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高等數(shù)學(xué)競(jìng)賽模擬試題（三）參考答案 一.填空題（每小題4分，共40分）1當(dāng)，時(shí)，函數(shù)當(dāng)時(shí)關(guān)于的無(wú)窮小階數(shù)最高。2設(shè)，則。3設(shè)是由方程組確定的隱函數(shù)，則。4設(shè)為的原函數(shù)，且，若當(dāng)時(shí)，則=。5設(shè)是參數(shù)，則。6設(shè)，則 。7設(shè)，則=。8。9設(shè)，則=。10圓的圓心坐標(biāo)為，半徑為。二、（每小題6分，共24分）1計(jì)算解：，2設(shè)為正常數(shù)，證明 證：令，即，3試比較積分與的大小，并證明你得出的結(jié)論。解：對(duì)后一個(gè)積分作代換：，于是，得4設(shè)函數(shù)有連續(xù)的二階偏導(dǎo)數(shù)，且，求與。解：，聯(lián)立得。三、（7分）設(shè)函數(shù)在上二階可導(dǎo)，求證存在使得。證：設(shè)，則，在上可導(dǎo)，使，在上可導(dǎo)，使四、（7分）判斷級(jí)數(shù)的斂散性，其中。解：，即，當(dāng)時(shí)，級(jí)數(shù)發(fā)散；當(dāng)時(shí)，級(jí)數(shù)收斂。故當(dāng)時(shí)，原級(jí)數(shù)發(fā)散；當(dāng)時(shí)，原級(jí)數(shù)收斂。五、（8分）一點(diǎn)先向正東移動(dòng)米，然后左拐彎移動(dòng)米（其中,如此不斷重復(fù)左拐彎，使得后一段移動(dòng)的距離為前一段的倍，這樣該點(diǎn)有一極限位置，試問(wèn)該極限位置與原出發(fā)點(diǎn)相距多少米？解：建立坐標(biāo)系，原點(diǎn)為起始點(diǎn)，軸正向單位向量為，軸正向單位向量為，則質(zhì)點(diǎn)所在位置向量為六、（7分）設(shè)在上具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，證明 證：則 ，結(jié)論成立。七（7分）設(shè)函數(shù)在區(qū)間上具有二階

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