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高等數(shù)學(xué)競(jìng)賽模擬試題(三)參考答案 一.填空題(每小題4分,共40分)1當(dāng),時(shí),函數(shù)當(dāng)時(shí)關(guān)于的無(wú)窮小階數(shù)最高。2設(shè),則。3設(shè)是由方程組確定的隱函數(shù),則。4設(shè)為的原函數(shù),且,若當(dāng)時(shí),則=。5設(shè)是參數(shù),則。6設(shè),則 。7設(shè),則=。8。9設(shè),則=。10圓的圓心坐標(biāo)為,半徑為。二、(每小題6分,共24分)1計(jì)算解:,2設(shè)為正常數(shù),證明 證:令,即,3試比較積分與的大小,并證明你得出的結(jié)論。解:對(duì)后一個(gè)積分作代換:,于是,得4設(shè)函數(shù)有連續(xù)的二階偏導(dǎo)數(shù),且,求與。解:,聯(lián)立得。三、(7分)設(shè)函數(shù)在上二階可導(dǎo),求證存在使得。證:設(shè),則,在上可導(dǎo),使,在上可導(dǎo),使四、(7分)判斷級(jí)數(shù)的斂散性,其中。解:,即,當(dāng)時(shí),級(jí)數(shù)發(fā)散;當(dāng)時(shí),級(jí)數(shù)收斂。故當(dāng)時(shí),原級(jí)數(shù)發(fā)散;當(dāng)時(shí),原級(jí)數(shù)收斂。五、(8分)一點(diǎn)先向正東移動(dòng)米,然后左拐彎移動(dòng)米(其中,如此不斷重復(fù)左拐彎,使得后一段移動(dòng)的距離為前一段的倍,這樣該點(diǎn)有一極限位置,試問(wèn)該極限位置與原出發(fā)點(diǎn)相距多少米?解:建立坐標(biāo)系,原點(diǎn)為起始點(diǎn),軸正向單位向量為,軸正向單位向量為,則質(zhì)點(diǎn)所在位置向量為六、(7分)設(shè)在上具有連續(xù)導(dǎo)數(shù),證明 證:則 ,結(jié)論成立。七(7分)設(shè)函數(shù)在區(qū)間上具有二階
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