若動點的變化依賴于另一相關(guān)點的變化，一般采用相關(guān)點法（代入轉(zhuǎn)移法）；若動點坐標之間的關(guān)系不易找出，一般可采用參數(shù)法。但應注意所列方程個數(shù)比參數(shù)個數(shù)要多一個，才可以消去參數(shù)。（2求軌跡方程應注意的問題：求軌跡方程后一定要注意軌跡的純粹性和完備性；以保證方程的解與曲線上的點具有一一對應的關(guān)系, 尤其是題中涉及三角形

11、、斜率、參數(shù)方程中參數(shù)的限制, 往往使方程產(chǎn)生增根。要注意區(qū)別“軌跡”與“軌跡方程”是兩個不同的概念。2.直線與圓錐曲線相交 - 弦的有關(guān)問題： 韋達定理法：因直線的方程是一次的，圓錐曲線的方程是二次的，故直線與圓錐曲線的問題常轉(zhuǎn)化為方程組關(guān)系問題，最終轉(zhuǎn)化為一元二次方程問題，故用韋達定理及判別式是解決圓錐曲線問題的重點方法之一，尤其是弦中點問題，弦長問題，可用韋達定理直接解決，但應注意不要忽視判別式的作用。設而不求法：解析幾何的運算中，常設一些量而并不解出這些量，利用這些量過渡使問題得以解決，這種方法稱為“設而不求法”。設而不求法對于直線與圓錐曲線相交而產(chǎn)生的弦中點問題，常用“點差法”，即設

12、弦的兩個端點A(x1,y1),B(x2,y2),弦AB中點為M(x0,y0)，將點A、B坐標代入圓錐曲線方程，作差后，產(chǎn)生弦中點與弦斜率的關(guān)系，這是一種常見的“設而不求”法，具體有：（1）與直線相交于A、B，設弦AB中點為M(x0,y0)，將兩式作差可得：。（2）與直線l相交于A、B，設弦AB中點為M(x0,y0)，將兩式作差可得：（3）y2=2px（p0）與直線l相交于A、B設弦AB中點為M(x0,y0),同樣設點作差可得2y0k=2p, 即y0k=p.3求取值范圍或最值： 參數(shù)方法-將待求范圍參數(shù)表示為另一個變量的函數(shù)，注意求函數(shù)的定義域。 方程與不等式組-n個未知數(shù)，列夠n個獨立方程或不

13、等式，注意歸納總結(jié)列不等式的方法： 利用幾何性質(zhì)求參數(shù)范圍； 利用不等式性質(zhì)(結(jié)合幾何性質(zhì))求參數(shù)范圍【典型例題】類型一：圓錐曲線的方程與性質(zhì)例1. 已知中，、的對邊分別為、，若依次構(gòu)成等差數(shù)列，且，求頂點的軌跡方程.【思路點撥】建立坐標系，再依據(jù)題中已知條件直接列出幾何關(guān)系式子，再將其“翻譯”成數(shù)學語言即可.CByxOA【解析】如右圖，以直線為軸，線段的中點為原點建立直角坐標系. 由題意，構(gòu)成等差數(shù)列，即，又，的軌跡為橢圓的左半部分.在此橢圓中，故的軌跡方程為.【總結(jié)升華】本題采用的是定義法，定義法是指先分析、說明動點的軌跡滿足某種特殊曲線（如圓、橢圓、雙曲線、拋物線等）的定義或特征，再求出

14、該曲線的相關(guān)參量，從而得到軌跡方程.舉一反三：【變式1】已知圓的圓心為M1，圓的圓心為M2，一動圓與這兩個圓外切，求動圓圓心P的軌跡方程?！敬鸢浮吭O動圓圓心P（x，y），動圓的半徑為R，由兩圓外切的條件可得：，。動圓圓心P的軌跡是以M1、M2為焦點的雙曲線的右支，其中c=4，a=2，b2=12，故所求軌跡方程為。【變式2】設、是雙曲線x2y24的兩焦點，是雙曲線上任意一點，從引平分線的垂線，垂足為，則點的軌跡方程是【答案】設O為F1F2的中點， 延長F1P交QF2于A，連接OP，據(jù)題意知：AQF1為等腰三角形所以QF1=QA|QF1-QF2|=4|QA-QF2|=4即AF2=4OP為F1F2A

15、的中位線OP=2故點P的軌跡為以O為圓心，以2為半徑的圓，方程為：x2+y2=4例2過原點的直線與曲線y=x2-2x+2交于A，B兩點，求弦AB中點的軌跡.【思路點撥】AB的中點是受A，B兩點的影響而運動的，而A,B的運動是由于直線的轉(zhuǎn)動而導致的，因此可以選擇直線的斜率k作為參數(shù).【解析】設AB的中點M(x,y), A(x1,y1), B(x2,y2),依題意，直線的斜率必須存在，設為k, 又直線 過原點，直線的方程為：y=kx, 將此式代入y=x2-2x+2整理得：x2-(2+k)x +2=0 x1+x2=2+k, 由消去k，得。又由于直線與曲線有兩交點，故(1)式中的判別式0, (2+k)

16、2-80, 解得或 ,或所求的軌跡是拋物線y=2x2-2x(或)部分?！究偨Y(jié)升華】在處理涉及直線和二次曲線交點的軌跡問題時，直線的斜率是常用的參數(shù),即“k參數(shù)”，此時要考慮直線的斜率不存在這一特殊情況.參數(shù)的選擇多種多樣，應視具體情況而定 常見的參數(shù)有k參數(shù)、點參數(shù)，也可以選有幾何意義的量如角參數(shù)、參數(shù)a,b,c等。恰當選擇參數(shù)，可以簡化解題過程.解題時應先對動點的形成過程進行分析，確定參數(shù)，探求幾何關(guān)系，建立參數(shù)方程.對參數(shù)方程化簡以后，要重視檢驗工作，確定變量的范圍.舉一反三：【變式1】設雙曲線的兩個焦點分別是F1和F2, A 、B分別是雙曲線兩條漸近線上的動點, 且, 求線段AB中點的軌

17、跡方程.【答案】設A點在漸近線上, B點在漸近線上, A(x1, y1), B(x2, y2),線段AB中點 M(x, y), 由=30,得, , 化簡得.【變式2】以拋物線的弦AB為直徑的圓經(jīng)過原點O, 過點O作OMAB, M為垂足, 求點M的軌跡方程.【答案】設直線OA方程為, 代入得A點坐標為,，, 同理可得B(), 直線AB方程為, 即: 直線OM方程為,得: , 即為所求點M的軌跡方程.【變式3】在圓x2+y2=4上，有一定點A（2，0）和兩動點B，C（A，B，C按逆時針排列），當B，C兩點保持BAC=時，求ABC的重心的軌跡?！敬鸢浮?連OB，OC，BAC=，BOC= 設B（2co

18、s,2sin）(0),則C(2cos(+),2sin(+) 設重心G（x，y），則： x= y=即： x= y= +。（x0時，。從而 。，解得。此時，故由焦點弦長公式，得：。【總結(jié)升華】 處理涉及直線和二次曲線交點問題時，一般設出交點坐標，但不求交點坐標，而 是用韋達定理作整體運算（把x1+x2或x1x2看作一個整體），即所謂“設而不求”. 涉及直線與雙曲線相交弦的問題，0是必不可少的條件。關(guān)于直線與雙曲線的某一支的相交問題，不但要考慮0，同時要考慮方程根的取值范圍。舉一反三：【變式1】設橢圓的左、右焦點分別為、，A是橢圓C上的一點，且，坐標原點O到直線的距離為（1）求橢圓C的方程；（2）設

19、Q是橢圓C上的一點，過Q的直線l交x軸于點，較y軸于點M，若，求直線l的方程【答案】（1）由題設知由于，則有，所以點A的坐標為，故所在直線方程為，所以坐標原點O到直線的距離為，又，所以，解得，所求橢圓的方程為（2）由題意知直線l的斜率存在，設直線l的方程為，則有，設，由于，解得 又Q在橢圓C上，得，解得， 故直線l的方程為或， 即或 【變式2】已知橢圓C的中心在原點，焦點在x軸上，它的一個頂點B恰好是拋物線y=x2的焦點，離心率等于.直線與橢圓C交于兩點.（）求橢圓C的方程；() 橢圓C的右焦點是否可以為的垂心？若可以,求出直線的方程；若不可以,請說明理由.【答案】（1）設C方程為，則b =

20、1.橢圓C的方程為 （）假設存在直線,使得點是的垂心.易知直線的斜率為，從而直線的斜率為1.設直線的方程為，代如橢圓的方程，并整理可得.設，則，.于是解之得或.當時，點即為直線與橢圓的交點，不合題意.當時，經(jīng)檢驗知和橢圓相交，符合題意. 所以，當且僅當直線的方程為時, 點是的垂心【變式3】如圖，和兩點分別在射線OS、OT上移動，且，O為坐標原點，動點P滿足。（1）求的值；（2）求P點的軌跡C的方程，并說明它表示怎樣的曲線？（3）若直線l過點E（2，0）交（2）中曲線C于M、N兩點，且，求的方程.【解析】（1）由已知得 （2）設P點坐標為（x，y）（x0），由得 消去m，n可得 ，又因 P點的軌

21、跡方程為 它表示以坐標原點為中心，焦點在軸上，且實軸長為2，焦距為4的雙曲線的右支（3）設直線l的方程為，將其代入C的方程得 即 易知（否則，直線l的斜率為，它與漸近線平行，不符合題意） 又 設，則 l與C的兩個交點在軸的右側(cè) ，即 又由 同理可得 由得 由得 由得 消去得 解之得： ，滿足故所求直線l存在，其方程為：或類型三：求取值范圍或最值：例4. 定長為3的線段AB的兩個端點在y=x2上移動，AB中點為M，求點M到x軸的最短距離。【思路點撥】（1）可直接利用拋物線設點，如設A(x1,x12)，B(x2，X22)，又設AB中點為M(x0y0)用弦長公式及中點公式得出y0關(guān)于x0的函數(shù)表達式

22、，再用函數(shù)思想求出最短距離。（2）M到x軸的距離是一種“點線距離”，可先考慮M到準線的距離，想到用定義法?！窘馕觥拷夥ㄒ唬涸OA(x1，x12)，B(x2，x22)，AB中點M(x0，y0)則由得(x1-x2)21+(x1+x2)2=9即(x1+x2)2-4x1x21+(x1+x2)2=9 由、得2x1x2=(2x0)2-2y0=4x02-2y0代入得 (2x0)2-(8x02-4y0)1+(2x0)2=9， 當4x02+1=3 即 時，此時解法二：如圖， 即， 當AB經(jīng)過焦點F時取得最小值。M到x軸的最短距離為【總結(jié)升華】解法一是列出方程組，利用整體消元思想消x1，x2，從而形成y0關(guān)于x0的函數(shù)，這是一種“設而不求”的方法。而解法二充分利用了拋物線的定義，巧妙地將中點M到x軸的距離轉(zhuǎn)化為它到準線的距離，